[PDF] Courbes parametrées . 1.1. On appelle courbe paramétrée (de

View - Download Courbes parametrées . 1.1. On appelle courbe paramétrée (de

Previous PDF

Next PDF

Courbes parametr´ees

1.1.On appellecourbe param´etr´ee(de classeCk) toute application

γd"un intervalleIdansRn. Synonimes:arc param´etr´e, cheminoumouve- ment. L"imageC=γ(I) est lacourberepr´esent´ee (ou param´etr´ee) parγ. Attention:la mˆeme courbe peut ˆetre param´etr´ee de plusieurs fa¸cons. Exemple:Le graphe d"une fonctionf:I→Rest une courbe dans le plan (x,y) param´etr´ee par le parametrex:y=f(x).

1.2. Droite tangente.SoitD(t) une famille des droites d´ependant

d"un parametretet passant par le mˆeme pointM. On dit que la droiteD passant parMet dirig´ee par le vecteuruest lalimitedeD(t) quandt→t0 si on peut choisir une familleu(t) de vecteurs directeurs deD(t) telle que u= limt→t0u(t). D´efinition.Soitγune courbe param´etr´ee; supposons queγ(t)?=γ(t0) quandtest proche det0(t?=t0). SoitD(t) la droite passant par les points γ(t0) etγ(t). On appelledroite tangentedeγent0la limite (si elle existe) de la familleD(t) quandt→t0. La d´eriv´eeγ?(t) s"appellevecteur tangent(oula vitesse) de la courbe ent. Un pointt?Iest ditr´eguliersiγ?(t)?= 0,singuliersinon. La courbe est diter´eguli`eresi tous ses points sont r´eguliers.

1.3. Lemme.La droite tangente en un point r´egulier existe et est

dirig´ee par le vecteur tangent. Param´etrisation de la droite tangenet.Siγ?(t0)?= 0, la droite tantente est donn´ee parl(t) =γ(t0) + (t0-t)γ?(t). En cas d"un graphe,x=t, y=f(t), le vecteur tangent est (1,f?(t)); la tantente est le graphe de la fonctiony=f(t0) +f?(t0)(t-t0). La tangente g´eom´etrique existe souvant mˆeme en un point singulier.

1.4. Lemme.Soitγ?(t0) = 0, ... ,γ(k-1)(t0) = 0 etγ(k)(t0)?= 0 Alors

la droite tangente ent0existe et est dirig´ee par le vecteurγ(k)(t0). RemarquePour une courbe planeγ(t) = (x(t),y(t)) la pente de la tangente est donn´ee par lim t→t0(y(t)-y(t0))/(x(t)-x(t0)).

1.5. Position d"une courbe plane par rapport `a sa droite tan-

gente au voisinage d"un point r´eguliert0. On ´ecrit le developpement limit´e deγ(t) ent0`a l"ordre 2:

γ(t)-γ(t0) = (t-t0)γ?(t0) +12

(t-t0)2γ??(t0) +o((t-t0)2) 1 En prenant la projection sur la droite transversale parall`element `a la droite tangente, on conclut que siγ??(t0) n"est pas colin´eaire `aγ?(t0), la courbe est situ´ee, au voisinage det0, d"un seul cˆot´e de la tangente, dans le demi-plan contenant le vecteurγ??(t0) ( le demi-plan de concavit´e deγen t 0). Siγ??(t0) est colin´eaire `aγ?(t0), on poursuit le d´eveloppement,

γ(t)-γ(t0) = (t-t0)γ?(t0)+12

(t-t0)2γ??(t0)+16 (t-t0)3γ???(t0)+o((t-t0)3). Dans ce cas, siγ???(t0) n"est pas colin´eaire `aγ?(t0), la courbe passe d"un cˆot´e de la tangente `a l"autre; le point o`u la courbe traverse la tangete est un point d"inflexion.

1.6. Changement de param`etre.

Soitγ:I→Rnune courbe param´etr´ee, de classeCk. SoitJun intervalle etp:J→Iune fonctionCktelle quep?(s)?= 0 pour touts?Jetp(J) =I. La courbe param´etr´eeβ(s) =γ(p(s)) s"obtient deγpar le change- ment de param`etre (reparam´etrage)t=p(s). Dans ce casβetvsont des param´etrages´equivalentsde la mˆeme courbe. On a dβds =dtds dγdt .La droite tangente est invariante par reparam´etrage. Un param´etrage d´etermine lesens de parcoursoul"orientationde la courbe. Un reparam´etrageppr´eserve l"orientationsipest une fonction croissante:p?(s)>0.

