[PDF] CALCUL MATRICIEL 1 Définitions et Notations 2 Opérations sur les

Matrices, liens avec les applications linéaires Chapitre 22 : Matrices-¸.(AÅB)AE¸.AŸ.B.-(¸Å¹).AAE¸.AŹ.A.-(¸¹).AAE¸.(¹.A).On peut donc énoncer le résultat suivant : (Mn,p(K),Å,.) est unK-espace vectoriel.Mn,p(K)est unK-e.v de dimensionnp, et les matrices élémentaires(Ei,j)16i6n16j6pconstituent une basedeMn,p(K). Cette base est appeléebase canoniquedeMn,p(K), car les coordonnées d"une matriceM2Mn,p(K)dans cette base sont les coefficients deM, c"est à dire :MAEP16i6n16j6pMi,j.Ei,j.Théorème 22.3(dimension deMn,p(K))Preuve: Il reste à montrer que la famille des matrices élémentaires est libre et génératrice deMn,p(K). SoitM2Mn,p(K), posonsBAEP16i6n16j6pMi,j.Ei,j, on a alors8(k,l)2J1;nK£J1;pK,Bk,lAEP16i6n16j6pMi,j.(Ei,j)k,l, ce qui donneBk,lAEP16i6n16j6pMi,j±i,k±j,l, et doncBk,lAEMk,l, d"oùBAEM. Ce qui prouve que toute matriceMs"écrit de manière uniquecomme combinaison linéaire des matrices élémentaires, celles-ci constituent donc une base deMn,p(K), or elles sontau nombre denp, donc dim(Mn,p(K))AEnp. Celle-ci est simple et laissée en exercice.FExercice22.1Montrer queTsn(K),Tin(K),Sn(K)etAn(K)sont des s.e.v deMn(K). Pour chacun d"eux donner une baseet la dimension.On a les propriétés suivantes :• La transposition est linéaire, plus précisément, c"est un isomorphisme deMn,p(K)surMp,n(K).• La trace est une forme linéaire non nulle surMn(K).Théorème 22.4(propriétés de la transposition et de la trace)Preuve: Pour le premier point, la linéarité est simple à vérifier. On peut voir ensuite que la transposition transforme labase canonique deMn,p(K) en la base canonique deMp,n(K).Pour le second point, il s"agit d"une simple vérification de la linéarité, d"autre part, tr(In)AEn6AE0.FExercice22.2Montrer que la transposition dansMn(K)est une symétrie, déterminer ses éléments caractéristiques.3) Matrice d"une application linéaireSoitEunK-e.v de dimensionp, soitBAE(e1,...,ep) une base deE. SoitFunK-e.v de dimensionnet soitB0AE(u1,...,un) une base deF. Soitf2L(E,F), on sait quefest entièrement déterminée par la donnée def(e1),...,f(ep), mais chacun de ces vecteurs est lui-même déterminé par ses coordonnées dans la baseB0de F. Notons coordB0(f(ej))AE(a1,j,...,an,j) pourj2J1;pK, c"est à dire :8j2J1;pK,f(ej)AEnXiAE1ai,jui.On obtient ainsi une matrice AAE(ai,j)16i6n16j6pcette matrice est définie par :cj(A)AEcoordB0(f(ej)).Soitf2L(E,F), soitBAE(e1,...,ep)une base deEet soitB0AE(u1,...,un)une base deF, on appellematrice defrelative aux basesBetB0la matrice deMn,p(K)notéematB,B0(f)et définie par : pourj2J1;pK, lej-ième vecteur colonne de cette matrice estcoordB0(f(ej)), autrement dit, le coefficient dela ligneicolonnejest la coordonnée suruidu vecteurf(ej).Définition 22.7Construction de cette matrice:MPSI3 (2018-19) LYCÉEMONTAIGNE- 207 -©Fradin Patrick -

