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Exercices de Mathématiques 1 et 2 avec corrigés

Licence première année Science de la

matière.L1-SM-

Mme Chebbah née Bessai Naima

01/10/2018

ii

Table des matières

1 Introduction 1

2 Ensembles-Applications- 3

2.1Les Ensembles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.2Applications. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3 Relations d"Equivalences et Relations d"Ordre 9

3.1 Relations d"Equivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.2 Relations d"Ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4 Structure algébrique 13

5 Limites,continuité et dérivabilité 19

6 Développement limité 31

7 Les éspaces véctoriels 39

8 Applications Linéaires 45

9 Matrices et Systèmes Linéaires 53

10 Les Intégrales Simples 65

iii ivTABLE DES MATIÈRES

Chapitre 1

Introduction

Ce polycopié est destiné aux étudiants de première année du système Licence- Master -Doctorat (L.M.D),spécialité :Science de la Matière (SM) et Sciences et du module de Mathématiques1 et Mathématiques 2 proposés durant les travaux pratiques depuis 2004 .Et ça permet aux etudiants de mieux comprendre les Je tiens à remercier Mme Hamza Aicha et Mme Bourega Dalila d"avoir accépter d"exepertiser ce polycopié et d"avoir participer à son enrichissement par leurs avis et conseils. Tout commentaire ,proposition ou critique constructive permettant l"amé- lioration de ce travail sera recueilli avec un grad intéret. 1

2CHAPITRE 1.INTRODUCTION

Chapitre 2

Ensembles-Applications-

2.1 Les Ensembles

Exercice 1

SoientEun ensemble,A;B;C;Ddes sous ensembles deE:Montrer que :

1.AB,A\B=A,A[B=B,BA:

2.A\B=A\C()A\B=A\C

3. ComparerB1=A\(B[C)AvecB2= (A\B)[C

4. Simpli...er :B3=A\A[B\A[B[C

etB4=A[A\B[A\B\C

Remarque :Adésigne le complémentaire deA:

Solution 1

1).AB,A\B=A,A[B=B,BA:

Cela revient à montrer que :

a)AB,A\B=A b)AB,A[B=B c)AB,BA

Montrons a)AB,A\B=A

supposons queABet montrons que :A\B=Ac"est à dire :8 :A\BA et AA\B

On a toujours :A\BA, montrons que :AA\B

Pour cela soitx2A,commeABalorsx2B

On a :x2Aetx2BalorsxA\Bd"ouAA\B

Inversement: supposons queA\B=Aet montrons que :AB Pour cela soitx2A,commeA=A\Balorsx2A\Bce qui donne :x2B

Montrons b)AB,A[B=B

3

4CHAPITRE 2.ENSEMBLES-APPLICATIONS-

Supposons queABet montrons que :A[B=Bc"est à dire :8 :A[BB et BA[B

On a toujours :BA[B, montrons que :A[BB

Pour cela soitx2A[B)x2Aoux2Bet commeABalorsx2B

cela veut dire que :A[BB Inversement: supposons queA[B=Bet montrons que :AB

Pour cela soitx2A,commeAA[Balorsx2A[BorA[B=B

ce qui donne :x2B

Montrons c)AB,BA

supposons queABet montrons que :BA

Pour cela soitx2B)x =2Bet commeABalorsx =2A

cela veut dire quex2A

Inversement: supposons queBAet montrons que :AB

Pour cela soitx2A)x =2A,commeBAalorsx =2B

ce qui donne :x2B

2).A\B=A\C()A\B=A\C

Supposons que :A\B=A\Cet montrons que :A\B=A\C

On transforme l"égalitéA\B=A\Cpar complémentation on obtient :A[B=A[C

Composons par intersection avecA:A\A[B

=A\A[C

Appliquons la distributivité :

A\A [A\B =A\A [A\C

OrA\A=?

Par suite :A\B

=A\C Inversement: Supposons que :A\B=A\Cet montrons que :

A\B=A\C

On transforme l"égalitéA\B=A\Cpar complémentation on obtient :A[B=A[C

Composons par intersection avecA:A\A[B=A\A[C

Appliquons la distributivité :

A\A [(A\B) =A\A [(A\C)OrA\A=?