1.7. Lemme.Au voisinage d"un point r´egulier une courbe de classeCk

est le graphe d"une fonction de classeCk.

1.8. Longueur d"arc.Soitγ: [a,b]→Rnune courbe param´etr´ee

de classeC1dans un espaceeuclidien. Lalongueurde la courbeγest d´efinie par

L(γ) =?

b a?γ?(t)?dt Motivation:Pour toute subdivisiona < t1< ... < tk< bconsid´erons la ligne polygonale "inscrite" passant par les sommetsγ(a),γ(t1), ...γ(tk),

γ(b).

1.9. Lemme.L(γ) est la borne sup´erieure des longueurs des lignes

polygonales "inscrites" dansγ. En coordonn´ees cart´esiennes:siγ(t) = (x1(t),...,xn(t)),

L(γ) =?b

a?x ?1(t)2+...+x?n(t)2dt Pour un graphe dans le plan,y=f(x), la longueur est L=?b a?1 +y?(t)2dt. 2 La d´efinition de la longueur fait intervenir le param´etrage de la courbe. En fait, le r´esultat ne d´epend pas du param´etrage au sens suivant:

1.10. Lemme.La longueur de la courbe est invariante par reparam´etrage.

Remarque.L(γ)≥?γ(b)-γ(a)?; l"´egalit´e a lieu si et seulement si la courbe est un segment de droite.

1.11. Abscisse curviligne.

Soitγ:I→Rnune courbe r´eguli`ere (γ?(t)?= 0).

Soitt0?Ietl(t) =?t

t

0?γ?(u)?dula longueur d"arc entret0ett. Alors

l ?(t) =?γ?(t)?et on peut utilisers=l(t) comme un nouveau param`etre. Soitt=p(s) la fonction r´eciproque etγ(p(s)) la courbe reparam´etr´ee.

Lemme. (i)?dds

γ(p(s))?= 1.

(ii)Tout autre reparam´etraget=q(r) tel que?ddr

γ(q(r))?= 1 est li´e

avecsparr=±s+const. On appelleparam´etrage par abscisse curviligneoulonguer d"arc tout param´etrage tel que le vecteur tangent est unitaire en tout point.

Asymptotes des courbes planes.

Soitγ(t) = (x(t),y(t)) une courbe param´etr´ee dansR2d´efinie sur l"intervalle ]a,b[ (il se peut queb=∞). D´efinition.γadmet unebranche infinieenbsi?γ(t)?→ ∞quand t→b. D´efinition.Une droiteDestasymptote`aγenbsi la distance deγ(t) `aDtend vers 0 quandt→b.

1.12. Lemme.La courbeγadmet la droite d´efinie par l"´equation

px+qy+r= 0 comme asymptote enbsi et seulement sipx(t)+qy(t)+r→0 quandt→b. Soit|x(t)|→ ∞.Sipx(t) +qy(t) +r→0, alorsq?= 0 et en divisant parqon ´ecrit cette condition commey(t) =cx(t) +d→0 quandt→b. L"asymptote est donc caract´eris´ee par deux conditions:

1) la limite lim

t→by(t)x(t)=cexiste et

2) la limite lim

t→by(t)-cx(t) =dexiste. Remarque. La limite limt→by(t)x(t), si elle existe, donne ladirection asymp- totiquede la courbe. Cas d"un graphey=f(x),a < x < b. Il y a une branche infinie enbsi soitb <∞et|y(t)|→ ∞quandt→b, soitb=∞. Dans le premier cas il y une asymptote verticalex=b. Dans le deuxi`eme cas,x→ ∞, il faut

´etudier les limites lim

x→∞f(x)x =cet limx→∞(f(x)-cx). 3

2. Courbure

Soitγune courbe r´eguli`ere de classeC2param´etr´ee par l"abscisse curvi- line:?γ?(s)?= 1. Alors< γ??(s),γ?(s)>= 0 et donc-γ??(s) estacc´el´eration centrifugequand on parcourtγavec la vitesse unitaire. Sa norme k(s) =?γ??(s)? s"appelle lacourburedeγens. Exemple.La coubure d"une droite est nulle. La courbure d"un cercle de rayonrestk= 1/r.

2.1. Lemme.Si la courbure est partout nulle, la courbe est un segment

de droite.

