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GÉOMÉTRIE AFFINE

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Voir le cours de géométrie euclidienne lorsque k = R • De même lorsque k = R et que E est de dimension finie d les translations ??1 B 

  • Comment montrer qu'un ensemble est un espace affine ?

    Une partie F d'un espace affine E de direction E est un sous-espace affine s'il est vide ou s'il contient un point A tel que F={???AB; B?F} F = { A B ? ; B ? F } est un sous-espace vectoriel de E . La dimension de F est la dimension de F .
  • On dit que f est une application affine s'il existe un point a de E et une application linéaire f de E dans F tels que, pour tout point x de E, on ait la formule : (1) f(x) = f(a) + f(?? ax). Alors, pour tout point b de E, on a aussi : f(x) = f(b) + f( ?? bx).

Geometrie ane.

Preparation a l'Agregation, ENS de Cachan. ClaireRenard.

Novembre 2012

Motivation :Utiliser les groupes, et plus precisement les actions de groupe, pour denir et resoudre des problemes de Geometrie. Dans un espace vectoriel, l'origine a un r^ole a part. Par exemple, toute droite vectorielle passe par 0. Ce qui pose probleme des que l'on essaie de tracer un

triangle dans le plan! Le but est donc de construire un espace ou tout point joue le m^eme r^ole. Pour

cela, on peut partir d'un ensemble, dans lequel a priori tout point a le m^eme r^ole. Cependant, pour

d'un point a un autre, la structure de groupe additif d'un espace vectoriel est bien utile : elle permet par exemple de denir les translations. Il faut donc trouver une solution intermediaire entre un groupe et un ensemble. C'est ce que permet une action simple et transitive d'un groupe sur un ensemble (premier paragraphe). Avec ces outils, on peut alors denir un espace ane et etudier quelques proprietes de la geometrie ane. Ce cours s'inspire en partie de celui qui a ete donne par mon predecesseur Vincent Beck que je remercie vivement ici.

1 Rappels : actions de groupes.

SoitGun groupe, d'element neutre notee, etXun ensemble. Uneaction(a gauche) du groupeGsurXest un morphisme de groupes ':G!SX g7!(x7!g:x): Six2X, lestabilisateurdexestGx=fg2G; g:x=xg. C'est un sous-groupe deG. L'orbitedexestOx=fg:x; g2Gg. Les orbites sont les classes d'equivalence pour la relation d'equivalence denie par :xysi, et seulement s'il existeg2Gtel quey=g:x. Cette relation est appeleeconjugaison. Remarque 1.Six2X,g02Gety=g0:x2X, alorsGy=g0Gxg10etfg2G; g:x=yg= g 0:Gx. Demonstration.Sih2Gy,h:y=y. Mais commey=g0:x,hg0:x=g0:x, soit encoreg10hg02Gx. Donch2g0Gxg10. L'inclusion reciproque est immediate. Sig2Gest tel queg:x=y, cela implique queg:x=g0:x, soitg10g:x=x. Autrement dit, g2g0Gx.

Sig2g0Gx, il existeh2Gxtel queg=g0h. Alorsg:x=g0h:x=g0:x=y.}L'action est ditesimplesi tous les stabilisateurs sont triviaux :8x2X; Gx=feg.

}L'action estlibresi pour tout couple (x;y)2X2, il existe au plus un elementg2Gtel que y=g:x. Donc, siyest dans l'orbite dex, l'elementgtel quey=g:xest unique. Cela revient a dire que tout element deGdierent du neutreeagit sans point xe, ou encore que l'action est simple! }L'action est ditedelesi, de facon equivalente, 1.

Le m orphisme':G!SXest injectif.

2.T x2XGx=feg. 1 }L'action esttransitives'il n'y a qu'une seule orbite. Autrement dit, pour tousxety2X, il existeg2Gtel quey=g:x. LorsqueX6=;et que l'action ne xe pas les elements deXpoint par point (i.e. il existe un elementx2Xdont l'orbite n'est pas reduite au singletonfxg), on a les implications :

SIMPLE

+3FIDELE:

ATTENTION : la reciproque est fausse en general.

