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Table des matières

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Faculté des Sciences et Techniques Errachidia

Module . Méthodes numériques (M148)

S4, Parcours . MIPExercices de travaux dirigés avec correctionA.U. ?019/?0?0

Annee U. : 2019/2020

Module : M148

Serie n

Exercice 1:

On considere (n+ 1) points distinctsfx0;x1;;xng.

1. Mon trerque les p olyn^omesfligi=0,...,nde Lagrange forment une base dePn(l'espace vec- toriel des polyn^omes de degren), verientli(xk) =i,koui,k=8 :1 sii=k

0 sii6=k

Mon trerque 80mnon a :nX

i=0l i(x)xmi=xm:

Exercice 2:

On considere une fonctionf2Cn+1([a;b]), (n+ 1) noeuds distinctsf(xi;yi)gi=0,...,navec (yi:=f(xi)), et on note!i(x) =i1Y j=0(xxj), le polyn^ome de degreiassocies aux points fxjgj=0,...,i1. 1. Mon trerque le p olyn^omequi in terpolefaux noeudsf(xi;yi)gi=0,...,n, s'ecrit P n(x) =nX i=0! n+1(x)(xxi)!0n+1(xi)yi: 2. Mon trerque : 8x2[a;b],9x2[a;b] tel queEn(x) :=f(x)Pn(x) =f(n+1)(x)Qn i=0(xxi)(n+ 1)!:

Exercice 3:

1. D eterminerle p olyn^omed'in terpolationde Lagrange relatif au tableau suiv ant: 1 0235
-12987 2. Retrouv erce p olyn^omed'in terpolation,en utilisan tcette fois la m ethodede Newton.

Exercice 4:

On veut interpolerf(x) = ln(x) par un polyn^ome aux pointsx0= 1; x1= 2; x2= 3; x3= 4 et x 4= 5: 1. T rouverune express ionalg ebriquede ce p olyn^omeen utilisan tla m ethodede Newton. 2. Estimer la v aleurde f(6:32) avec le polyn^ome trouve en 1 puis calculer l'erreur absolue.

Exercice 5:

Soient2]0;1[ etfune fonction de classeC3(0;1]). On notea=f(0) etb=f(1).

1. Determiner le polyn^ome de NewtonP?qui interpolefaux points 0; et 1.

2. Montrer que pour toutxdans l'intervalle [0;1]

lim ?!1P?(x) = (ab+f0(1))x2+ (2b2af0(1))x+a=P(x):

3. Verier que le polyn^omePest l'unique polyn^ome de degre 2 qui verie

P(0) =f(0); P(1) =f(1) etP0(1) =f0(1).

4. Pourx2]0;1[ xe, on considere la fonction sur [0;1] denie par

(t) =f(t)P(t)f(x)P(x)x(x1)2t(t1)2:

Verier que (0) = (1) = (x) = 0 et que 0(1) = 0.

5. En deduire qu'il existex2]0;1[ tel que (3)(x) = 0 et que

f(x)P(x) =f(3)(x)6 x(x1)2: 2 i;k=1??i=k

0??i6=k

?????dim(Pn) =n+ 1 =card(flig)? ????i= 0;1;:::;n?? ???? ?? ??????? ??? ?? ???????fligi=0;::;n??? ?????? ????i2K?K=R??C?? ???? ????? n X i=0 ili(x) = 0() 8k= 0;1;:::;n:nX i=0 ili(xk) = 0 =) 8k= 0;1;:::;n:nX i=0 ii;k= 0 =) 8k= 0;1;:::;n:k= 0: P f(x) =P(x) +En(x) =nX i=0l i(x)f(xi) +f(n+1)(x)(n+ 1)!n Y i=0(xxi): ?? ??????C1????R?? ??? ????? x m=nX i=0l i(x)xmi+f(n+1)(x)(n+ 1)!n Y i=0(xxi): ??f(n+1)0???mn? ????nX i=0l i(x)xmi=xm8x2R? j=0(xxj)? ?? P n(x) =nX i=0! n+1(x)(xxi)!0n+1(xi)yi ?? ???? ?? ??????? ???8i= 0;:::;n l i(x) =!n+1(x)(xxi)!0n+1(xi) l i(x) =nY j= 0 j6=i(xxj)(xixj) ?? ?!0n+1(xi) = limx7!xi! ???(xxi)? ?? ???????

