GÉOMÉTRIE AFFINE
La géométrie affine est une question peu abordée dans les cours de DEUG et de licence mais elle figure au programme de l'écrit du CAPES et elle peut avoir
Cours de G´eom´etrie Affine et Euclidienne pour la Licence de
1 Rappels de géométrie vectorielle euclidienne . Ce cours présente les bases de la géométrie affine générale (disons sur R ou C) et de.
Géométrie affine
8 nov. 2011 Géométrie affine. UJF Grenoble. 1 Cours. 1.1 Espace affine. Une fois qu'on a choisi un repère le plan s'identifie à R2 (resp. l'espace à ...
GEOMETRIE AFFINE ET EUCLIDIENNE
propriétés suivantes sont vérifiées: . . Attention . les éléments de E sont les vecteurs . . GEOMETRIE AFFINE ET EUCLIDIENNE.
Chapitre18 : Espaces affines
4.0 International ». https://www.immae.eu/cours/ Algèbre et géométrie ... REPÈRES D'UN ESPACE AFFINE DE DIMENSION FINIECHAPITRE 18. ESPACES AFFINES.
Espaces affines
8 déc. 2003 Ce document est la première partie du cours de géométrie affine. ... 4 Intersection de sous-espaces affines sous-espace affine engendré.
Géométrie affine
(b) Intersection de deux plans d'un espace de dimension 3. On montre de la même mani`ere (exercice) que deux plans d'un espace affine : • soit se coupent
Géométrie affine.
? Exercice : Soit Fq un corps fini et n ? N?. Quel est le nombre de droites affines de (Fq)n ? De sous-espaces affines de (Fq)n de dimension k avec k
Géométrie affine et projective
9 févr. 2010 3. Par définition la dimension d'un espace affine est celle de l'espace vectoriel sous-jacent. Exercice : Soit (p1p2
Introduction 1 Géométrie affine
L3 – Parcours MG. Géométrie affine et euclidienne. Cours. Introduction Soit E un espace vectoriel on appelle espace affine d'espace directeur E tout ...
[PDF] GÉOMÉTRIE AFFINE - Laboratoire de Mathématiques dOrsay
Ce texte propose une présentation de la géométrie affine c'est-à-dire de la partie de la géométrie que l'on apprend au collège et au lycée et qui concerne
[PDF] Cours de G´eom´etrie Affine et Euclidienne pour la Licence de
Ce cours présente les bases de la géométrie affine générale (disons sur R ou C) et de la géométrie euclidienne Il est destiné aux étudiants de la Licence
[PDF] Géométrie affine
8 nov 2011 · Géométrie affine UJF Grenoble 1 Cours 1 1 Espace affine Une fois qu'on a choisi un repère le plan s'identifie à R2 (resp l'espace à
[PDF] Géométrie affine
E Géométrie analytique affine Définition E 1 Soit X un espace affine de dimension n Un rep`ere cartésien de X est la donnée d'un point ? ? X
[PDF] Cours de Géométrie affine et euclidienne pour lagrégation
Chapitre 1 Géométrie affine 1 1 Espaces affines Définition 1 Soit E un R espace vectoriel On dit qu'un ensemble non vide E est un espace affine sur
[PDF] Geometrie-Affine-et-Euclidiennepdf - ResearchGate
Exercice corrigé 1 1 1 Démontrer que l'ensemble E des points du plan de coordonnées (x y) ? R2 est un R-espace affine dirigé
[PDF] Géométrie affine et euclidienne - » Tous les membres
Nous aurons toutefois l'occasion de mentionner dans le cours ou `a travers certains exercices quelques phénom`enes amusants 1 en géométrie affine sur les
[PDF] Chapitre18 : Espaces affines - Melusine
4 0 International » https://www immae eu/cours/ Chapitre18 : Espaces affines MPSI Mathématiques Algèbre et géométrie 1 Ismaël Bouya
[PDF] Géométrie affine et projective
9 fév 2010 · Par définition la dimension d'un espace affine est celle de l'espace vectoriel sous-jacent Exercice : Soit (p1p2 pn+1) des points d'un
[PDF] Géométrie affine - Normale Sup
Voir le cours de géométrie euclidienne lorsque k = R • De même lorsque k = R et que E est de dimension finie d les translations ??1 B
Comment montrer qu'un ensemble est un espace affine ?
