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Université de Batna 2, Département de Mathématiques,3 Année Licence Mathématiques,Mesure et Intégration

Exercices corrigés

Exercice 1

Question 1 :Déterminer∩

n≥1 ?-1 n,1?et∩n≥1 ?-1 n,1?.

Réponse :D"une part

x? ∩ n≥1 ?-1 n,1?? ?n≥1,x??-1n,1?? =?(x?[0,1]). Ainsi n≥1 ?-1 n,1? ?[0,1]........(?)

D"autre part

(x?[0,1]) =?? ?n≥1,x??-1 n,1?? car[0,1]??-1n,1? pour toutn≥1. x? ∩ n≥1 ?-1 n,1?? Ainsi [0,1]? ∩ n≥1 ?-1 n,1? .......(2?)

De(?)et(2?),on trouve que∩

n≥1 ?-1 n,1?= [0,1].

De même,on montre que∩

n≥1 ?-1 n,1?= [0,1](notons ici que l"étape??n≥1,-1 n< x?,

Remarque : Rappellons que si(A

n)est une suite d"ensembles croissante (resp. décrois- sante) alors elle converge versA=? nAn(resp. versA=∩nAn). 1 On a pour toutn≥1on a-1 alors pour toutn≥1on a?-1 n+ 1,1? ??-1n,1?

Ainsi,la suite d"ensembles??

-1 n,1??n≥1est une suite décroissante. Cela implique qu"elle a une limite. En plus, on a lim n→+∞ ?-1 n,1? =∩n≥1 ?-1 n,1?

C"est à dire

lim n→+∞ ?-1 n,1? = [0,1].

De même,on montre quelim

n→+∞ ?-1 n,1?= [0,1]. Question 2 :Donner un exemple de suite non constante de parties deRdont la limite est]0,1].

Réponse :Montrons quelim

n→+∞ ?1 n,1?= ]0,1] : - Puisque? 1 n,1???1 n+1,1?pour toutn≥1alors la suite??1 n,1??n≥1est une suite croisante. Donc, elle a une limite. En plus, on alim n→+∞ ?1 n,1?=?n≥1 ?1 n,1?. - Calculons? n≥1 ?1 n,1?:

D"une part

x? ? n≥1 ?1 n,1?? ?n≥1,x??1n,1?? Ainsi n≥1 ?1 n,1? ?]0,1]........(?) 2

D"autre part

(x?]0,1]) =?(?n≥1,nx >1)application d"Archimède sur(x,1)?R +×R ?n≥1,1 ?n≥1,x??1n,1? ??1n,1?? x? ? n≥1 ?1 n,1?? Ainsi ]0,1]? ? n≥1 ?1 n,1? .......(2?)

De(?)et(2?),on trouve que?

n≥1 ?1 n,1?= ]0,1]. Question 3 :Déterminer les limites supérieure et inférieure de la suite(B n)n≥1de parties deRdéfinie parB

2n-1=?-2-1

n,1?etB2n=?-1,2 +1 n2?.

Réponse :

Rappel : Soit(A

n)une suite d"ensembles. On a -x?lim n→+∞supAnSsixappartient àAnpour une infinité d"indicesn. -x?lim n→+∞infAnSsixappartient àAnpour toutnsauf pour un nombre fini d"indices.

Montrons quelim

n→+∞supBn= [-2,2].D"une part - Six?[-2,1]alorsxappartient à tout les ensembles impaires. Donc,x?B npour une infinité d"indicen. Donc,x?lim n→+∞supBn - Six?[1,2]Ainsi,x?Bnpour une infinité de valeurs de l"indicen(pourquoi).

Donc,x?lim

n→+∞supBn. Ainsi [-2,2] = [-2,1]?[1,2]?lim n→+∞supBn......(?)

D"autre part, six /?[-2,2]alorsx /?B

nà partir d"un certain rangN. Donc,xappartient

à un nombre fini de partiesB

n.Ceci implique quex /?limn→+∞supBn.C"est à dire, on a montré que (x /?[-2,2]) =?? x /?lim n→+∞supBn 3

Par contraposition, on trouve

lim n→+∞supBn?[-2,2].......(2?)