Exemples et contre-exemples :L'action deGsur lui-m^eme par translation a gauche est simple et

transitive. Puisque l'orbite de l'element neutre est un singleton, l'action par conjugaison n'est pas

transitive, et les orbites sont les classes de conjugaison. Le groupe des permutationsSnagit delement et transitivement sur l'ensemblef1;:::;ng. L'action n'est pas simple lorsquen3 : le stabilisateur d'un point est isomorphe aSn1. SiVest unK-espace vectoriel, avecKun corps, le groupe lineaireGl(V) agit delement surV et transitivement surVn f0g. L'action n'est pas simple : le stabilisateur du vecteur nul 0 est egal aGl(V) tout entier. Siv2Vn f0g, le stabilisateur devest isomorphe au sous-groupe deGl(V) forme des matrice inversibles de la forme0 B

BB@1:::

0::: 0:::1 C CCA. Si un groupeGagit surXde simplement et transitivement, cela signie que pour tousxet y2X, il existe un uniqueg2Gtel quey=g:x. Lemme 2.Supposons queGest un groupe abelien agissant surX6=;de facon dele et transitive.

Alors de plus, l'action est simple.

Demonstration.Comme l'action est transitive, d'apres la remarque, sixety2X, les deux stabilisateurs correspondants sont conjugues. CommeGest abelien, ils sont egaux : pour tousxety2X, en faitGx=Gy.

Comme l'action est dele, pour toutx2X,T

y2XGy=Gx=feg.Lemme 3.SoitGun groupe agissant simplement et transitivement surX6=;.

Pour toutx2X, l'application

x:G!X g7!g:x est une bijection.

L'application

:XX!G (x;y)7!g; ougest l'unique element deGtel quey=g:x, est bien denie. De plus, avec ces notations,1xyest la translation a droite par(x;y). Demonstration.L'action etant simple et transitive, pour touty2X, il existe un uniqueg2Gtel quey=g:x.

L'application

xest donc une bijection pour toutx2X. Siy2X, il existe un unique elementg2Gtel quey=g:x: il est egal a 1x(y). Ainsi, est bien denie. Sih2G, y(h) =h:y. 1xy(h) est l'unique elementk2Gtel quek:x=h:y=hg:x. Comme l'action est simple,Gx=feget 1xy(h) =hg=h(x;y).2 Ainsi, lorsque le groupeGagit simplement et transitivement sur un ensembleX, on a pour tout elementx2Xune bijection xentreGetX. On peut alors naturellement munirXd'une structure de groupe. Cependant, l'image de l'element neutree2GdansXdepend du choix dex: la structure que l'on n'obtient n'est pas canonique, et deux structures dierent par le choix(translation a droite par (x;y)). Proposition 4(Transfert de structure).Soit(E;:E)un groupe (respectivement un espace vec- toriel, respectivement un espace topologique). SoitFun ensemble etf:E!Fune bijection. Alors il existe une unique structure de groupe surFtelle quefsoit un morphisme de groupes (respectivement d'espaces vectoriels, respectivement un homeomorphisme). En eet, cette structure est donnee parx:Fy=f(f1(x):Ef1(y)) (et le raisonnement est identique pour un espace vectoriel ou un espace topologique).

SoitGun autre groupe.

Une applicationg:G!Fest un morphisme de groupes si, et seulement sif1gest un morphisme de groupes. Une applicationh:F!G. est un morphisme de groupes si, et seulement sihfest un morphisme de groupes. SiEetGsont deux groupes etf:E!F,g:G!Fdeux bijections, les structures de groupe induites surFconcident si, et seulement sig1f:E!Gest un morphisme de groupes.

2 Espaces anes.

Soitkun corps commutatif (typiquement,k=RouC, ouFqcorps ni aqelements).

2.1 Denition.

Denition 5.SoitEunk-espace vectoriel. Unk-espace anededirectionEest un ensemble non videEmuni d'une action du groupe additif deEdele et transitive. SiEest de dimension nied, on dit queEde dedimension nie, egale ad.

La directionEd'un espace aneEest souvent notee!E.

Remarque 6.Comme le groupe additif d'un espace vectoriel est abelien, l'action est egalement simple. Ainsi, les resultats du paragraphe precedent s'appliquent. Si !u2EetA2 E, on note l'action de!upar!u :A=A+!u. Cette bijection de l'espace ane s'appelle latranslation de vecteur!u. Avec les notations du paragraphe precedent, l'application se note :E E !E (A;B)7!!AB:

SiA2 E, la bijection Ase note

A:E! E

!u7!A+!u :

Sa bijection reciproque est

1

A:E !E

B7!!AB:

Dire que l'action deEsurEest une action de groupe revient a enoncer les proprietes suivantes :

8A2 E;!AA=!0;et

8A; B; C2 E;!AB+!BC=!AC(RelationdeChasles):

3 Denition 7.Pour toutA2 E, la bijectionA:!u!A+!upermet de munir par transfert de structure l'espace aneEd'une structure d'espace vectoriel, d'origineA. On notera cet espaceEA, appelele vectorialise deEenA. Ainsi, un espace ane n'a pas de structure d'espace vectoriel canonique : elle depend du point choisi comme origine. Deux structures dierent donc d'une translation.