Une partie F d'un espace affine E de direction E est un sous-espace affine s'il est vide ou s'il contient un point A tel que F={???AB; B?F} F = { A B ? ; B ? F } est un sous-espace vectoriel de E . La dimension de F est la dimension de F .- On dit que f est une application affine s'il existe un point a de E et une application linéaire f de E dans F tels que, pour tout point x de E, on ait la formule : (1) f(x) = f(a) + f(?? ax). Alors, pour tout point b de E, on a aussi : f(x) = f(b) + f( ?? bx).
Francois Labourie
9 fevrier 2010
Table des matieres
1 Geometrie ane
31.1 Points et vecteurs
31.1.1 Espace ane
31.1.2 Repere d'un espace ane
41.1.3 Barycentre
41.1.4 Coordonnees barycentriques
51.2 Sous-espaces anes
51.3 Applications anes
61.3.1 Homotheties et theoreme de Thales
61.4 Complement : le complete vectoriel d'un espace ane
72 Perspective8
2.0.1 Vues
82.0.2 Calcul de la vue en perspective
92.0.3 Applications projectives
102.0.4 Vues en perspective d'objets
103 La droite projective
113.1 La droite projective et le birapport
113.1.1 Homographies
113.1.2 Congurations de trois droites
123.1.3 Quadruplets de droites et birapport
123.1.4 Classication des homographies reelles
134 Geometrie projective
144.1 Espace projectif
144.2 Lien entre geometrie ane et projective
144.2.1 Carte ane
144.2.2 Completion projective d'un espace ane
154.3 Sous-espaces projectifs
154.3.1 Intersection de sous espaces projectifs
154.3.2 Sous-espaces projectifs et cartes anes
154.4 Coordonnees homogenes
164.5 Reperes projectifs
164.6 Applications projectives
184.6.1 Le groupe des homographies
194.6.2 Sous-groupes du groupe projectif : les transformations anes
194.7 Dualite
194.7.1 Dualite dans le plan projectif
20 1TABLE DES MATI
ERES25 Les grands theoremes
225.1 Le theoreme de Desargues
225.2 Le theoreme de Pappus
235.3 Le theoreme fondamental de la geometrie projective
245.3.1 Geometrie d'incidence
246 Coniques et quadriques
256.1 Coniques et quadriques
256.2 Plan tangent
266.3 Polarite
276.4 Groupes et coniques
276.5 Parametrisation unicursale des coniques
286.6 L'hexagramme mystique de Pascal
306.7 Le groupe projectif orthogonal
316.8 Division harmonique
337 Topologie de l'espace projectif
357.1 Rappels de topologie
357.2 Un premier point de vue sur la topologie de l'espace projectif
357.3 Cartes anes, droites projectives, application
367.4 Deux lemmes utiles de topologie generale
36Chapitre 1
Geometrie ane
1.1 Points et vecteurs
1.1.1 Espace ane
Denition 1.1.1[Espace affine]Unespace ane modele sur un espace vectorielEdeni sur un corpsK{ oud'espace tangentE{ est un ensembleEdont les elements sont appelespointset de deux applications denies : 1. la somme d'un point et d'un vecteurqui est une application deE EdansE,(p;u)!p+u, 2. la dierence de deux pointsqui est une application deE EdansE(p;q)!qp telles que pour tous pointspetqdeEetuetvdeE, on ait les relations d'associativite suivantes p+ (qp) =q;(1.1) (p+u) +v=p+ (u+v);(1.2) (pq) +u= (p+u)q:(1.3) Remarques: On verie alors qu'on a les relations suivantes pp= 0(1.4) p+ 0 =p(1.5) qp=mpsi et sulement sip=m;(1.6) p+u=p+vsi et seulement siu=v:(1.7) En eet, (pp)+(qp) = (p+(qp))p=qp. Doncpp= 0. Ainsip+0 =p+(pp) =p. Si maintenantp+u=p+v, alors (p+u)p= (p+v)painso (pp)+u= (pp)+vetu=v.Enn, si (qp) = (mp) alorsq=p+ (qp) =p+ (mp) =m.
