[PDF] CH 10 : Matrices Exemple d'une matrice carré





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Then {E, L) generates a linear space of nilpotents afand only af {E, L) is triangularizable. Proof. It is obvious that if {E, L} is triangularizable, then (E, L) gener- ates a linear space of nilpotents.

CH 10 : Matrices

Table des matières

I Généralités : notations, définitions 1

I. 1 Définitions

1

I. 2 Matrices particulières

2

II Opérations élémentaires dansMnp(K)4

II. 1 Somme de deux matrices de même taille

4

II. 2 Multiplication par un scalaire

4

IIIProduit matriciel5

III. 1Produit matriciel : définition

5

III. 2Propriétés

6 III. 3Cas particuliers des matrices diagonales et triangulaires supérieures 7

IV Puissancesn-ièmes de matrices carrées7

IV. 1Définition

7 IV. 2Matrices dont on sait calculer facilement la puissancen-ième. . . . . . . . . . . . . . . 7

IV. 3Identité remarquable, binôme de Newton

8 IV. 4Méthodes usuelles de calcul de puissancesn-ièmes de matrice. . . . . . . . . . . . . . 8

IV. 5Application à l"étude de suites

9

V Matrices carrées inversibles

9

V. 1 Définition et propriétés

9 V. 2 Inversibilité des matrices diagonales et triangulaires supérieures 10 V. 3 Inversibilité des matrices dont on connaît une relation entre les petites puissances 11

V. 4 Matrices et systèmes linéaires

11

V. 5 Cas particulier des matrices deM2(K).. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 CH 10 : Matrices

Dans tout ce chapitre,Kreprésente soit l"ensemble des réelsR, soit l"ensemble des complexesC.

IGénéralités : notations, définitions

I. 1Définitions

Matrices, ensembleMnp(K):Définition 1.Soientnetpdeux entiers naturels non nuls. On appelle matrice de taillenpà coefficients dansK.......................... SiAest une telle matrice, on noteaij2Kle coefficient de lai-ème ligne etj-ième colonne. Ainsi, dans le cas général, on a : L"ensemble des matrices de taillenpà coefficients dansKest noté ............Exemples.A= 1 2 1 34 9!
:On a alorsBCPST1-Lycée Chaptal Page 1 2021/2022 B=0 B

BBBBB@i2i1 + 3i

34 + 7i5i

8ii6 +i

2 + 6i9 +i1 + 4i1

C

CCCCCA:On a alors

Exercice 2.Donner des matricesA; BetCtelles queA2 M32(R),B2 M12(C)etC2 M24(R). Matrices carrées, ensembleMn(K):Définition 3.Soitn2N?. Sin=p, on dit que la matrice est ..............................................

L"ensemble des matrices carrées de taillenest noté .............................Exemples.Exemple d"une matrice carrée réelle de taille 2 :

Donner une matriceA2 M3(R):

Matrices lignes, matrices colonnes :Définition 4.Soitn2N?. SiAest une matrice ànlignes et 1 colonne, on dit queAest ................... On note alorsA=et on aA2................................ SiAest une matrice à1ligne etncolonnes, on dit queAest ................... On note alorsA=et on aA2................................Exemples.

Égalité entre deux matrices :Définition 5.SoientA= (ai;j)i=1:::n;j=1:::petB= (ai;j)i=1:::n;j=1:::p

On dit que les deux matricesAetBsont égales si et seulement si

.................................................................................I. 2Matrices particulières

Matrices diagonales :

Définition 6.Une matrice carréeA= (ai;j)(i;j)2J1;nK2est diagonale si ................

Aest donc de la formeExemples.

Matrices triangulaires :BCPST1-Lycée Chaptal Page 2 2021/2022

Définition 7.Matrices triangulaires :

Une matrice carréeA= (ai;j)(i;j)2J1;nK2est triangulaire supérieure si ............

Aest donc de la forme

Une matrice carréeA= (ai;j)(i;j)2J1;nK2est triangulaire inférieure si ..............

Aest donc de la formeExemples.

Remarques.

Une matrice diagonale est donc une matrice qui est ...............................................

D"une façon générale, les termesai;id"une matrice carrée sont appelés .............................

Matrices nulles et matrices identités :Définition 8.Soient(n;p)deux entiers naturels non nuls. La matrice de taillenpdont tous les coefficients sont est appelée la matrice nulle. Elle est notée ..........ou ..........s"il n"y a pas d"ambiguïté. La matrice ............................est appelée la matrice identité de taillen.

Elle est notée .............Exemples.

