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Module C2

Manipulation de matrices et vecteurs avec Python 3

Timothée Duruisseau

Department de génie mécanique

École Polytechnique Montréal

Canada

6 septembre 2021

Objectifs du module

À la fin du module, il sera important de savoir manipuler les vecteurs et les matrices. À cette fin,

il est important de savoir indexer adéquatement un objetnumpy, transformer correctement et savoir faire de l"algèbre linéaire avec Python. 1

Table des matières

1 Chapitre 1 : Indexation d"un objetnumpy

1.1 Introduction

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Indexation dans un vecteur

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Indexation dans les matrices et tenseurs

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Chapitre 2 : Transformation d"un objetnumpy

2.1 Introduction

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2 Opérations mathématiques élément par élément

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.3 Manipulations et fonctions d"algèbre linéaire

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.4 Manipulations géométriques

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3 Chapitre 3 : Algèbre linéaire

3.1 Introduction

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.2 Bâtir une matrice

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.3 Les matrices inverses

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.4 Multiplication matricielle

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4 Chapitre 4 : Résolution d"un système matriciel

17 2

Chapitre 1

Chapitre 1 : Indexation d"un objet

numpy

1.1 Introduction

Dans ce chapitre, l"indexation adéquate sera démontrée pour des objetsnumpy. L"indexation normal

d"un objet Python, tel que les listes et les tuples, se fait de manière imbriquée. Cela signifie qu"il

faut indiquer l"index entre crochets pour chaque niveau, séquenciellement. Pour les objetsnumpy, l"indexation se fait directement. Les prochaines sections expliqueront exactement ce que cela veut dire.

1.2 Indexation dans un vecteur

Commençons simplement avec un vecteur, qui est un objet possédant une seule dimension. La

manière la plus simple d"indexer est d"écrire l"index entre crochets à côté du nom de l"objet. Le script

1 démontre cela.

Script1

Exemple simple d"indexation d"un vecteur

1 import numpy as np 2 3 x = np.array([1,2,3,4,5,6]) 4 5 print ('Valeur de x à l index 2 d % x[2])

Valeur de x à l

index 2 3

L"indexation dans un vecteur possède les mêmes propriétés que l"indexation dans une liste ou un

tuple. Ainsi, l"indexation négative implique un décompte à rebours. Il est possible d"indexer plusieurs

valeurs à la fois en faisant des tranches, grâce à l"opérateur deux-points:. Son utilisation se fait ainsi :

depart:fin:pas. Chaque partie est optionnelle, selon les besoins. La valeur par défaut dedepartest

0. La valeur par défaut definest la fin du vecteur. La valeur par défaut depasest 1. Si la valeur par

CHAPITRE 1. CHAPITRE 1 : INDEXATION D"UN OBJETNUMPY4défaut est souhaité, il suffit de ne rien inscrire. Par exemple, si on souhaite prendre toutes les valeurs

du vecteur en tranchant, il suffit d"écrirex[:]oux[::].

Pour prendre toutes les valeurs à rebours, le pas peut être mis négatif :x[::-1]. Le pas peut

prendre n"importe quelle valeur, peu importe la grosseur du vecteur. La valeur dedepartest toujours

la première valeur à être sélectionnée. La valeur definest toujours exclue. Il faut donc prévoir la

tranche pour qu"elle sélectionne bien toutes les valeurs désirées.

1.3 Indexation dans les matrices et tenseurs

L"indexation dans les matrices et les tenseurs se fait essentiellement de la même manière que pour

les vecteurs. Les mêmes règles de tranche s"appliquent également. La différence provient des dimensions

supplémentaires. En effet, un vecteur est une série de valeur contenue dans une seule dimension. Une

matrice contient 2 dimensions dans lesquelles les valeurs sont inscrites. Un tenseur contient 3 ou plus

dimensions dans lesquelles les valeurs sont stockées.

L"accès aux dimensions supérieures se fait en ajoutant les indices, ou tranches, séparés par des

virgules. Ainsi, pour aller chercher la valeur se trouvant dans la 3e colonne de la 2e ligne, la commande

seraitx[1,2]. Il y a deux détails à bien faire attention. D"abord, l"indexation commence à 0 avec

Python et donc, la 2e ligne possède l"indice 1. Ensuite, l"indexation des dimensions se fait selon l"ordre

suivant : ligne, colonne. Chaque dimension supplémentaire s"inscrit à la suite de la précédente.