On utilise aussi la notation~pq=qp. Avec ces notations, on a alors larelation de Chasles: Proposition 1.1.2Pour tous pointsp,qetmd'un espace aneE ~pq=~pm+~mq:(1.8)Exemple:
1. Un espace v ectorielEest en particulier un espace ane modele sur lui-m^eme. 2. Ainsi, Rnadmet une structure d'espace ane canonique. les somme et diference corres- pondent alors aux calculs en coordonnees. 3CHAPITRE 1. G
EOMETRIE AFFINE4
3. P ard enitionla dimension d'un espace aneest celle de l'espace vectoriel sous-jacent. Exercice: Soit (p1;p2;:::;pn+1) des points d'un espace ane modele surEtels quefpip1gi6=1 forme une base deE. Montrez que pour touti0,fpipi0gi6=i0est une base deE.1.1.2 Repere d'un espace ane
Denition 1.1.3Unrepered'un espace ane de dimensionnmodele surEest la donnee d'un upletR= (M;e1;:::;en)ouMest un point deE{appeleorigine{ et(e1;:::;en)une base deE.Dans ce cas, l'applicationRdeKndansEdenie par
(1;n)!M+i=nX i=1 iei; est un bijection. SiR(1;n) =palors(1;n)sont lescoordonneesdepdans le repereR. Exemple: DansRnrapporte au repere (o; ~e1;:::; ~en), un pointpest represente par la colonne de ses coordonnees 0 B @x 1... x n1 C A qui sont les composantes du vecteur~op. Sipetqsont des points,~vun vecteur de composantesE, aun reel, on noteqp=~pq,r=p+~vle point tel que~pr=~v.1.1.3 Barycentre
Proposition 1.1.4Soitp1;:::pndes points d'un espace aneEdeni surKet1;:::ndes elements deKtels quePi=n i=1i= 1. Soitm0un point deEetqtel que q=m0+i=nX i=1 i~m0pi:Alors, pour toutmdeE
q=m+i=nX i=1 i~mpi:Denition 1.1.5Des scalaires1;:::ktels quePi=k
i=1i= 1s'appelle despoids. Denition 1.1.6Avec les notations de la proposition, l'unique pointqdeEtel que pour toutm deE, on a ~mq=i=nX i=1 i~mpi; est appelebarycentredes pointspiaectes des poidsi. On le note q=i=nX i=1 ipi:Exemples et remarques:
1. Les co ordonneesd ubarycen treson tles mo yennesdes c oordonneesp ondereesdes p oids.CHAPITRE 1. G
EOMETRIE AFFINE5
2. Si la caract eristiquede Kest dierente de 2, lemilieudepetqest le barycentre aecte des coecients 12 . Il est aussi notep+q2 3.P ourtous p ointsp,q,metndeE, on a
~pq=~mn si et seulement si p+n2 =q+m2 Autrement dit : les diagonales d'un parralelogramme se coupent en leur mileu.1.1.4 Coordonnees barycentriques
Proposition 1.1.7Soit(p1;p2;:::;pn)des points d'un espace aneEtels quefpip1gi6=1forme une base de l'espace tangent. Alors pour toutxdeE, il existe des scalaires(1;:::;n)tels queP ii= 1et x=i=nX i=1 ipi: Denition 1.1.8Soit(p1;p2;:::;pn)des points d'un espace aneEtels quefpip1gi6=1forme une base de l'espace tangent. L'application qui a un point deEassocie les scalaires(1;:::;n) tels queP ii= 1et x=i=nX i=1 ipi; s'appellecoordonnees barycentriques. En conclusion, la dierence de deux points est un vecteur, le barycentre de deux points est un point, on peut ajouter un vecteur et un point. Plus generalement une combinaisonP imipiest un point (barycentre des pointspiaectes des massesmi) siP imi= 1. Ces notations "additives" sont compatibles avec les calculs en coordonnees.1.2 Sous-espaces anes
