[PDF] MATRICES NILPOTENTES ET TABLEAUX DE YOUNG Le corps de

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MATRICES NILPOTENTES ET TABLEAUX DE YOUNG

OLIVIER DEBARRE

Le corps de baseKest quelconque, sauf mention du contraire.

1.Suite des noyaux iteres

Soitfun endomorphisme d'un espace vectorielEde dimension nien. On denit la suite des noyaux iteres par E k:= Ker(fk):

C'est donc une suite croissante

0 =E0E1E2 E:

de sous-espaces vectoriels deE, qui doit donc se stabiliser. On note, pour toutk>0, d k:= dim(Ek) (suite croissante majoree parn) et, pour toutk>1, k:=dkdk1(suite positive), de sorte que d k=1++k:

Proposition 1.1.La suite(k)k>1est decroissante.

D emonstration.Soitk>1. On af(Ek+1)Ek. Regardons la composee E k+1f!EkEk=Ek1: Un elementx2Ek+1est dans son noyau si et seulement sif(x)2Ek1, c'est-a-dire si et seulement sifk1(f(x)) = 0. C'est equivalent ax2Ek. La factorisation canonique induit donc une injection E k+1=Ek,!Ek=Ek1:

On a ainsi l'inegalitek+16k.

Corollary 1.2.Sidk0=dk0+1pour unk0>0, alorsdk0=dkpour toutk>k0. La suite (dk)k>0est donc strictement croissante jusqu'a ce qu'elle soit constante. Sifest un endomorphisme nilpotent, la suite (dk)k>0est donc strictement croissante jusqu'an. On en deduitdn=n, doncfn= 0. 1

2 O. DEBARRE

2.Diagrammes de Young

Denition2.1 (Partitions).Unepartitiond'un entiern>0 est une suite decroissante = (1;2;:::) de nombres entiers positifs de sommen. On n'indique en general pas les 0 a la n de la suite. Denition2.2 (Diagramme de Young d'une partition).Undiagramme de Youngest un dia- gramme d'un nombre ni de petites bo^tes mises en ligne, chaque ligne ayant moins de bo^tes que la precedente. Leduald'un diagramme de Young est le diagramme de Young ou on a echange lignes et colonnes. Le diagramme de Young d'une partition= (1;2;:::) denest le diagramme dont la premiere ligne contient1bo^tes, la seconde2bo^tes, etc. Il y a au totalnbo^tes. Son dual est le diagramme d'une partitiondenappeleepartition duale.

La formule generale est

i:= Cardfj>1jj>ig: Par exemple, le diagramme de Young de la partition (3;3;2;1) estSon dual est

La partition duale est (4;3;2).

3.Reduction de Jordan des endomorphismes nilpotents

Sifest un endomorphismenilpotentd'un espace vectorielEde dimension nien, la suite := (1;2;:::) denie precedemment est une partition den. Lediagramme de Youngdef est celui de la partition duale:=; on met donc lesken colonne, l'indice de nilpotence defest le nombre de colonnes, c'est-a-dire1, etdkest le nombre total de bo^tes dans lesk premieres colonnes du diagramme. Theoreme 3.1.Soitfun endomorphisme nilpotent d'un espace vectorielEde dimension nienet soitla partition denassociee af. Il existe une base deEdans laquelle la matrice defest composee de blocs de Jordan de taille1;2;:::.

MATRICES NILPOTENTES ET TABLEAUX DE YOUNG 3

Par exemple, sin= 9 et qued1= 3,d2= 6,d3= 8 etd4= 9, on a1= 3,2= 3,

3= 2 et4= 1. La partition1defest donc (4;3;2), son diagramme estet la matrice est du type

0 @J 40 0
0J30

0 0J21

A La partition de l'endomorphisme 0 est (1;:::;1). Les blocs de Jordan sont tous des J

1= (0).

D emonstration.On va remplir les cases du diagramme defavec des vecteurs qui vont former une base deE. Faisons-le sur l'exemple. Sirest l'indice de nilpotence def, la derniere colonne a droite du diagramme correspond a la dimension deE=Er1. On place dans cette colonne des vecteurs deEdont les classes forment une base deE=Er1. Dans notre exemple, il y a un seul tel vecteur :v

1On verie facilement que les images de ces vecteurs parf;f2;:::;fr1forment une famille

libre, qu'on met dans le tableau : f

3(v1)f

2(v1)f(v1)v

1La deuxieme colonne en partant de la droite correspond a la dimension deEr1=Er2. On

complete les vecteurs deja presents pour en former une base et on remplit les lignes correspon- dantes par les images par les iteres def: f