Par suite :(A\B) = (A\C)

3).ComparonsB1=A\(B[C)AvecB2= (A\B)[C

On a :B1=A\(B[C) = (A\B)[(A\C)Or :(A\C)C

Par suite :B1=A\(B[C)B2= (A\B)[C

4)!Simpli...ons:B3=A\A[B\A[B[C=A\A

[(A\B)\A[B[C= (A\B)\A[B[C= (A\B)\A\B[C= (A\B)\A\B[(A\B\C)

Or :(A\B)\A\B=?Ainsi :B3= (A\B\C)

!Simpli...ons:B4=A[A\B[A\B\C=A[A \(A[B)[A\B\C= (A[B)[A\B\C= (A[B)[A[B\C= (A[B)[A[B\(A[B[C)

Or :(A[B)[A[B=EAinsi :B4= (A[B[C)

Exercice 2

2.2.APPLICATIONS5

SoitEun ensemble etAetBdeux parties deE.On suppose que :

A\B6=;;A[B6=E;A*B;B*A

Calculer :

1.(A\B)\A\B

2. A\B \A\B 3.

A\B\A[B

4.(A\B)\A[B

5.(A\B)[A\B

[A\B[A[B

Solution 2

1.(A\B)\A\B

=A\B\B=A\ ;=; 2:A\B \A\B=A\B\A\B=A\A\B\B=;

3:A\B\A[B=A\B\A\B

=A\B\A\B=A\B\B=A\ ;=;

4:(A\B)\A[B= (A\B)\A\B

=A\B\A\B=A\A\B\B=;

5:(A\B)[A\B

[A\B[A[B = (A\B)[A\B [A\B[A\B (A\B)[A\B [A\B[A\B A\B[B [A\B[B = (A\E)[A\E=A[A=E

2.2 Applications

Exercice 3

1. Soitfl"applications deRversRdé...nie par

f(x) =2x1 +x2 :L"applicationfest-elle injective? surjective?

2. Soit l

0applicationfdé...nie par

f(x) =x+ 22x3 :Déterminerff,f1et(ff)1ainsi que leurs domaine de dé...nition .

6CHAPITRE 2.ENSEMBLES-APPLICATIONS-

3. Soit l

0applicationfdé...nie par

f(x) =1x

Déterminerffetf1:

4. Déterminerghethogpour les applications dé...nies deR+versR+par :

h(x) =pxetg(x) =x2

Solution 3

1) Soitfl"applications deRversRdé...nie parf(x) =2x1 +x2

L"applicationfn"est pas injective car :

f(2) =f12 =45 et26=12

L"applicationfn"est pas surjective car :

Poury= 2,f(x) = 2n"a pas de solution dansR:

2) Soit l

0applicationfdé...nie parf(x) =x+ 22x3:

Déterminonsff,f1et(ff)1ainsi que leurs domaine de dé...nition . D f=R32 ff(x) =f(f(x)) = x+ 22x3 + 22 x+ 22x3

3=5x44x+ 13

Domaine de dé...nition deffest : Dfof=R32

;134 !Calculons :f1(x)

Pour cela montrons quefest bijective.

ie :8y2R9x2R32 x unique = y=f(x)

Posonsf(x) =x+ 22x3=y)x=3y+ 22y1avecy6=12

Par suite :f1(x) =3x+ 22x1et le domaine de dé...nition def1est :Df1= R12 !Calculons :(ff)1(x) Pour cela : Posonsff(x) =5x44x+ 13=y)x=13y+ 44y+ 5 Par suite :(ff)1(x) =13x+ 44x+ 5et le domaine de dé...nition de(ff)1est : D (ff)1=R12 ;54

3) Soit l

0applicationfdé...nie parf(x) =1x

Déterminonsffetf1:

D f=R ff(x) =f(f(x)) =11 x =x fofest l"application identitée notée par :idR

Domaine de dé...nition deffet : Dfof=R

2.2.APPLICATIONS7

Calculons :f1(x)

Pour cela : Posonsf(x) =1x

=y)x=1y

Par suite :f1(x) =1x

=f(x)et le domaine de dé...nition def1est : D f1=R

4) Déterminonsghethogpour les applications dé...nies deR+versR+par :

h(x) =pxetg(x) =x2 gh(x) =g(h(x)) = (px)2=x hog(x) =h(g(x)) =p(x2) =jxj=xcarx2R+Ainsi :gh=hog=idR+Exercice 4

Soitfl"application dé...nie par

f(x) =1;six <0

1 +x, six0

Déterminerf(R);f1(f1g);f1([1;2]);f1(f1g): fest-elle injective? fest-elle surjective?