Denition 1.2.1SoitEun espace ane d'espace tangentE, unsous-espace anedeEest un sous-ensembleFtel que il existe unptel que F p:=fqpjp2 Fg; est un sous-espace vectoriel deE. LadimensiondeFest celle deF.Remarques:
Le sous- espaceane Fde la denition est alors un espace ane d'espace tangentF. Deux sous-es pacesanes son tparralleless'ils ont le m^eme espace tangent. Si Fest un sous-espace ane alors pour tout pointpdeFl'ensemble F p:=fqpjp2 Fg; est l'espace tangent aF. L'ensem bleFest un sous-espace ane si et seulement si tout barycentre de points deFest un point deF.CHAPITRE 1. G
EOMETRIE AFFINE6
1.3 Applications anes
Denition 1.3.1SoitEetBdes espaces anes modeles surEetF. Une applicationL:E ! F estanes'il existe une application lineaireL:E!Ftelle que pour tous pointsp,qdeE,L(q) =L(p) +L(~pq):
L'endomorphismeLs'appelle lapartie lineairedeL, ou l'application lineaire tangenteaL. Proposition 1.3.2La composee d'applications anes est ane. Proposition 1.3.3SiLest ane, alors pour tous poids(1;:::;n)on a L(X i ipi) =X i if(pi): Reciproquement si pour toutdeK, l'applicationfdeEdasFverientL(p+ (1)q) =L(p) + (1)L(q);
alorsfest ane.Exemples et remarques:
1.Applications lin eaires.
2. T ranslations(ce son tles applications anes don tla partie lin eaireest l'iden tite). 3. Homoth eties(on remarquera que la construction des homoth etiesutilise la comm utativitedu corpsK.). 4. Sym etriesorthogonales par rapp ort ades droit esanes du plan (exercice). 5.Rotations autour de p ointsdu plan (exercice).
1.3.1 Homotheties et theoreme de Thales
SoitDune droite ane et trois pointsO,AetBdeD, lerapportOAOB est le scalairetel queOA=(OB):
Theoreme 1[Thales (Sixieme siecle avant notreere)]SoitDetD0deux droites distinctes d'un espace ane concourrantes enO. SoitAetB, respectivementA0etB0, deux points deD, respectivement deD0. AlorsOAOB =OA0OB0si et seulement si les droitesAA0etBB0sont parralleles.
D emonstration: Il sut d'utiliser l'homothetie de centreOet de rapportOAOB Exercice: Montrez la version degeneree de Thales suivante. Soit SoitDetD0deux droites distinctes parralleles. SoitA,B C, respectivementA0,B0etC0, trois points deD, respectivement deD0. On suppose queAB0est parrallele aA0Bet queB0Cest parrallele aBC0. Montrez que AC0est parrallele aA0C.
Apres choix de reperes, toute application aneE ! Fpossede une unique ecriture matricielle, compatible avec la composition : Proposition 1.3.4Soit(o; ~e1;:::; ~en)un repere deEet(p;f1;:::;fn)un repere deF. Lamatrice deL:E ! Fdans ces reperes est M L=ML~pf(o)
0 1 ouMLdesigne la matrice deLdans la base(~e1;:::; ~en).CHAPITRE 1. G
EOMETRIE AFFINE7
Remarques:
1. Une application ane est bijectiv esi et seulemen tsi sa partie lin eairel'est, son in verseest alors ane 2.Le group eane est un pro duitsemi- direct.