2.2. Lemme.Les courbes planes r´eguli`eres `a courbure constante non-

nulle sont les arcs de cercle. Lerayon de courbureest l"inverse de la courbure:ρ(s) = 1/k(s).

2.3. Interpr´etation g´eom´etrique.La coubure mesure la d´eviation

de la courbe de sa droite tangente. Soitk(s)?= 0. Soits1?=s,s2?=sets1?=s2. Le cercleC(s1,s2) passant par trois pointsγ(s),γ(s1),γ(s2) admet une position limite quands1→s ets2→s. Le rayon de ce cercle limite est le rayon de courbure deγens. Pour un param´etrage quelconque la courbure relie la vitesse et l"acc´eration centrifugeγ???(composante normale de l"acc´el´eration) on ak(t) =?γ???(t)?/?γ?(t)?2. Interpr´etation m´ecanique:l"acc´el´eration centrifuge est ´egale au produit de la courbure et du carr´e de la vitesse.

La courbure d"une courbe plane est donn´ee par

k(t) =|det(γ?(t),γ??(t))|?γ?(t)?3=|x?y??-x??y?|(x?2+y?2)3/2 Cas d"un graphey=f(x): la courburek(x) =|f??(x)|(1+f?(x)2)3/2

Courbes planes

3. Coordonn´ees polaires

3.1.Les cordonn´ees polaires dansR2sont donn´ees par l"application

(r,?)→(x,y) deR2dansR2:x=rcos?, y=rsin?. Ce n"est pas une bijection; en plus la valeurr= 0 est mauvaise ("pˆole"). Si on veut d´efinir un syst`eme de coordonn´ees polaires dansR2il faut choisir 4 un domaineDdans le plan (x,y) et un domaineD?dans le plan (r,?) o`u On d´efinit le rep`ere orthonorm´e (rep`ere polaire) (u,v) dansR2: u(?) = (cos?,sin?) etv(?) = (-sin?,cos?).

Noter que

dud? =vetdvd? =-u.

3.2. Courbe param´er´ee en coordonn´ees polaireest d´efinie par

la donn´ee de deux fonctionsr(t) et?(t); son param´etrage en coordonn´ees cart´esiennes sera doncx(t) =r(t)cos?(t), y(t) =r(t)sin?(t) ouγ(t) = r(t)u(?(t)).

Vitesse et acc´el´eration:

?(t) =r?(t)u(?(t)) +r(t)??(t)v(?(t)), ??(t) = (r??(t)-r(t)???(t))u(?(t)) + 2r?(t)??(t)v(?(t)).

3.3. Tangente en pˆoler= 0. Soitr(t0) = 0; supposons quer(t)?= 0

quandtest proche mais diff´erent det0[c"est le cas si il existek >0 tel que dkrdt k(t0)?= 0]. Alors la droite passant parγ(t0) = 0 etγ(t) =r(t)u(t) est dirig´ee par le vecteuru(t)) et admet une position limite dirig´ee par le vecteuru(t0). Donc la tangente ent0existe et fait l"angle?(t0) avec l"axe desx.

3.4. Courbe donn´ee par une ´equation polairer=r(?): il s"agit

du cas o`u la courbe est param´er´ee part=?du (le "graphe en coordonn´ees polaires"). Alors ?(?) =r?(?)u(?) +r(?)v(?), ??(?) = (r??(?)-r(?))u(?) + 2r?(?)v(?).

3.5. La longueurde la courbe de l"´equationr=r(?) est donn´ee par

L(γ) =?

b a?γ?(?)?d?=? b a?r ?(?)2+r(?)2d?

3.6. La courbureest donn´ee par

3.7. Asymptotes.On suppose quer(?)→ ∞quand?→?0. L"angle

0donne la direction asymptotique.

On peut se ramener au cas?0= 0 par une rotation d"angle?0(en rampla¸cant?par?-?0). Soit donc?0= 0. Une asymptote doit donc ˆetre parall`elle `a l"axe desx. La droitey=csera une asymptote si et seulement siy=r(?)sin?→cquand?→0. 5 En g´en´eral, il y a une asymptote si et seulement si le produit r(?)sin(?-?0) admet une limite quand?→?0. D´etermination d"angle.Malgr´e le fait que l"angle polaire ne peut pas ˆetre d´efini comme une fonction continue dans tout le plan (priv´e de 0), toute courbe ne passant pas par 0 admet un param´etrage en coordonn´ees polaires.