Solution 4

Soitfl"application dé...nie par

f(x) =1;six <0

1 +x, six0

Déterminonsf(R);f1(f1g);f1([1;2]);f1(f1g): fest-elle injective? fest-elle surjective? !f(R) =ff(x)=x2Rg=f(x)=x2R[R+=f1g [[1;+1[ = [1;+1[ !f1(f1g) =fx =f(x)2 f1gg=fx =f(x) = 1g= ]1;0[[ f0g = ]1;0] !f1(f1g) =fx =f(x)2 f1gg=fx =f(x) =1g=? !f1([1;2]) =fx =f(x)2[1;2]g=fx =f(x) = 1ou bienf(x)2]1;2]g = ]1;0][ fx =f(x)2]1;2]g

On af(x)2]1;2]cela veut dire que :1f(x)2)11 +x2)

0x1 Ainsi :f1([1;2]) = ]1;0][fx =f(x)2]1;2]g= ]1;0][]0;1] = ]1;1]

7!fest injective si et seulement sif(x1) =f(x2))x1=x2

On a :f(2) =f(3) = 1or26=3)fn"est pas injective.

7!fest surjective si et seulement si8y2R9x2R/f(x) =y

Poury=1on af1(f1g) =?cela veut dire quef(x) =1n"a pas de solution)fn"est pas surjective.

8CHAPITRE 2.ENSEMBLES-APPLICATIONS-

Chapitre 3

Relations d"Equivalences et

Relations d"Ordre

3.1 Relations d"Equivalence

Exercice 5

1)- Dans l"ensembleR;on dé...nit la relation

8x;y2R:x

Montrer que

2)- Meme question pour la relation binaire

8x;y2R:x

Montrer que Quelle est la classe d"équivalence d"un nombrexdeR:

3)-Soitfune application deRversR:On dé...nit la relation binairesurR

par

8x;y2R:xy,f(x) =f(y)

Montrer queest une relation d"équivalence. Quelle est la classe d"équiva- lence d"un nombrextel quef(x) =x2x+ 2

Solution 5

1)- Dans l"ensembleR;on dé...nit la relation

8x;y2R:x

Montrons que 9

10CHAPITRE 3.RELATIONS D"EQUIVALENCES ET RELATIONS D"ORDRE

! En sommant on aura :cos2x+ sin2y+ cos2y+ sin2x= 2

Sachant que :cos2x+ sin2y= 1alors :cos2y+ sin2x= 1cela veut dire que :yOr :sin2y+ cos2y= 18y2R

D"ou :cos2x+ sin2z= 1cela veut dire que :x Il s"ensuit que2)- Meme question pour la relation binaire

8x;y2R:x

Montrons que ! 2y=x2x,y2x2=yx)y ! On a :x yOr :x2x=y2y=z2z)x2x=z2z,x2z2=xz,x Il s"ensuit que3)Soitfune application deRversR:On dé...nit la relation binairesurR

par

8x;y2R:xy,f(x) =f(y)

!()est ré‡exive ssi8x2R:xxcela veut diref(x) =f(x)c"est

évident .

!()est symétrique ssi8x;y2Rxy=)yx xy,f(x) =f(y),f(y) =f(x)cela veut direyx !()est transitive ssi8x;y;z2R;xycela veut direyz=)xz

3.2. RELATIONS D"ORDRE11

On a :

xy,f(x) =f(y) yz,f(y) =f(z)=)f(x) =f(z)cela veut direxz

Par suite :()est une relation d"équivalence

!La classe d"equivalence d"un nombrextel quef(x) =x2x+ 2est ::x=fy2R= xyg=fy2R= f(x) =f(y)g =y2R= x2x+ 2 =y2y+ 2 y2R= y2x2y+x= 0 y2R=y2x2(yx) = 0 =fy2R=(yx)(y+x1) = 0g =fy2R=(yx) = 0ou bien(y+x1) = 0g =fy2R= y=xou bieny= 1xg =fx,1xg

3.2 Relations d"Ordre

Exercice 6

1)-Dans l"ensembleZ;on dé...nit la relationpar :

8x;y2Z:xy, 9n2N;y+ 1 =n(x+ 1)

Montrer queest une relation d"ordre.

2)- On munitR2de la relation notéedé...nie par :

(x;y)(x0;y0),x6x0ety6y0 Montrer queest une relation d"ordre surR2:L"ordre est-il total?

Solution 6

Montrons queest une relation d"ordre.