Changement de bases Chapitre 22 : MatricesSoitA2Mn(K), alors les assertions suivantes sont équivalentes :a)Aest inversible.b)Il existe une matriceB2Mn(K)telle queBAAEIn.c)L"équationAXAEOn,1d"inconnueX2Mn,1(K)admet uneunique solutionXAEOn,1.d)8Y2Mn,1(K), l"équationAXAEYd"inconnueX2Mn,1(K)admet une unique solution.e)8Y2Mn,1(K), l"équationAXAEYd"inconnueX2Mn,1(K)admet au moins une solution.Théorème 22.12(caractérisations des matrices carrées inversibles)Preuve: L"implicationi)AE)ii) est évidente en prenant BAEA¡1.Montronsii)AE)iii) : On a BAAEIn, d"où AXAEOn,1AE)BAXAEOn,1AEX.Montronsiii)AE)iv) : Soitf2L(Kn) l"endomorphisme deKncanoniquement associé àA, soitx2ker(f),posonsXAECoordB(x) oùBdésigne la base canonique deKn, on a alorsCoordB(f(x))AEAXAEOn,1, doncXAEOn,1i.e.xAE¡!0, l"applicationfest donc injective, mais alors elle est bijective :8y2Kn,9!x2Kn,f(x)AEy, ce qui entraîne8Y2Mn,1(K),9! X2Mn,1(K),AXAEY (remarquons que A est inversible puisquefest bijective, et que XAEA¡1Y).L"implicationiv)AE)v) est évidente.Montronsv)AE)i) : Avec les notations précédentes, l"applicationfest surjective par hypothèse, doncfestbijective et par conséquent sa matrice A est inversible.Remarque 22.7 -Il découle en particulier de ce théorème que siBAAEInalorsABAEIn(carA2GLn(K)et doncBAEA¡1), ce qui est remarquable.FExercice22.71/SiA2GLn(K), montrer quetAest inversible et que(tA)¡1AEt(A¡1).2/SoitAAE0@1¸¡10 2 11 0 11A, déterminer en fonction de¸siAest inversible ou non, si c"est le cas, calculerA¡1.3/soitT2Mn(K)une matrice triangulaire supérieure, montrer queT2GLn(K)ssi ses éléments diagonaux sont tousnon nuls, si c"est le cas, montrer queT¡1est également triangulaire supérieure.IV CHANGEMENT DE BASES1) Matrice de passageSoitEunK-espace vectoriel, soitBAE(e1,...,en)une base deE, soitSAE(x1,...,xp)une famille devecteurs deE, on appellematrice de la familleSdans la baseB, la matriceA2Mn,p(K)définiepar :8(i,j)2J1;nK£J1;pK,ai,jest la coordonnée sureidexj. Autrement dit, pourj2J1;pK, lej-ième vecteur colonne deAestCj(A)AEcoordB(xj). Cette matrice est notéePB,Set appelée matricede passage deBàS, elle exprime les vecteurs deSdans la baseB:x1¢¢¢xp!vecteurs deS# ¢¢¢ #PB,SAE0B@a1,1¢¢¢a1,p......an,1¢¢¢an,p1CA!coordonnée sure1premier vecteur deB...!coordonnée surendernier vecteur deBDéfinition 22.11ZExemples:-SoitBla base canonique deK3, soitx1AE(1,¡1,0) etx2AE(2,¡1,3), alors la matrice de la familleSAE(x1,x2) dans la baseB, estPB,SAE0@1 2¡1¡10 31A.-SoitBAE(i,j,k) la base canonique deK3, soitB0AE(i,iÅj,iÅjÅk), on vérifie queB0est une base deK3. Déterminons la matrice de la familleSprécédent dans la baseB0: on ax1AEi¡jAE2i¡(iÅj) etx2AE2i¡jÅ3kAE3(iÅjÅk)¡4(iÅj)Å3i, on a doncPB0,SAE0@2 3¡1¡40 31A.MPSI3 (2018-19) LYCÉEMONTAIGNE- 213 -©Fradin Patrick -

