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Exercice 1 corrigé disponible

1. Soit (un) la suite déifinie par u0 = 2 et pour tout entier n, un+1 = 5un + 4.

Montrer que, pour tout entier n, un >0.

2. Démontrer que pour tout n entier, 4n+5est un multiple de 3.

3. Soit (un) la suite déifinie par u0 = -3 et pour tout entier n, un+1 = 5 - 4un.

Montrer que pour tout entier n,

un=(-4)n+1+1.

4. On pose

Sn=12+22+32+...+n2 avec n m1

a. Calculer S1, S2, S3 et S4. Exprimer Sn+1 en fonction de Sn. b. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n m1 :

Sn=n(n+1)(2n+1)

65. La suite (un) est déifinie par

u0∈]0;1[ et un+1=un(2-un). a. Etudier les variations de la fonction f(x)=x(2-x). b. Démontrer par récurrence que pour tout entier n,

0
Exercice 2 corrigé disponible

1. Montrer l'inégalité de Bernouilli ; soit un réel a >0
n∈ℕ (1+a)n≥1+na2. Soit la suite (un) déifinie par : u0 = 1 et
0 croissante.
3. Montrer par un raisonnement par récurrence que l'on a pour tout n entier
3n>n.
4. Démontrer par récurrence que pour tout entier n Rℕ, la somme des entiers de 1 à n
est égale à n(n+1)
2 c'est-à-dire : 1 + 2 + .... + n =
n(n+1) 2.
5. Démontrer par récurrence la relation suivante pour tout entier n non mul :
∑k=1 n1 k(k+1)=n n+16. On considère la suite déifinie pour tout n Rℕ par un=∑k=1 n (2k-1)Démontrer par un raisonnement par récurrence que l'on un=n2 pour tout n Rℕ*Exercice 3 corrigé disponible
Exercice 4 corrigé disponible

Exercice 5 corrigé disponible

Exercice 6 corrigé disponible
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Déterminer dans chacun des cas suivants la limite de la suite (un) :
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Exercice 9 corrigé disponible

Exercice 10 corrigé disponible

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Exercice 13 corrigé disponible

Exercice 14 corrigé disponible

Exercice 15 corrigé disponible
Exercice 16 corrigé disponibleExercice 17 corrigé disponible
Exercice 18 corrigé disponible

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Exercice 21Exercice 22
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Exercice 1 corrigé disponible

1. Soit (un) la suite déifinie par u0 = 2 et pour tout entier n, un+1 = 5un + 4.

Montrer que, pour tout entier n, un >0.

2. Démontrer que pour tout n entier, 4n+5est un multiple de 3.

3. Soit (un) la suite déifinie par u0 = -3 et pour tout entier n, un+1 = 5 - 4un.

Montrer que pour tout entier n,

4. On pose

Sn=12+22+32+...+n2 avec n m1

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65. La suite (un) est déifinie par

Exercice 2 corrigé disponible

1. Montrer l'inégalité de Bernouilli ; soit un réel a >0

3. Montrer par un raisonnement par récurrence que l'on a pour tout n entier

4. Démontrer par récurrence que pour tout entier n Rℕ*, la somme des entiers de 1 à n

2 c'est-à-dire : 1 + 2 + .... + n =

5. Démontrer par récurrence la relation suivante pour tout entier n non mul :

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