3.8. Lemme.Soitγune courbe param´etr´ee de classeCkqui ne

passe pas par 0. Il existe une fonction?(t) de classeCktelle queγ(t) = (r(t)cos?(t),r(t)sin?(t)). Icir(t) =?γ(t)?. D´emonstration: on ax?=r?cos?+r??sin?ety?=r?sin?-r??cos?, d"o`u??=xy?-x?yx

2+y2. Alors on d´efinit?(t) par int´egration:

?(t) =?0+?t t 0xy ?-x?yx

2+y2(s)ds, o`u?0est tel queγ(t0) = (r(t0)cos?0,r(t0)sin?0).

Une telle fonction?(t) s"appelled´etermination d"anglele long de la courbeγ(g). Si?1(t) est une autre d´etermination d"angle alors?1(t) =?(t) + 2πn, n?Z.

3.9. Ecriture compl`exe.x+iy=rei?.

On au(?) =ei?,v(?) =iei?.

γ(t) =r(t)ei?(t),

?= (r?+ir??)ei?, etc.

Courbes planes d´efinies par une ´equation.

Soitfune fonction (de classeCk) d´efinie dans un ouvertUdeR2. Lacourbe d´efinie par l"´equationf(x,y) = 0 est l"ensemble

Γ ={(x,y)?U:f(x,y) = 0}.

3.10. Th´eor`eme de la fonction implicite. Soitf(a,b) = 0 et

(∂f/∂y)(a,b)?= 0. Alors il existe un ouvertU?contenant (a,b) sur lequel l"´equationf(x,y) = 0 d´efinisseycomme une fonction?de classeCk:?(x) est d´efinie sur un intervalleIet (x,y)?U?v´erifief(x,y) = 0 si et seulement siy=?(x). Donc la partie Γ∩U?de Γ est le graphe de la fonction?(x), un arc r´egulier. On ne connais pas?exactement (c"est une "fonction implicite") mais on peut calculer les d´eriv´ees de?enaen d´erivant l"identit´ef(x,?(x)) = 0. Cela donne??=-fx/fyet???=-(fxx+2??fxy+??2fyy)/fy(rappelons quey=?(x)). Sym´etriquement, si (∂f/∂x)(a,b)?= 0, on peut r´esoudref(x,y) = 0 pour xen fonction dey:x=ψ(y) (au voisinage de (a,b). 6 Un point de Γ est ditr´eguliersidf(a,b)?= 0 (si les d´eriv´ees partielles defne s"ennulent pas en mˆeme temps). Par cons´equent, au voisinage d"un point r´eguler Γ peut ˆetre param´etr´ee comme une courbe r´eguli`ere. La tangente en un point r´egulier (a,b) est orthogonale au gradient def en (a,b) et a comme ´equation ∂f∂x (a,b)(x-a) +∂f∂y (a,b)(y-b) = 0

3.11. Courbure alg´ebrique d"une courbe plane orient´ee.

Soitγune courbe plane r´eguli`ere param´etr´ee par l"abscisse curviligne. Donc?γ?(s)?= 1 et on peut ´ecrireγ?(s) = (cos?(s),sin?(s)). Alorsγ??(s) =??(s)(-sin?(s),cos?(s)) et la courbure estk(s) =|??(s)|. La courbure est la (valeur absolue de la) vitesse angulaire de la rotation du vecteur tangent quand la courbe est parcourue `a vitesse constante 1. La vitesse angulaire??(s) =K(s) s"appellecourbure alg´ebrique: le signe deK(s) indique de quel cˆot´e la courbe est sutu´ee par rapport `a saquotesdbs_dbs28.pdfusesText_34

[PDF] abscisse curviligne

[PDF] cycloide equation

[PDF] cycloide animation

[PDF] courbe paramétrée cycloide

[PDF] mouvement cycloidal exercice corrigé

[PDF] relation entre l'énergie d'un photon et la longueur d'onde

[PDF] relation longueur d'onde fréquence

[PDF] calculer les frequences limites du spectre visible de la lumiere

[PDF] fréquence longueur d'onde conversion

[PDF] rayonnement électromagnétique plus grande fréquence

[PDF] les ondes radio pdf

[PDF] propagation des ondes radio dans l'espace

[PDF] les ondes hertziennes c'est quoi

[PDF] fréquence d'une onde radio d'une station en hertz

[PDF] onde radio definition