De (*) et (2*), on trouve quelim

n→+∞supBn= [-2,2].

Montrons quelim

n→+∞infBn= [-1,1] :D"une part, six?[-1,1]alorsx?Bnpour tout non a donc[-1,1]?lim n→+∞infBn.D"autre part, six /?[-1,1]alors il existe une infinité d"indicesnpour lesquellesx /?B ndoncx /?limn→+∞infBn.Ainsi ,limn→+∞infBn?[-1,1].

Question 4 :Existe t"il une suite(C

n)n≥1de parties deRtelle quelimsup nCn= [-1,2]etliminf nCn= [-2,1]. Réponse :Non il n"existe pas. Par l"absurde, on suppose qu"il existe une suite (C n)n≥1de parties deRtelle quelimsup nCn= [-1,2]etliminfnCn= [-2,1].On sait queliminf nCn?limsup nCnalors[-2,1]?[-1,2]. C"est une contradiction.

Exercice 2

SoientX, Ydeux ensembles non vide etf:X-→Yune application. Question 1 :SoitFuneσ-algèbre (tribu) surY.Posonsτ:=f -1(F) ={f-1(B) :B? F}.

Montrer queτest uneσ-algèbre surX.

Réponse :Remarquons que

(A?τ)????B? F:A=f -1(B)????A=f-1(B)avecB? F?. * Montrons queX?τ:On a X=f -1(Y)résultat dans la th. ensembles et

Y? FcarFuneσ-algèbre surY.

C"est à dire, on a montré queX=f

-1(Y)avecY? F.Cela veut direX?τ. 4 ** Montrons que?A?τ,Ac?τ(Stabilité par passage au complément).

SoitA?τalorsA=f

-1(B)avecB? F.On a A c=?f-1(B)?cth. ensemble=f-1(Bc) et B c? FcarB? FetFest uneσ-algèbre surY.

C"est à dire, on a montré queA

c=f-1(Bc)avecBc? F.Cela veut dire queAc?τ.

Remarquons queA?XdoncA

c=CXAetB?YdoncBc=CYB. *** Montrons que?(A i)i?N?τ,?i?NAi?τ(Stabilité par réunion dénombrable):

Soit(A

i)i?N?τalors pour touti?Non aA i=f-1(Bi)avecBi? F. On a i?NAi=?i?N ?f-1(Bi)?th. ensembles=f-1? i?NBi et i?NBi? Fcar(Bi)i?N? FetFest uneσ-algèbre surY.

C"est à dire, on a montré que

i?NAi=f-1? i?NBi avec? i?NBi? F.

Cela veut dire que?

i?NAi?τ. Conclusion : L"image indirecte d"uneσ-algèbre par une application est uneσ-algèbre. Question 2 :SoitGuneσ-algèbre surX.Posonsf(G) ={f(A) :A? G}.Est ce quef(G)est uneσ-algèbre surY(Justifier). Réponse :Pour répondre à cette question, on va traiter ces deux exemples : Exemple 1 :SoientX={1,2,3,4,5}, Y={1,2},G={∅,{1},{2,3,4,5},X}et 5 f:X-→Yavecf(x) = 2pour toutx?X.

On aGuneσ-algèbre surXcarG={∅,A,A

c,X}avecA={1} ?X.En plus, f(G) ={f(A) :A? G}={f(∅),f({1}),f({2,3,4,5}),f(X)} ={∅,{2},{2,2,2,2},{2,2,2,2,2}} ={∅,{2},{2},{2}}={∅,{2}}. Alorsf(G) ={∅,{2}}n"est pas uneσ-algèbre surYcarY /?f(G). Exemple 2 :SoientX=Y={1,2,3,4,5},G={∅,{1},{2,3,4,5},X}etf:X-→

Y=Xavecf(x) =xpour toutx?X.On a

f(G) ={f(A) :A? G}={f(∅),f({1}),f({2,3,4,5}),f(X)} ={∅,{1},{2,3,4,5},{1,2,3,4,5}} ={∅,{1},{2,3,4,5},X}=G.

Alorsf(G) =Gest uneσ-algèbre surY=X.

Conclusion : On ne peut rien conclure sur l"image directe d"uneσ-algèbre par une application. Elle peut être uneσ-algèbre ou ne pas être.