Script2

Exemple d"indexation et de tranches dans une matrice 1 import numpy as np 2 3 x = np.array([[1,2,3,4,5],[6,7,8,9,10],[11,12,13,14,15],[16,17,18,19,20]]) 4 5 print 4 e ligne indexé colonnes 2 et 3 6 print (x[3,2:4]) 7 8 print Ligne 2 et 3, colonnes 2 et 3 9 print (x[1:3,2:4]) [4e ligne indexé, colonnes 2 et 3 [18 19]

Ligne 2 et 3, colonnes 2 et 3

[[ 8 9] [13 14]]

Chapitre 2

Chapitre 2 : Transformation d"un objet

numpy

2.1 Introduction

Les vecteurs et les matrices doivent pouvoir être manipulées. Cependant, les manipulations sont

multiples. Les manipulations peuvent être de nature mathématiques ou géométriques. Les sections qui

suivent vont expliquer comment faire les différents types de manipulations.

2.2 Opérations mathématiques élément par élément

Les opérations mathématiques élément par élément font l"opération demandée en ne considé-

rant que 2 éléments à la fois. Par exemple, prenons 2 vecteurs,x = np.array([1,2,3])ety = np.array([4,5,6]) . En effectuant la commandex + y, le résultat obtenu estarray([5, 7, 9]),

soit un vecteur avec la somme des éléments d"indice 0, d"indice 1 et d"indice 2, séparément. De la

même manière, la commandex*yretournera le produitarray([4, 10, 18]). Le script 3 démontre chaque opérateur entre vecteurs.

Afin que ces opérations puissent être exécutées, il faut que les dimensions soient diffusables,broad-

castableen anglais. Cela veut dire que les 2 vecteurs doivent avoir le même nombre de valeurs. Les

opérations peuvent également être faite entre deux matrices partageant les mêmes dimensions ou entre

une matrice et un vecteur. Dans le cas d"opérations entre une matrice et un vecteur, le vecteur sera

en colonne matrice puissance vecteur 39
print ((y.T**x).T) CHAPITRE 2. CHAPITRE 2 : TRANSFORMATION D"UN OBJETNUMPY8

Script5

Résultats du script

Addition en ligne

[[ 5 7 9] [ 8 10 12] [11 13 15]]quotesdbs_dbs12.pdfusesText_18

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[PDF] Module C2 Manipulation de matrices et vecteurs avec Python 3

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What is the operation of addition of two matrices?

What is a matrix in math?

How do you find the inverse of an adjoint matrix?

Module C2

Timothée Duruisseau

Department de génie mécanique

École Polytechnique Montréal

Canada

6 septembre 2021

Objectifs du module

Table des matières

1 Chapitre 1 : Indexation d"un objetnumpy

1.1 Introduction

1.2 Indexation dans un vecteur

1.3 Indexation dans les matrices et tenseurs

2 Chapitre 2 : Transformation d"un objetnumpy

2.1 Introduction

2.2 Opérations mathématiques élément par élément

2.3 Manipulations et fonctions d"algèbre linéaire

2.4 Manipulations géométriques

3 Chapitre 3 : Algèbre linéaire

3.1 Introduction

3.2 Bâtir une matrice

3.3 Les matrices inverses

3.4 Multiplication matricielle

4 Chapitre 4 : Résolution d"un système matriciel

Chapitre 1

Chapitre 1 : Indexation d"un objet

1.1 Introduction

1.2 Indexation dans un vecteur

Script1

Exemple simple d"indexation d"un vecteur

Valeur de x à l

0. La valeur par défaut definest la fin du vecteur. La valeur par défaut depasest 1. Si la valeur par

1.3 Indexation dans les matrices et tenseurs

Script2

Ligne 2 et 3, colonnes 2 et 3

Chapitre 2

Chapitre 2 : Transformation d"un objet

2.1 Introduction

2.2 Opérations mathématiques élément par élément

Script3

Vecteurs

Addition

Addition

Soustraction

Soustraction

Multiplication

Multiplication

Division

Division

Puissance

Puissance

Addition

Soustraction

Multiplication

Division

Puissance

Script4

Vecteur

Matrice

Addition

Addition

Addition

Soustraction

Soustraction

Soustraction

Multiplication

Multiplication

Multiplication

Division

Division

Division

Puissance

Puissance

Puissance

Script5

Résultats du script