2.2 Premiers exemples.

Toutespace vectorielEest muni naturellement d'une structure d'espace ane de direction E, gr^ace a l'action!u :!v=!v+!u. (Onl'origine 0.) Par exemple, on peut voirR2comme un plan ane. SiEetFsont deux espaces anes de directionsEetF, l'espace produitE Fest naturellement muni d'une structure d'espace ane de directionEF. On a pour tous (A;B)2 E Fet (!u ;!v)2EF, (A;B) + (!u ;!v) = (A+!u ;B+!v). SiXest un ensemble etEun espace ane de directionE, l'espaceF(X;E) des fonctions de Xa valeurs dansEest naturellement muni d'une structure d'espace ane de directionF(X;E). Lorsquek=RouC, on peut transferer la structure d'espace topologique duk-espace vectoriel Esur l'espace aneEvia la bijection Apour tout pointAdeE. SiBest un autre point de E, 1 BAest la translation de vecteur!BA, qui est un homeomorphisme deE. Ainsi, cette topologie ne depend pas du pointAchoisi. C'est egalement la topologie associee a la distance d(A;B) =AB=k!ABk. Voir le cours de geometrie euclidienne lorsquek=R. De m^eme, lorsquek=R, et queEest de dimension nied, les translations 1

BApreservent

la mesure de Lebesgue deE(bien denie a un scalaire pres a partir de la mesure de Lebesgue de R d). Ainsi, on peut denir une mesure de Lebesgue surEimage de la mesure de Lebesgue deE par la bijection ApourA2 Eet le resultat est independant du pointAchoisi. L'espaceEest donc muni d'une mesure de Lebesgue bien denie a un scalaire pres.

2.3 Barycentres.

SoitEunk-espace vectoriel, etEun espace ane de directionE. SoitIun ensemble et (Ai)i2I2 EIet (i)i2I2k(I)(lesisont presque tous nuls).

On denit lafonction vectorielle de Leibnizpar

L:E !E

M7!X i2I i!AiM: ChoisissonsOune origine deE. D'apres la relation de Chasles, pour tout pointMdeE, on a

L(M) =P

i2Ii!AiO+ (P i2Ii)!OM. Il faut donc distinguer deux cas. SiP i2Ii= 0, alorsLest la fonction constante egale au vecteurP i2Ii!AiO. SiP i2Ii6= 0, il existe une unique solutionGa l'equationL(G) = 0. C'est le pointG= O+1P i2IiP i2Ii!OAi;aussi noteG=1P i2IiP i2IiAi. De plus, pour tout pointM2 E,

L(M) = (P

i2Ii)!GM.

Dans le cas ou

P i2Ii6= 0, le pointGest appele lebarycentrede la famille (Ai;i)i2I de points ponderes. Si tous les coecientsisont egaux, on dit queGest l'isobarycentrede la famille des points (Ai)i2I. En particulier, l'isobarycentre de deux pointsAetBest appele le milieudeAetB. Proposition 8(Proprietes du barycentre).Soit(Ai;i)i2Iune suite de points ponderes (en par- ticulier,P i2Ii6= 0). Homogeneite :siGest le barycentre de(Ai;i)i2Iet2k, alorsGest encore le barycentre de(Ai;i)i2I. (On suppose donc souvent queP i2Ii= 1.) 4 Commutativite :siGest le barycentre de(Ai;i)i2Iet2SI, alorsGest encore le barycentre de(A(i);(i))i2I. Associativite :Soit(Ij)j2June partition deItelle que pour toutj2J,j=P i2Iji6= 0. NotonsGjle barycentre des(Ai;i)i2Ij, pour toutj2J. AlorsGest le barycentre de (Ai;i)i2Isi, et seulement si c'est le barycentre de(Gj;j)j2J.

2.4 Applications anes.

2.4.1 Defninition.

SoitEetFdeuxk-espaces anes de directionsEetF. On cherche a caracteriser les applications f:E ! Fqui conservent la structure ane. Autrement dit, on veut quef(A+!u) =f(A)+v(!u) pour tout pointA2 Eet tout vecteur!u2E, et l'on s'apercoit que l'applicationv:E!Fdoit ^etre lineaire. C'est l'objet de la proposition-denition suivante. Proposition et Denition 9.SoitEetFdeux espaces anes de directionsEetF, etf:E ! F une application. Les assertions suivantes sont equivalentes. 1. Il e xisteun ea pplicationl ineairev:E!Ftelle que pour tous pointsAetMdeE,f(M) = f(A) +v(!AM). 2. Si A2 EnotonsEAest le vectorialise deEenAvia la bijectionA:!u!A+!u. Il existe un pointA2 Etel que l'applicationfA:EA! Ff(A)induite parfest lineaire. 3. Pou rtou tp ointA2 E, l'applicationfA:EA! Ff(A)induite parfest lineaire. 4. Il e xisteun p ointAdeEtel que l'application!fA= 1 f(A)fAest lineaire. 5.