Exercice 3

SoitXun ensemble infini. On définit la familleDde parties deXpar

D={A?P(X) :Aest au plus dénombrable ouA

cest au plus dénombrable} Rappelons queAest au plus dénombrable veut dire queAest fini(cardA <+∞)ou bienAest dénombrable(il existe une bijectionf:A-→N). Question :Montrer queDest uneσ-algèbre surX. 6

1.Réponse :Notons que tout les ensembles sont dansP(X).

(a)Montrons queX?D:On aX c=∅et∅est fini (card∅= 0<+∞). Alors X cest fini d"oùXcest au plus dénombrable. AinsiX?D. (b)Montrons que?A?D,A c?D:SoitA?D.On a

A?D=?(Aest au plus dénombrable ouA

cest au plus dénombrable) =?(A cest au plus dénombrable ou(Ac)c=Aest au plus dénombrable) =?(A cest au plus dénombrable ou(Ac)cest au plus dénombrable) =?A c?D. (c)Montrons que?(A i)i?N?D,?i?NAi?D:Soit(Ai)i?N?D.On distingue deux cas

Cas 1 :Pour touti?N,A

iest au plus dénombrable : Alors?i?NAiest au plus dénombrable (Résultat d"ensembles : L"union dénombrable des ensembles au plus dénombrables est au plus dénombrable). Ainsi,? i?NAi?D.

Cas 2 :Il existei

0?NtelqueAi0n"est pas au plus dénombrable : Puisque

A i0?DalorsAc i0est au plus dénombrable. On a i?NAi ?c =∩i?NAc i?Ac i0. Donc i?NAi ?c est au plus dénombrable (Résultat d"ensembles : Les ensembles contenus dans un ensemble au plus dénombrable sont au plus dénombrable).

Ainsi,?

i?NAi?D. Question :SoitC={{x}:x?X}.Montrer queD=σ(C). Iciσ(C)est la

σ-algèbre engendrée parC.

1.Réponse :

(a)Montrons queD?σ(C) :SoitA?Dalors on distingue deux cas 7 Cas 1 :Aest au plus dénombrable.SiAest finialors ils existentx0,x1,...,xn?

XtelqueA={x

0,x1,...,xn}.DoncA=

i=n?i=0{xi}.Puisque({xi})i=0,n?

C?σ(C)etσ(C)estσ-algèbre surCalorsA=

i=n?i=0{xi} ?σ(C).Si

Aest dénombrablealors ils existentx

0,x1,...,xn,......?XtelqueA=

{x

σ(C)estσ-algèbre surCalorsA=?

i?N{xi} ?σ(C). A retenir :On a montré que siAest au plus dénombrable (quelconque) alors A?σ(C).Donc, on retient le résultat suivant :σ(C)contient les ensembles au plus dénombrables.

Cas 2 :A

cest au plus dénombrable. D"aprés le résultat précédentAc?σ(C).

Puisqueσ(C)est uneσ-algèbre surXalors(A

c)c?σ(C).D"oùA?σ(C). (b)Montrons queσ(C)?D:Il suffit de montrer queC ? D.SoitA? Calors A={x}avecx?X.DoncAest fini donc au plus dénombrable. Ce qui implique queA? D.

Exercice 4

Question :Montrer queσ(C) =B(]0,1[). Notons queσ(C)représente laσ-algèbre sur]0,1[engendrée parC. Réponse :Pour montrer queσ(C) =B(]0,1[),on montre que

σ(C)? B(]0,1[)etσ(C)? B(]0,1[).

* Montrons queσ(C)? B(]0,1[) :Puisque par définitionσ(C)est la plus petiteσ-algèbre sur]0,1[qui contientC et

B(]0,1[)est uneσ-algèbre sur]0,1[

8 alors il suffit de montrer que

C? B(]0,1[).

[a,b] = [a,b]∩]0,1[et[a,b]est un fermé deR. Ainsi [a,b]est un fermé de]0,1[(par la topologie induite). CommeB(]0,1[)contient les fermés de]0,1[alors[a,b]? B(]0,1[). A retenir : SoitDune famille d"ensembles d"un ensembleXetFuneσ-algèbre sur X.En général, pour montrer queσ(D)? Fil suffit de montrer queD ? F. ** Montrons queσ(C)? B(]0,1[) :On sait que par définition

B(]0,1[) =σ(L)avecL:={O:Oouvert de]0,1[}.