0n+1(xi) = limx7!xin

Y j= 0 j6=i(xxj) =nY j= 0 j6=i(xixj) n+1(x)(xxi)!0n+1(xi)=li(x): g?????? ???g(t) =En(t)R(t)R(x)En(x);????R(x) =Qn x g (n+1)????? ?? ????? ??? ?????? ????[a;b]? ????x????? ??????? ?? ?

0 =g(n+1)(x) =f(n+1)(x)(n+ 1)!R(x)En(x);

????En(x) =f(n+1)(x)(n+ 1)!R(x): P

3(x) =3X

i=0l i(x)yi??li(x) =3Y j= 0 j6=i(xxj)(xixj) ?? ?????? ???li????? ?l0(x) =(x2)(x3)(x5)30?l1(x) =x(x3)(x5)6 ?l2(x) =x(x2)(x5)6?? l

3(x) =x(x2)(x3)30

? ????P3(x) =5330 x37x2+25330 x1 f[x0;x1]?f[x0;x1;x2]? ??f[x0;x1;x2;x3] P

3(x) =f[x0] + (xx0)f[x0;x1] + (xx0)(xx1)f[x0;x1;x2] + (xx0)(xx1)(x

2)f[x0;x1;x2;x3]

0f(x0)

1f(x1)f[x0;x1]

2f(x2)f[x1;x2]f[x0;x1;x2]

3f(x3)f[x2;x3]f[x1;x2;x3]f[x0;x1;x2;x3]

22 3=2

39 7 11=6

587 39 32=3 53=30

+x(x2)116 +x(x2)(x3)5330 x37x2+25330 x1: p n(x) =a0+a1(xx0) +a2(xx0)(xx1) ++ +an(xx0)(xxn1) f[xi;xi+1] =f(xi+1)f(xi)x i+1xi f[xi;xi+1;xi+2] =f[xi+1;xi+2]f[xi;xi+1]x i+2xi f[x0;;xn] =f[x1;;xn]f[x0;;xn1]x nx0 p

4(x) =a0+a1(xx0) +a2(xx0)(xx1) +a3(xx0)(xx1)(xx2)

+a4(xx0)(xx1)(xx2)(xx3) =f(x0) +f[x0;x1](xx0) +f[x0;x1;x2](xx0)(xx1) +Z [x0;x1;x2;x3](xx0)(xx1)(xx2) +f[x0;x1;x2;x3;x4](xx0)(xx1)(xx2)(xx3) =0;6931471806(x1)0;1438410361(x1)(x2) + 0;02831650597(x1)(x2)(x3)0;004860605018(x1)(x2)(x3)(x4) p

4(x) =1;267382809 + 1;679182105x0;4838612475x2+ 0;07692255615x3

0;004860605018x4

??????? ??? ????E=j1;6819020331;843719208j '0;161817 ????f(0) =a?f[0;"] =f(")f(0)" ??f[0;";1] ="f(1)f(1)("1)f(0)"("1): ???? ?P"(x) =a+f(")f(0)" "f(1)f(") + (1")f(0)1" x+"f(1)f(") + (1")f(0)"(1") x 2: "!1P"(x) lim "!1P"(x) =x2lim "!1 "f(1)f(") + (1")f(0)"(1") xlim "!1 f(")f(0)" "f(1)f(") + (1")f(0)1" +a lim "!1 "f(1)f(") + (1")f(0)"(1") = lim "!11" :("1)f(1) +f(1)f(")1" +a=ab+f0(1): lim "!1 f(")f(0)" "f(1) +f(1)f(1)f(")1" =balim "!1("1)f(1) +f(1)f(")1"a = 2b2af0(1): ????lim "!1P"(x) =a+ (2b2af0(1))x+ (ab+f0(1))x2:=P(x): ?? ? ???? ????x2[0;1]?P0(x) = 2x(ab+f0(1))+2b2af0(1)? ????P0(1) =f0(1)? (PQ)0(1) = 0 ??????(PQ)?????1????? ?????? ??????? ??0????? ?????? ?????? ????(PQ) (0) = (x) = 0 =) 912]0;x[??? ???0(1) = 0???? ?? ??????? ?? ????(x) = (1) = 0 =) 922]x;1[??? ???0(2) = 0: ??(3)????? ?? ????? ??? ??????x? (3)(t) =f(3)(t)3!f(x)P(x)x(x1)2?

E(x) :=f(x)P(x) =f(3)(x)6

x(x1)2?

Annee Universitaire : 2019/2020

Module : M148

Int´egration num´erique

A l'aide d'une certaine methode d'integration numerique, on a evalueI=Z =2 0 sin(x)dx, en utilisant trois valeurs dierente deh. On a obtenu les resultats suivants :h~

I0.11.001325

0.21.009872

0.41.078979

Compte tenu de la valeur exacte deI, deduire l'ordre de convergence de la methode de quadra- ture employee.