3. Le lieu des p ointsxes d'une application ane est un sous-espace ane, cas o uil est non vide, dimension, lien avec la multiplicite de 1 comme valeur propre de la partie lineaire. Proposition 1.3.5Soit(e;e1;:::;en)et(o0;e01;:::;e0n)deux reperes anes deRn. Soitfune transformation ane de matricesMetM0dans ces reperes. NotonsEla colonne des coordonnees du pointo0dans le repere(o;e1;:::;en). Posons P a=P E 0 1 ouPest la matrice de passage de la base(e1;:::;en)dans la base(e01;:::;e0n), i.e. les colonnes de Psont les composantes des vecteurse0jdans la base(e1;:::;en). Alors M0=P1aMPa:
1.4 Complement : le complete vectoriel d'un espace ane
Tout espace ane est l'hyperplan ane d'un espace vectoriel unique. Proposition 1.4.1SoitEun espace ane modele surE, il existe un espace vectoriel^Eet une injectioniane deEdans^Etels que pour toute applicatiopn aneLdeEdans un espace vectoriel V, il existe une application lineaire unique^Lde^EdansV, telle queL i=L:
D emonstration: Soitpun point d'un espace aneEmodele surE. On pose^E=EK. L'espace aneEse plonge de maniere ane dans^Eparx!(xp;1). On prend ensuite^L(u;) =L(u) +:L(p).
Exemples et remarques:
1.L'espace
^Eest dit solution d'unprobleme universel. On montre en utilisant la propsition que (^E;i) est unique a isomorphisme lineaire pres. 2. L'espace v ectorieltangen tEs'injecte dans^Een prenant l'application lineaire tangent ai. 3. dim( ^E) = dim(E) + 1. Denition 1.4.2L'espace vectoriel^Econstruit dans la proposition precedente est lecomplete vectorieldeE. Corollaire 1.4.3Le complete vectoriel d'un espace ane est unique a isomorphisme pres. De plus, toute application ane deEdansFs'etend en une application lineaire de^Edans^Fappele extension lineairedeL. La composee des extensions lineaires est l'extension lineaire de la composee. Proposition 1.4.4Tout repere(p;e1;:::;en)deEdonne une base de son complete vectoriel. Deplus, la matrice de l'extension lineaire d'une application ane est la matrice de l'application ane.Fin du coursn01
Chapitre 2
Perspective
2.0.1 Vues
Unevued'une scene 3D est determinee par les donnees suivantes. La p ositionde la cam era: un p ointcde coordonnees0 @x 0 y 0 z 01 A Une direction de vis ee: un v ecteurun itaire~vde composantes0 @a b c1 A Un ecran, i.e. un plan perpendiculaire a la direction de visee : il est determine par sa distance aC, un reel positifd.Un rep ereorthonorm e( o0;~e01;~e02) du plan .
quotesdbs_dbs43.pdfusesText_43[PDF] exercices corrigés sur la régulation hormonale de la pression artérielle
[PDF] régulation de la pression artérielle physiologie
[PDF] régulation de la pression artérielle ppt
[PDF] schéma pression artérielle
[PDF] barorécepteurs sensibles aux variations de la pression artérielle
[PDF] régulation de la pression artérielle cours
[PDF] different trains steve reich analyse musicale
[PDF] centre apneustique
[PDF] schéma régulation de la fonction de reproduction chez la femme
[PDF] régulation hormonale chez la femme pdf
[PDF] espacement naturel des naissances
[PDF] espacement des naissances définition
[PDF] introduction sur la régulation des naissances
[PDF] docteur folamour analyse