Opérations élémentaires sur les matrices Chapitre 22 : MatricesV OPÉRATIONS ÉLÉMENTAIRES SUR LES MATRICES1) Rang d"une matriceSoitA2Mn,p(K)une matrice, on appelle rang de la matriceA, le rang dansKnde la famille constituéepar sespvecteurs colonnes, notation :rg(A)AErg(C1(A),...,Cp(A)).Définition 22.14Soitu2L(E,F), soitBune base deE, soitB0une base deF, et soitAAEmatB,B0(u), alorsrg(u)AErg(A).Théorème 22.21Preuve: SoitBAE(e1,...,ep),B0AE(e01,...,e0n) et soitB00AE(e001,...,e00n) la base canonique deKn. Soitv2L(F,Kn)défini par8i2J1;nK,v(e0i)AEe00i, alorsvest bijective (transforme une base en une base), doncrg(u)AErg(v±u)AErg(v(u(e1)),...,v(u(ep))); orv(u(ej))AEnPkAE1Ak,je00jAECj(A), donc rg(u)AErg(A) d"après la définition précédente.SoitEun espace vectoriel de dimensionn, soitSAE(x1,...,xp)une famille depvecteurs deEet soitBune base deE, alorsle rang de la familleSest égal au rang de la matrice de cette famille dans labaseB.Théorème 22.22(conséquence)Preuve: PosonsBAE(e1,...,en), soitB0AE(e01,...,e0p) la base canonique deKp, soitu2L(Kp,E) l"application linéairedéfinie par :8i2J1;pK,u(e0i)AExi, alorsAAEmatB0,B(u) est la matrice de la familleSdans la baseB, orrg(A)AErg(u)AErg(x1,...,xp), ce qui donne le résultat.Calculer le rang d"une application linéaire, ou d"une famille de vecteurs, revient à calculer le rang d"unematrice.2) Propriétés du rang d"une matriceLes propriétés suivantes découlent de celles du rang des applications linéaires.a)Soitf2L(E,F), soitBune base deEavecdim(E)AEp, soitB0une base deFavecdim(F)AEn, et soitAAEmatB,B0(f)2Mn,p(K), on a :i)rg(A)6min(n,p).ii)rg(A)AEn()fest surjective.iii)rg(A)AEp()fest injective.b)Si A2Mn(K), alors A2GLn(K)()rg(A)AEn.c)Si A2Mn,p(K),B2Mp,q(K), alors rg(A£B)6min(rg(A),rg(B)).d)Si A2GLn(K),B2Mn,p(K), alors rg(A£B)AErg(B).e)Si A2Mn,p(K),B2GLp(K), alors rg(A£B)AErg(A).SoitA2Mn,p(K), alors :rg(A)AEr() 9U2GLn(K),9V2GLp(K),UAVAEJn,p,r.Théorème 22.23Preuve: Si U et V existent alors rg(A)AErg(UAV)AErg(Jn,p,r)AEr.Réciproquement, sirg(A)AEr, soitBla base canonique deKp, soitB1la base canonique deKn, et soitu2L(Kp,Kn) défini parmatB,B1(u)AEA(u est l"application linéaire canoniquement associée àA), on arg(u)AErg(A)AEr, onsait alors qu"il existe une baseB0deKpet une baseB01deKntelles quematB0,B01(u)AEJn,p,r, soitPAEPB,B0etQAEPB1,B01,d"après les formules de changement de bases, on aJn,p,rAEQ¡1£A£P, ce qui termine la preuve, en prenantUAEQ¡1etVAEP.FExercice22.11Montrer qu"une matriceA2Mn,p(K)et sa transposée ont le même rang.3) Opérations élémentairesMPSI3 (2018-19) LYCÉEMONTAIGNE- 216 -©Fradin Patrick -