Pou rtou tp ointAdeE, l'application!fA= 1

f(A)fAest lineaire. 6. L' applicationfconserve les barycentres : siG2 Eest le barycentre du systeme(Ai;i)i2I, f(G)est le barycentre du systeme(f(Ai);i)i2I. 7. L' applicationfconserve les barycentres de trois points.

Si de plusk6=F2, ceci equivaut encore a :

8. L' applicationfconserve les barycentres de deux points. Une telle applicationfest appeleeapplication ane. De plus, l'application!fA:E!F ne depend pas du pointAchoisi et est egale a l'applicationvde l'assertion(1). On l'appelle l'application lineaire associee af, notee!f. Remarque 10.SiGest un autre espace ane etg:F ! Gune application ane, la composee gf:E ! Gest encore ane, d'application lineaire associee!gf=!g!f. En particulier,f:E ! Eest bijective si, et seulement si!f2Gl(E). SiEetFsont deux espaces anes, on noteA(E;F) l'ensemble des applications anes deE dansF. Cet espace est naturellement muni d'une structure d'espace ane, de directionA(E;F). SiE=F, l'ensemble des bijections anes deEest un groupe pour la loi de composition, appele le groupe ane deEet noteGA(E). C'est un espace ane de directionGl(E).

Demonstration de la proposition et denition.Les assertions (1) a (5) sont equivalentes (l'ecrire pour s'en convaincre!).

(1) =)(6). Si (Ai;i)i2Iest un systeme de points ponderes avecP i2Ii6= 0, le barycentreGest l'unique point solution deP i2Ii!AiG=!0 . Comme!fest lineaire, on a encoreP i2Ii!f(!AiG) =!0 =P i2I!f(Ai)f(G). Doncf(G) est le barycentre du systeme (f(Ai);i)i2I. 5 (6) =)(7) est immediat. (7) =)(1). Supposons quef:E ! Fconserve les barycentres de trois points. SoitAun point deE. Notonsv:E!Fdenie parv(!AM) =!f(A)f(M). Il faut montrer que vest lineaire. SoientMetNdeux points deE,et2k. NotonsGle barycentre du systeme (A;1 );(M;);(N;)). Par denition, (1)!GA+!GM+!GN=!0 , soit encore!AG=!AM+!AN. L'applicationfconserve le barycentre de trois points, doncf(G) est barycentre de (f(A);1 );(f(M););(f(N);)). Cela implique encore que!f(A)f(G) =!f(A)f(M)+!f(A)f(N), soit v(!AG) =v(!AM+!AN) =v(!AM) +v(!AN). Ainsi, l'applicationvest lineaire etfverie (1). (7) =)(8). Sifconserve le barycentre de trois points, elle conserve aussi celui de deux points : si ((M;);(N;)) est un systeme de deux points, on l'etend en un systeme de trois points en choi- sissantO2 E n fM;Nget en considerant le systeme ((M;);(N;);(O;0)). Donc une application conservant le barycentre de trois points conserve aussi le barycentre de deux points. (8) =)(1) dans le cas ouk6=F2. Supposons quefconserve le barycentre de deux points. SoitA2 Exe, posonsv(!AM) =!f(A)f(M). Il faut demontrer quevest lineaire. Soit2ketB2 E. NotonsGle barycentre de ((A;1);(B;)). Comme precedemment, cela implique que!AG=!AB. L'applicationfconservant le barycentre,!f(A)f(G) =!f(A)f(B), et doncv(!AG) =v(!AB) =v(!AB). Il reste a voir que siBetC2 E,v(!AB+!AC) =v(!AB) +v(!AC). Commek6=F2, il existe2kn f0;1g. SoitB0le point deEtel que!AB0=1!ABetC0tel que!AC0= (1)1!AC.

NotonsG0le barycentre de ((B0;);(C0;1)). On a

!AG0=!AB0+ (1)!AC0=1!AB+ (1)(1)1!AC !AB+!AC:

Commefconserve le barycentre,

v(!AG0) =!f(A)f(G0) =!f(A)f(B0) + (1)!f(A)f(C0) v(!AB+!AC) =v(!AB0) + (1)v(!AC0) =v(1!AB) + (1)v((1)1!AC)quotesdbs_dbs43.pdfusesText_43
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