On veut calculerI=Z

3:4

1:8exp(x)dx, en utilisant la methode des trapezes composee.

Quel est le nombre minimum d'intervalles qui assure une approximation deIavec au moins 4 chires signicatifs. Determiner les poids d'integration!1et!2, ainsi que le point d'integrationt2de sorte que la formule de quadrature suivante : Z 1

1f(t)dt'!1f-1p3

+!2f(t2) soit de precision le plus eleve possible. 1

Soit l'approximation

Z x0+h x

0f(x)dx'h4

f(x0) + 3f x 0+2h3 a) Obtenir un developpement de Taylor def x 0+2h3 jusqu'a l'ordre 4 et donner une nou- velle expression du terme de droite. b) Obtenir un developpement de Taylor a l'ordre 4 du terme de gauche. c) Soustraire les expressions obtenues en a) et en b) pour obtenir le premier terme de l'erreur.

En deduire l'ordre de la methode proposee.

d) Quel est le degre de precision de cette methode. Soient?]0,1[ etfune fonction de classeC3([0,1]). On notea=f(0) etb=f(1).

1. Determiner le polyn^omePqui interpolefaux points 0, et 1.

2. Montrer que pour toutxdans l'intervalle [0,1]

lim !0+P(x) = (b-a-f0(0))x2+f0(0)x+a=P(x).

3. Verier que le polyn^omePest l'unique polyn^ome de degre 2 qui verie

P(0) =f(0), P(1) =f(1) etP0(0) =f0(0).

4. Pourx?]0,1[ xe, on considere la fonction sur [0,1] denie par

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Faculté des Sciences et Techniques Errachidia

Module . Méthodes numériques (M148)

Annee U. : 2019/2020

Module : M148

Serie n

Exercice 1:

On considere (n+ 1) points distinctsfx0;x1;;xng.

0 sii6=k

Mon trerque 80mnon a :nX

Exercice 2:

Exercice 3:

Exercice 4:

Exercice 5:

1. Determiner le polyn^ome de NewtonP?qui interpolefaux points 0; et 1.

2. Montrer que pour toutxdans l'intervalle [0;1]

3. Verier que le polyn^omePest l'unique polyn^ome de degre 2 qui verie

P(0) =f(0); P(1) =f(1) etP0(1) =f0(1).

4. Pourx2]0;1[ xe, on considere la fonction sur [0;1] denie par

Verier que (0) = (1) = (x) = 0 et que 0(1) = 0.

5. En deduire qu'il existex2]0;1[ tel que (3)(x) = 0 et que

0??i6=k

0n+1(xi) = limx7!xin

0 =g(n+1)(x) =f(n+1)(x)(n+ 1)!R(x)En(x);

3(x) =3X

3(x) =x(x2)(x3)30

3(x) =f[x0] + (xx0)f[x0;x1] + (xx0)(xx1)f[x0;x1;x2] + (xx0)(xx1)(x

2)f[x0;x1;x2;x3]

0f(x0)

1f(x1)f[x0;x1]

2f(x2)f[x1;x2]f[x0;x1;x2]

3f(x3)f[x2;x3]f[x1;x2;x3]f[x0;x1;x2;x3]

22 3=2

39 7 11=6

587 39 32=3 53=30

4(x) =a0+a1(xx0) +a2(xx0)(xx1) +a3(xx0)(xx1)(xx2)

4(x) =1;267382809 + 1;679182105x0;4838612475x2+ 0;07692255615x3

0;004860605018x4

E(x) :=f(x)P(x) =f(3)(x)6

Annee Universitaire : 2019/2020

Module : M148

Int´egration num´erique

I0.11.001325

0.21.009872

0.41.078979

On veut calculerI=Z

1:8exp(x)dx, en utilisant la methode des trapezes composee.

1f(t)dt'!1f-1p3

Soit l'approximation

0f(x)dx'h4

En deduire l'ordre de la methode proposee.

1. Determiner le polyn^omePqui interpolefaux points 0, et 1.

2. Montrer que pour toutxdans l'intervalle [0,1]

3. Verier que le polyn^omePest l'unique polyn^ome de degre 2 qui verie

P(0) =f(0), P(1) =f(1) etP0(0) =f0(0).

4. Pourx?]0,1[ xe, on considere la fonction sur [0,1] denie par