0

23=I2=I3= 014=

Matrices élémentaires :Définition 9.Soient les entiers naturels non nuls(n;p)fixés. Pour tous(i;j)2J1;nKJ1;pK, on noteEij2 M(K)la matrice .................

Les matricesEijsont appelées les ...............................................Exemples.On se place ici dansM23(R). Donner toutes les matrices élémentaires.

Transposée d"une matrice, Matrices symétriques et anti-symétriques :Définition 10.Transposée d"une matrice :

SoitA= (ai;j)i=1:::n;j=1:::p2 Mnp(K).

On appelle transposée deAet on note ...... , la matriceB=2 Mpn(K) définie par SiA=0 B BB@a

11a12::: a1p

a

21a22::: a2p.........

a n1an2::: anp1 C

CCAalors

La transposée d"une matrice s"obtient donc ...........................................

BCPST1-Lycée Chaptal Page 3 2021/2022

Exemples.Calculer la transposée deA=2 15

1 0 6

Calculer la transposée deB=0

@01 2 0 1 962

42 3 11

A .Définition 11.Matrices symétriques et anti-symétriques : Une matrice est dite symétrique si ..............................................

Une matrice est dite anti-symétrique si .........................................Exemples.Donner deux exemples de matrices symétriques :

Donner deux exemples de matrices anti-symétriques : Donner un type de matrice toujours symétrique : ............................................. Remarques.Les matrices symétriques sont forcément ....................................... Propriétés des matrices anti-symétriques : ?Les matrices anti-symétriques sont forcément ............................................ IIOpérations élémentaires dansMnp(K)II. 1Somme de deux matrices de même taille

Définition de la somme de deux matrices :

Définition 12.Sommes de matrices :

SoientA= (ai;j)i=1:::n;j=1:::petB= (bi;j)i=1:::n;j=1:::pdeux matrices deMn(K). On noteA+Bla matrice deMn(K)définie par :A+B=Exemple.A=0 B

BB@1 2

3 4 5 61 C

CCAB=0

B

BB@1 1

2 2 3 31 C

CCA:CalculerA+B.4

Propriétés de la somme :

·Commutativité :8(A;B)2 Mn(K)2,

¸Somme et transposée :8(A;B)2 Mn(K)2,

II. 2Multiplication par un scalaire

Définition de la multiplication d"une matrice par un scalaire :

BCPST1-Lycée Chaptal Page 4 2021/2022

Définition 13.Multiplication par un scalaire :

SoientA= (ai;j)i=1:::n;j=1:::pet2K.

On noteAla matrice deMn(K)définie par :A=Exemples.A=0 B

BB@1 2

3 4 5 61 C

CCAB=0

B

BB@1 1

2 2 3 31 C

CCA:Calculer5Aet2A+ 3B.

Propriétés de la multiplication par un scalaire :

·Distributivité :8(;)2K2;8(A;B)2 Mn(K)2;(

(A+B) = (+)A=

¸Multiplication par 0 :8A2 Mn(K),

¹Multiplication et transposée :8A2 Mn(K);82K,

IIIProduit matriciel

III. 1Produit matriciel : définition

Exemples.On définitA=0

B B@3 2 01 1 2 3 41 C

CAetB=1 2 0

31 2
. CalculonsAB.

On définitA=1 01

21 2
etB=0 @2 6 1 0 3 11 A . CalculonsABpuisBA.

On définitA=a11a12a13

a

21a22a23

etB=0 @b 11b12 b 21b22
b

31b321

A . CalculonsAB.Définition 14.Soient(n;p;q)2N3trois entiers naturels non nuls. SoientA2 Mnp(K) etB2 Mpq(K)avecA= (ai;j)i=1:::n;j=1:::petB= (bi;j)i=1:::p;j=1:::q. Le produitABde la matriceApar la matriceBest la matriceC2........ définie par

8i2J1;nK;8j2J1;qKcij=4

!Le produit matricielABn"est défini que si ...............................................

Exercice 15.Calculer tous les produits de deux matrices possibles avec les quatre matrices suivantes :

A=12 31
,B=1 2 1 2 1 3 ,C=0 @1 2 41
A etD=31 Remarques.Le produit matricielABpeut exister sans que ................................. Même siABetBAexistent, .................................................................

Cas particulier des matrices carrées de même taille : ..........................................

BCPST1-Lycée Chaptal Page 5 2021/2022

4

Exemple.

Multiplication matrice-v ecteuret lien a vecles sytèmes linéaires . SoitA=1 2 3 3 2 1 etX=0 @x y z1 A . CalculerAX. Mettre sous forme matricielle le systèmex+ 2y+ 3z= 1

3x+ 2y+z= 0.