3(v1)f

2(v1)f(v1)v

1f

2(v2)f(v2)v

2

4 O. DEBARRE

On continue ainsi jusqu'a remplir tout le tableau

f

3(v1)f

2(v1)f(v1)v

1f

2(v2)f(v2)v

2f(v3)v

3L'injection de la preuve de la prop. 1.1 correspond a passer d'une colonne a la colonne situee

immediatement a gauche en appliquantf. La premiere colonne a gauche correspond au noyau def. La base deEformee en mettant tous ces vecteurs ensemble (en lisant de gauche a droite et de haut en bas) est de la forme cherchee. Inversement, etant donnee une matrice formee de blocs de JordanJ1;J2;:::, avec

1>2>, de sorte que (1;2;:::) est une partition den, on retrouve lesk, donc

les dimensionsdkdes noyaux iteres, par la partition duale. On rappelle que1est l'indice de nilpotence, tandis quer=1=d1est la dimension du noyau. Corollary 3.2.Deux endomorphismes nilpotents deEsont semblables si et seulement s'ils ont la m^eme partition. Soitt2K. Si, a la n de la preuve, on forme la base deEdans le m^eme ordre mais en multipliant les vecteurs de lak-ieme colonne partk1, on trouve que la matrice est multipliee part(sur la reduite de Jordan, on peut m^eme remplacer chaque 1 par un element deKnon nul quelconque). Corollary 3.3.Soitt2K. Toute matrice nilpotenteNest semblable atN. Si, a la n de la preuve, on forme la base deEen lisant de droite a gauche et de haut en bas, on trouve que la matrice est formee des m^eme blocs de Jordan, mais transposes. Corollary 3.4.Toute matrice nilpotente est semblable a sa transposee. Exemple3.5.SoientAetBdes matrices deMn(K) telles que Im(A) = Ker(A) et Im(B) = Ker(B). Montrer quenest pair et queAetBsont semblables. On a necessairementA2=B2= 0, maisA6= 06=B, donc les matricesAetBsont d'indice de nilpotence 2. Leurs diagrammes de Young (qui ontncases) ont ainsi deux colonnes. On a1(A) = dim(Ker(A)) et2(A) =ndim(Ker(A)) = dim(Im(A)) (theoreme du rang), donc1(A) =2(A) par hypothese. Les deux colonnes ont doncn=2 cases et les matricesA etBsont toutes les deux semblables a la matrice avecn=2 blocs de JordanJ2=0 1 0 0

4.Ordre sur les partitions

Denition4.1.Soient= (1;2;:::) et= (1;2;:::) des partitions den. On dit que domine, et on ecrit<, si, pour toutk>1, on a

1++k>1++k:

MATRICES NILPOTENTES ET TABLEAUX DE YOUNG 5

C'est un ordre seulement partiel sur les partitions den. Voici quelques exemples (c'est un ordre total pourn65) :< mais ce n'est plus un ordre total pourn>6. Par exemple, les tableauxet ne sont pas comparables. Le plus grand element est toujours la partition (n) (tableau a une ligne), et le plus petit la partition (1;1;:::) (tableau a une colonne). Cet ordre est important pour nous pour la raison suivante. Theoreme 4.2.SupposonsK=C. SoitCla classe de conjugaison des matrices nilpotentes de partition. On a C C Toute classe de conjugaison de matrices nilpotentes est donc contenue dans l'adherence deC(n)(un seul bloc de JordanJn). C'est facile : il sut de remplacer certains des 1 deJnpar un parametret(voir le commentaire avant le cor. 3.3) qu'on fait tendre vers 0. Inversement, la matrice nulle (classeC(1;:::;1)) est dans l'adherence de toutes les classes (on peut appliquer le cor. 3.3 et y faire tendretvers 0). D emonstration.Nous ne demontrerons que l'implicationCC )<. La reciproque est plus dicile. SoitAune matrice de partition. Avec les notations du debut, on adk(A) =nrang(Ak) pour toutk>0. Ces nombres sont relies a la partition duale(A)par la formule(A)k= d k(A)dk1(A) pour toutk>1. On a donc rang(Mk) =ndk(A) pour toutM2C. Or l'ensemble des matrices de rang6rest ferme (car deni par l'annulation de tous les mineurs de tailler+ 1), donc toute matriceBdansC verie rang(Bk)6ndk(A). Ceci entra^nedk(B)>dk(A) pour toutk>0. Par denition, c'est exactement dire (B)<(A): On verie facilement que cela est equivalent a(A)<(B).

6 O. DEBARRE

Remarquons pour nir que chaque classeCest aussi un c^one (cor. 3.3). Ces classes forment une partition du c^one nilpotent N n:=fM2Mn(C)jMn= 0g: On a vu que l'adherence deC(n)contient toutes les autres classes, doncC (n)=Nn. De plus,C(n) est ouverte dansNn(elle est denie par les conditionsMn= 0 etMn16= 0). Toute autre classeCest dans la frontiere deC (n)rC(n)deC(n), donc est d'interieur vide.

Universit

e de Paris, U.F.R. de Mathematiques, 75013 Paris, France

E-mail address:debarre@math.univ-paris-diderot.fr

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