Chapitre11 : Longueur et courbure dun arc paramétré
est un arc paramétré de classe ck où k ? 2 et on note ?F : I ?? dir(?) Pour calculer une longueur d'une courbe géométrique simple : être raisonnable ...
Courbes parametrées . 1.1. On appelle courbe paramétrée (de
Au voisinage d'un point régulier une courbe de classe Ck est le graphe d'une fonction de classe Ck. . 1.8. Longueur d'arc. Soit ? : [a b] ? Rn une courbe
« SUR LA LONGUEUR DUNE COURBE »
Voici quelques développements possibles pour la leçon d'exercices sur ce thème. 1. Préliminaires. (consultez votre manuel favori) Un arc ou courbe paramétrée de
Programme du cours
Dans ce chapitre on présente d'abord les courbes paramétrées et ensuite on montre comment cette courbe paramétrée a longueur infinie.
1. Propriétés géométriques des courbes paramétrées
? par longueur d'arc. Exemple Calculer la courbure de la courbe paramétrée c : R ? R2 lorsque c(t) = (
1) Pour une courbe paramétrée 2D la pente de la droite tangente
16-Dec-2019 Fabriquons-nous une fonction « long_arc » qui donnera la longueur de la courbe C dont la représentation vectorielle est donnée par r(t) pour a ...
Courbes paramétrées
Une courbe paramétrée (dans R3) est une fonction d'un intervalle I de R `a valeurs la distance `a A par rapport `a la longueur de [A B] est t.
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Courbes et surfaces
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Par suite la courbe complète est obtenue quand t décrit un segment de longueur 2? comme par exemple [?? ?] • Pour tout réel t M(?t) = ( cos3(?t) sin3(
[PDF] I Longueur dun arc de courbe paramétrée
Soit ? la courbe paramétrée définie sur [ 0 ; 2? ] par { x(t) = cos(t) y(t) = sin(t) Déterminer la longueur de ? Réponse : ? = ? 2? 0 ?(?
Comment déterminer la longueur d'une courbe ?
Si la vitesse n'est pas constante, on remplace la droite y = f dans un repère cartésien par la ligne d'équation y = f(t), où t varie entre 0 et a. La longueur de l'arc est égale à l'aire située entre les trois droites x = 0, x = a, y = 0 et la ligne y = f(t).Comment trouver le paramétrage d'une courbe ?
On appelle paramétrage une application f : I ? R2, o`u I désigne un intervalle (voire une réunion d'intervalles) de R et o`u f est continue. La courbe (paramétrée) associée `a f est son image C = f(I).Comment trouver la longueur d'une parabole ?
L = [ F(2) - F(0)] / 2 = F(2) / 2 = [2?5 + ln (2+?5)] / 4 , soit L = 1,48 à 0,01 près.- Définition. Un paramétrage d'une courbe est une abscisse curviligne si le vecteur vitesse relatif à cette paramétrisation est unitaire. Ainsi, la courbe est paramétrée par un paramètre s , d'équations { x = f ( s ) y = g ( s ) et on a f ? ( s ) 2 + g ? ( s ) 2 = 1 .
Universit´e Claude Bernard Lyon 1UE G´eom´etrie et Calcul Diff´erentiel Licence de Math´ematiques 2`eme ann´eeResp.: A. Frabetti Printemps 2016http://math.univ-lyon1.fr/�frabetti/GeoL2/ COURS DE G´EOM´ETRIE ET CALCUL DIFF´ERENTIEL Programme du cours
1 Courbes planes et gauches3
1.1 Courbes param´etr´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .3
1.2 Courbes r´eguli`eres et bir´eguli`eres . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 7
1.3 Longueur et abscisse curviligne . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Rep`ere de Frenet, courbure et torsion . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 10
1.5 Courbes d´efinies implicitement . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 17
2 Surfaces21
2.1 Surfaces param´etr´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2 Courbes sur une surface . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .23
2.3 Surfaces r´eguli`eres . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .23
2.4 Surfaces de r´evolution et surfaces r´egl´ees . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 25
2.5 Aire des surfaces
[`a voir apr`es Ch. 3]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 272.6 Surfaces d´efinies implicitement . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 28
3 Int´egrales multiples, curvilignes et de surface29
3.1 Int´egrale de Riemann des fonctions d'une variable . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 29
3.2 Int´egrales doubles . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35
3.3 Int´egrales triples . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 44
3.4 Aire et volume . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 47
3.5 Int´egrales curvilignes et de surface . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 49
4 Champs de vecteurs et formes diff´erentielles51
4.1 Espace tangent et espace cotangent d'un ouvert de
R 2 et R 3 . . . . . . . . . . . . . . 524.2 Champs de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .54
4.3 Formes diff´erentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.4 Diff´erentielle de de Rham . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.5 Formes exactes et ferm´ees . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.6 Lemme de Poincar´e . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .64
4.7 Int´egrales des formes diff´erentielles . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 66
4.8 Th´eor`emes de Stokes, Gauss-Ostrogradski et Green-Riemann . . . . . . . . . . . . . . 68
R´ef´erences70
1 isomorphisme d'espaces vectoriels entre l'ensemble des vecteurs de l'espace appliqu´es en O et R 3Les points
Pde l'espace, et les vecteurs correspondants�OP, sont donc identifi´es `a leurs coordonn´ees
cartesiennes x,y,z identifi´e `a l'espace vectoriel R 2 . Les points P du plan, et les vecteurs correspondants�OP, sont donc identifi´es `a leurs coordonn´ees cartesiennes x,y 21 Courbes planes et gauches
Une courbeest un sous-ensemble du plan ou de l'espace avec "d´egr´e de libert´e intrens`eque" ´egal `a 1,
par exemple: Pour d´ecrire une courbe, soit on donne des contraintes aux coordonn´ees de ses points ( courbes d´efinies implicitement ), par exempleCercle du plan de rayon
r centr´e en l'origine x,y R 2 x 2 y 2 r 2 soit on d´ecrit ses points comme fonctions d'un param`etre ( courbes param´etr´ees ), par exempleMˆeme cercle
r cos t,r sin t R 2 t 0 2La description implicite des courbes est la plus courante, mais c'est la description param´etrique qui
permet d'en d´efinir la longueur et les deux invariants r´eels qui caract´erisent les courbes `a d´eplacement pr`es: la courbure et la torsionDans ce chapitre on pr´esente d'abord les courbes param´etr´ees, et ensuite on montre comment
trouver une param´etrisation locale pour toute courbe r´eguli`ere1.1 Courbes param´etr´ees
D´efinition.