III. 2Propriétés

Proposition 16.Soient(n;p;q;r)2N4des entiers naturels non nuls. Soit2Kun scalaire. Pour tout couple de matrices(A;B)2 Mnp(R)2, tout couple de matrices(C;D)2 M pq(R)2et toute matriceE2 Mqr(R), on a : Distributivité du produit matriciel par rapport à l"addition : Distributivité du produit matriciel par rapport à la multiplication par un scalaire :

Associativité du produit matriciel :

Elément neutre et produit matriciel :

Produit matriciel et transposition :4

!Les propriétés habituelles du produit surRet surCne s"appliquent pas du tout au produit matriciel. Donnons quelques exemples : Remarques.Deux matrices NON NULLES peuvent avoir un produit NUL. CalculerABavec

A=3 21

2 44 etB=0 @2 5 41
A La règle de simplification par un facteur non nul dansRouCne s"applique pas du tout aux matrices. On peut très bien avoirAB=AC..................................................

CalculerABetACavecA=0

@2 2 1 14 3 12 01 A ,B=0 @1 1 3 1 0 2

1 2 11

A etC=0 @13 9 22 5
12 71 A Le produit matriciel ..........................................................................

CalculerABetBAavecA=2 3

11 etB=1 3 2 5

Les identités remarquables et le binôme de Newton sont en général faux avec des matrices car

on utilise pour les démontrer la commutativité du produit dansRouC.

Soient(A;B;C)2 Mn(K)3.

(A+B)2= (AB)(A+B) = (A+B)3=BCPST1-Lycée Chaptal Page 6 2021/2022

Les propriétés usuelles dansRavec les puissances sont aussi en générale fausses avec les matrices

toujours à cause de la non commutativité du produit matriciel.

Soient(A;B)2 Mn(K).

(AB)3=A3B3= III. 3Cas particuliers des matrices diagonales et triangulaires supérieures

Proposition 17.Soitn2N?.

Le produit de deux matrices diagonales est ..................................... Le produit de deux matrices triangulaires supérieures est .......................

Le produit de deux matrices triangulaires inférieures est ........................Exemples.Calculer le produit des matrices dans les 3 cas suivants :

A=0 @1 0 0 02 0

0 0 41

A etB=0 @4 0 0 0 3 0 0 021 A A=0 @1 2 0 021

0 0 41

A etB=0 @4 0 0 0 3 2 0 051 A A=0 @1 0 0 2 4 0

1 1 41

A etB=0 @4 0 0 0 3 0 1 221 A

IVPuissancesn-ièmes de matrices carréesOn se place dans toute cette section dansMr(K)ensemble des matrices carrées de tailler,r2N?.

Ainsi tous les produits matriciels ont bien un sens.

IV. 1Définition

Proposition 18.Soientn2NetAune matrice carrée non nulle deMr(K). On définit A nmatrice deMr(K)pour tout entier naturelnpar la récurrence suivante (A0=

8n2N; An+1=Exercice 19.CalculerInret(Ir)navecn2Net2R.

SoitA=0

@1 0 2 1 0 1 0 121 A . CalculerA2etA3puis(A)3avec2R. IV. 2Matrices dont on sait calculer facilement la puissancen-ièmeMatrices diagonales : Proposition 20.Soientn2NetA=diag(1;2;:::;r)2 Mr(K)une matrice carrée diagonale. On a : A n=BCPST1-Lycée Chaptal Page 7 2021/2022 Exercice 21.Calculer les puissancesn-ièmes deA=0 @1 0 0 0 2 0 0 021 A Matrices nilpotentes :Définition 22.SoitA2 Mr(K)une matrice carrée.

On dit queAest une matrice nilpotente ..............................................On connaît facilement les puissances d"une matrice nilpotente car ...............................