!est ré‡éxive si est seulement si :8x2Z:xx

9n= 12N;x+ 1 =n(x+ 1)cela veut dire quexx

!est antisymétrique si est seulement si8x;y2Z:xyetyx)x=yxy, 9n2N;y+ 1 =n(x+ 1):::(1)et yx, 9n02N;x+ 1 =n0(y+ 1):::(2) Remplaçons l"équation(1)dans l"équation(2)on trouve :

9n2N;9n02N= x+ 1 =n0n(x+ 1)

Six6=1alors :n0n= 1)n=n0carn;n02Net doncx=y

Six=1remplaçons dans l"équation(1)on trouvey=1,cela veut dire quex=y dans tous les casest antisymétrique. !est transitive si est seulement si8x;y;z2Z:xyetyz)xzxy, 9n2N;y+ 1 =n(x+ 1):::(1)et yz, 9n02N;z+ 1 =n0(y+ 1):::(2)

12CHAPITRE 3.RELATIONS D"EQUIVALENCES ET RELATIONS D"ORDRE

Remplaçons l"équation(1)dans l"équation(2)on trouve :

9n2N;9n02N=z+ 1 =n0n(x+ 1)

9n" =n0n2N=z+ 1 =n" (x+ 1),xz

Il s"ensuit queest une relation d"ordre.

2)- On munitR2de la relation notéedé...nie par :

Montrons queest une relation d"ordre surR2:

! est ré‡éxive si est seulement si :8(x;y)2R2: (x;y)(x;y)

8(x;y)2R2, on ax6xety6ycela veut dire que :(x;y)(x;y)

! est antisymétrique si est seulement si

8(x;y);(x0;y0)2R2: (x;y)(x0;y0)et(x0;y0)(x;y))(x;y) = (x0;y0)(x;y)(x0;y0),x6x0et y6y0

(x0;y0)(x;y),x06x et y06y On a à la foisx6x0etx06xcela veut dire que:x=x0

De meme :y6y0ety06ycela veut dire que :y=y0

Ainsi :(x;y) = (x0;y0)d"ouest antisymétrique .

est transitive si est seulement si

8(x;y);(x0;y0);(x";y")2R2: (x;y)(x0;y0)et(x0;y0)(x";y"))

(x;y)x";y"

On a :

(x;y)(x0;y0),x6x0et y6y0 et (x0;y0)(x";y"),x06x"et y06y"9 )x6x"et y6y" cela veut dire que: (x;y)x";y"

Il s"ensuit queest une relation d"ordre surR2:

L"ordre n"est pas total car : on ne peut pas comparer(0;1)et(1;0):

Chapitre 4

Structure algébrique

Exercice 7

On dé...nt surR13

la loi()comme suit : xy= 3xy+x+y

1)Montrer queest une loi interne .

2)Montrer queR13

;est un groupe abélien .

Solution 7R+;est -il un groupe commutatif?

xy= 3xy+x+y8x;y2R13 ;xy2R13

Supposons que8x;y2R13

;xy =2R13 cela veut dire que :

3xy+x+y=13

)9xy+ 3x+ 3y+ 1 = 0)(3x+ 1)(3y+ 1) = 0)(3x+ 1) = 0ou bien (3y+ 1) = 0 cela veut dire :x=13 ou bien y=13 contradiction d"ouxy2R13 2) R13 a)est commutative ssi8x;y2R13 xy=yx xy= 3xy+x+y= 3yx+y+x=yx b)est associative ssi8x;y;z2R13 (xy)z=x(yz) (xy)z= 3(xy)z+(xy)+z= 3(3xy+x+y)z+(3xy+x+y)+z 13

14CHAPITRE 4.STRUCTURE ALGÉBRIQUE

= 9xyz+3xz+3yz+3xy+x+y+z= 3x(3yz+y+z)+x+(3yz+y+z) = 3x(yz) +x+ (yz) =x(yz)ce qu"il fallait démontrer . c) Existence de l"élement neutre :9e2R13 =8x2R13 xe=ex=x est commutative par suite on va résoudre une seule équation .

Soitxe=x=)3xe+x+e=x=)(3x+ 1)e= 0 =)e= 0carx6=13

et02R13 d) Existence de l"élement symétrique :8x2R13

9x02R13

xx0=x0x=e= 0 est commutative par suite on va résoudre une seule équation . Soitxx0= 0 =)3xx0+x+x0= 0 =)(3x+ 1)x0=x=)x0=x(3x+ 1) carx6=13

On a :x(3x+ 1)6=13

car six(3x+ 1)=13 on aura :1 = 0absurde ainsix0=x(3x+ 1)2R13 d"aprés a) b) c) et d) R13 est un groupe abélien

Exercice 8

On dé...nt sur]1;1[la loi()comme suit :

xy=x+y1 +xy

1)Montrer queest une loi interne .

2)Montrer que(]1;1[;)est un groupe abélien .

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