Une courbe param´etr´ee (ou chemin ) de classe C k (avec k0) est un sous-
ensemble de R 3 de la forme t � ��x�t�,y�t�,z�t��� R 3 t IR�
I o`u I R est un interval et l'application I R 3 est de classe C k , c'est-`a-dire que les fonctions x,y,z I R sont de classe C k . Si la classe C k n'est pas indiqu´ee on suppose que la courbe soit lisse, c'est-`a-dire de classe C . On appelle: param´etrisation de la courbe Γ l'application I R 3 I t t param`etre la variable t I support g´eom´etrique ) de la param´etrisation son image supp I R 3 orientation de la courbe Γ le sens de parcour d´et´ermin´e par t R croissant. Ainsi, une courbe param´etr´ee est naturellement orient´ee.Exemples.
Courbe cuspidale
t t 2 ,t 3 0 t RH´elice circulaire
t cos t, sin t,t t R 3 Si la param´etrisation est suffisement d´erivable, on appelle aussi: point , ou position , de la courbe Γ `a l'instant t le vecteur t �x�t�,y�t�,z�t��� R 3 vitesse de la courbe Γ `a l'instant t le vecteur t � ��x t ,y t ,z t ��� R 3 acc´el´eration de la courbe Γ `a l'instant t le vecteur t � ��x t ,y t ,z t ��� R 3D´efinition.
Soit I R 3 une courbe param´etr´ee de classe C k . On dit que est une droite si son support Γ supp est contenu dans une droite de R 3 . Cela arrive si et seulement si, pour tout t I , toutes les d´eriv´ees p t non nulles sont des vecteurs colin´eaires. est une courbe plane si son support Γ supp est contenu dans un plan de R 3 .`A moins d'un d´eplacement, on peut supposer que I R 2 est une courbe gauche si elle n'est pas plane.Exemples.
La courbe
t t 5 3 t 5 1 2 t 5 , avec t R , est une droite, car son support est la droite x,y,z R 3 y 3 x 1 , z 2 x�La courbe cuspidale est une courbe plane.
L'h´elice circulaire est une courbe gauche.
La courbe
t t,t,t 2 , avec t R , est plane, car son support Γ x,y,z R 3 y x, z x 2 est une parabole contenue dans le plan d'´equation y xLe graphe de toute fonction r´eelle
f I R est une courbe plane param´etr´ee par t t,f t avec t IDonner une param´etrisation
I R 3 est donc suffisant pour d´eterminer une courbe param´etr´ee, et en particulier son support Γ I . Le contraire n'est pas vrai: donner un support Γ n'estpas suffisant pour d´et´erminer une courbe param´etr´ee, car un support peut admettre plusieures
param´etrisations diff´erentes.Exemple.
Les param´etrisantions
R R 2 ,t t � ��1 � t 2 1 t 2 ,2t 1 t 22,π2�
R 2 cos sin ont le mˆeme support: le cercle d'´equation x 2 y 21 priv´e du point
1 0 4D´efinition. Une fonction ϕ : J � R �� I � R est un diff´eomorphisme de classe C
k si est d´erivable de classe C k sur J est inversible, c'est-`a-dire qu'il admet la r´eciproque 1 I J la r´eciproque 1 est d´erivable de classe C k sur IEn particulier, une fonction
de classe C 1 est un diff´eomorphisme si et seulement si x0 pour
tout xExemples.
La fonction
x x 3 , avec x R , n'est pas un diff´eomorphisme car 00. Cela entraine
que sa r´eciproque 1 y 3 y n'est pas d´erivable en y 0.Par contre, la fonction
x x 3 , avec x 0 , est bien un diff´eomorphisme.D´efinition.
Soit I R 3 une courbe param´etr´ee de classe C k . Un reparam´etrage (ou reparam´etrisation ) de classe C k de est une nouvelle param´etrisation ˜ J R 3 obtenue en composant avec un diff´eomorphisme J I de classe C k , i.e. telle que ˜ J u I t t u �Le nouveau param`etre u � J est l'ant´ecedent du vieux param`etre t I u 1 t et t uEn omettant
et 1 , on note aussi u u t et t tquotesdbs_dbs28.pdfusesText_34[PDF] cycloide equation
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