Exercice 23.Calculer les puissancesn-ièmes deB=0 @0 1 3 0 0 2

0 0 01

A

Matrices ayant les mêmes coefficients :

Exemple.CalculerBnavecB=0

@1 1 1 1 1 1

1 1 11

A

IV. 3Identité remarquable, binôme de Newton

Lorsque deux matricesAetBcommutent c"est-à-dire lorsqu"elles vérifientAB=BA, on retrouve

certaines propriétés usuelles surR.Proposition 24.SoientAetBdeux matrices qui commutentAB=BA, on a alors :

8 n2N;(AB)n=

8 n2N;(A+B)n=

8 n2N; AnBn=

8 n2N; AnIr=IV. 4Méthodes usuelles de calcul de puissancesn-ièmes de matriceMéthode 1 : avec la formule du binôme de Newton

Méthode pour calculerAnavec le binôme de Newton : On écritA=B+Cavec(B;C)2(Mr(K))2des matrices qui vérifient : ?Elles commutent entre elles :BC=CB. ?On connaît leurs puissances n-ièmes (matrices diagonales ou nilpotentes ou ayant les mêmes coefficients : on connaît pour toutk2N,BketCk). On utilise alors la formule du binôme de Newton :

8n2N; An=nX

k=0 n k B kCnket on utilise alors l"expression connue deBket deCnk.

Exercice 25.On poseA=0

@2 1 1 0 2 1

0 0 21

A . Calculer pour toutn2N; An.BCPST1-Lycée Chaptal Page 8 2021/2022

Exercice 26.On poseA=0

@2 1 1 1 2 1

1 1 21

A . Calculer pour toutn2N; An.

Méthode 2 : par récurrence si on connaît une relation entre les petites puissances de la matrice

Méthode pour calculerAnquand on connaît une relation entre les petites puissances deA: On calcule une relation entre par exempleA2; AetIr(ou entreA3; A2; AetIr...). On démontre par récurrence l"existence d"une ou plusieurs suites permettant d"exprimer, pour toutn2N,Anen fonction deAet deIr. La récurrence nous donne alors la relation de récurrence vérifiée par ces suites. De cette relation, on en déduit l"expression explicite des suites. On en déduit l"expression deAnen fonction denpour toutn2N.

Exercice 27.On poseA=0

@3 12 0 2 0

1 1 01

A 1.

Mon trerque A23A+ 2I3= 03.

2. Mon trerqu"il existe deux suites (an)n2Net(bn)n2Ntelles que pour toutn2N:An=anA+bnI3. 3. Donner l"expression exp licitede ce sdeux suites et en déduire Anpour toutn2N. Méthode 3 : Par diagonalisation ou trigonalisation (voir en TD)

IV. 5Application à l"étude de suites

Le calcul matriciel permet de donner l"expression explicite (c"est-à-dire en fonction den) de suites

récurrentes lorsque plusieurs suites sont définies par récurrence les unes en fonction des autres ou de

suites récurrentes linéaires d"ordre trois. Exercice 28.Soient trois suites(un)n2N,(vn)n2Net(wn)n2Ndéfinis paru0=v0=w0= 1et8n2N;8 >>:u n+1= 2un+vn+wn v n+1= 2vn+wn w n+1= 2wn: 1.

On p osep ourtout n2N; Xn=0

@u n v n w n1 A . Montrer qu"il existeM2 M3(R)telle queMXn=Xn+1. 2. Mon trerpar récurrence que p ourtout n2N:Xn=MnX0. 3.

Calculer Mnpour toutn2N, et en déduire les expressions explicites deun,vnetwn, puis leurs limites.

VMatrices carrées inversibles

Une matrice NON carrée ne peut pas être inversible. On se place donc dansMn(K).

V. 1Définition et propriétés

Définition

Définition 29.Définition d"une matrice inversible : Une matrice carréeA2 Mn(K)est dite inversible ...............................

La matriceBest alors notée ......et s"appelle ..................................Exemples.Étude de l"inversibilité deIn: ....................................................BCPST1-Lycée Chaptal Page 9 2021/2022

Étude de l"inversibilité de0n: ................................................................

SoitA=0i

i0 . Vérifier queAest son inverse. Remarques.SiAest inversible et que l"on a :AB=ACalors ............................... SiAest inversible et que l"on a :AB= 0nalors ..............................................

Propriétés élémentairesProposition 30.SoientAetBdeux matrices inversibles deMn(K),n2Net2K?.

Alors :

V. 2Inversibilité des matrices diagonales et triangulaires supérieures Inversibilité des matrices diagonales et inverse Proposition 31.Inversibilité des matrices diagonales et inverse : Une matrice diagonaleA=Diag(1;2;:::n)est inversible .................... Son inverse est alors donné par :Exemples.Étudier l"inversibilité deA=0 @4 0 0 02 0

0 0 61

A etB=0 @3 0 0 0 0 0

0 0 11

A

Inversibilité des matrices triangulairesProposition 32.Une matrice triangulaire est inversible .............................

!Il n"y a pas de formule générale pour l"inverse.

Exemples.Étudier l"inversibilité deA=0

@4 39quotesdbs_dbs30.pdfusesText_36
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