Donc, il suffit de montrer queL?σ(C) :SoitO?LalorsOest un ouvert de]0,1[.On sait que Mais ]a,b[ =? n?N?etn≥2 b-a a+1 n,b-1n? Comme a+1 n,b-1n??n?N?etn≥2 b-a ?C r´esultat?σ(C)etσ(C)est uneσ-algèbre sur]0,1[ alors? n?N?etn≥2 b-a ?a+1 n,b-1 n ??σ(C). 9 Ainsi ]a,b[?σ(C)......(??) (*) et (**) implique queO?σ(C).

Exercice 5

Soit(X,F,μ)un espace mesuré oùμest une mesure de probabilité. On poseτ:= {A? F:μ(A) = 0ouμ(A) = 1}. Question :Montrer queτest uneσ-algèbre (tribu) surX.

Réponse :

* Montrons queX?τ:On a

X? FcarFest uneσ-algèbre surX

et μ(X) = 1carμest une mesure de probabilité. C"est à dire, on a montré queX? Fetμ(X) = 1.Cela veut dire queX?τ. ** Montrons que?A?τ,A c?τ:SoitA?τ. Par la définition de l"ensembleτ - On aA? F. PuisqueFest uneσ-algèbre surXalors A c? F......(?) - On a aussiμ(A) = 0ouμ(A) = 1.Mais

μ(A

c) =μ(X)-μ(A)(A le faire) = 1-μ(A) =? ?1-1 = 0siμ(A) = 1 ou bien

1-0 = 1siμ(A) = 0..

10 Ainsi

μ(A

c) = 0ouμ(Ac) = 1......(2?)

De (*) et (2*), on trouve queA

c?τ. *** Montrons que?(A i)i?N?τ,?i?NAi?τ:Soit(Ai)i?N?τ.On a?i?NAi? F (Pourquoi).Pour montrer, maintenant, queμ? i?NAi = 0ouμ? i?NAi = 1,On va distinguer 2 cas :

OU BIEN :Pour touti?Non aμ(A

i) = 0.Alors 0 ?i?NAi i?N

μ(Ai) = 0.

Ainsiμ?

i?NAi = 0.

OU BIEN :Il existek?Ntel queμ(A

k) = 1.On aAk? ?i?NAi?Xalors

1 =μ(A

?i?NAi

Ainsi,μ?

i?NAi = 1.

Exercice 6

Question :Montrer que la fonctionνdéfinie parν(A) :=cardApour toutA?P(N) est une mesure positive surN.

Réponse :On a

*ν:P(N)→

R+avecP(N)est uneσ-algèbre surN.En plus

**ν(∅) :=card∅= 0car∅ne contient aucun elément. 11 *** Soit(Ai)i?N.? P(N)disjoints deux à deux. On a i?NAi : =card? i?NAi i?N cardAicar(Ai)i?N.? P(N)sont disjoints deux à deux i?N

ν(Ai).

Exercice 7

On considère l"espace mesuré(R,B(R),λ)avecλest la mesure de Lebesgue. Soit a?R.PourA? P(R)on noteA+a:={x+a:x?A}.

Question 1 :Montrer queτ

a:={A? P(R) :A+a? B(R)}est une tribu surR. Réponse :Remarquons que tout les ensembles sont dansP(R). * Montrons queR?τ a:On a

R+a=R? B(R)carB(R)est uneσ-algèbre surR.

C"est à dire, on a montré queR+a? B(R).Cela veut dire queR?τ a. ** Montrons que?A?τ a,Ac?τa:SoitA?τaalorsA+a? B(R).On peut, facilement, montrer que A c+a= (A+a)c. Mais (A+a) c? B(R)carA+a? B(R)etB(R)est uneσ-algèbre surR.

AinsiA

c+a? B(R).Cela veut dire queAc?τa. *** Montrons que?(A pour touti?N ?on aAi+a? B(R). 12

On peut montrer que

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