[PDF] [PDF] Exercices de Mécanique 2) Le vecteur accélé

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Exercices de M ecanique

¥Cin ematique : repµeres, bases, trajectoires et mouvements M1 oM ethode 1.| Une base locale (comme la base cylindrique) est d e¯nie : - en un pointMde l'espace (" localement », donc!) - par rapport à trois directions orthogonale xes du repère cartésien dans lequel on travaille. ÜIl faudra donctoujoursreprésenteren premierle repère cartésien (une origine O, trois axesOx,OyetOzqui doivent êtreorientés par une flèche, et les trois vecteur unitaires¡!ex;¡!ey;¡!ezcorrespondants)avantde dessiner la base locale au pointM.

Ex-M1.1Base locale cylindrique

Recopierles trois sch emas suivants. Y faire appara^³tre les trois vecteurs de la base cylindrique et

les coordonn ees cylindriques correspondante. Exprimer, dans cette base locale,le vecteur position¡¡!OM, le vecteur vitesse¡¡¡!vM=Ret le vecteur d eplacement el ementaired¡¡!OM.R ep. :cf. p. 3.

Retenir :

Dµes la1ep eriode PCSI,

nous avons absolu- ment besoin dela base cylindrique

Üdonc : la com-

prendre et bien l' etudier dµes µa pr esent.ex eyez H m M O xyzex ey Ozxy M

Vue de dessusz

HM m

OVue dans le

"plan de la porte" ez

Ex-M1.2Base locale sph erique

M^emes questions qu'µa l'exercice pr ec edent dans le cas de la base locale sph erique.R ep. :cf. p.3.

Retenir :Pour ce qui concerne la base sph erique, nous en aurons besoin en2ep eriode, un peu enM ecanique, beaucoup en ElectrostatiqueetMagn etostatique. Üdonc : la comprendre dµes µa pr esent et y revenir plus tard de soi-m^eme si besoin.

Ex-M1.3Mouvement circulaire uniforme :

Un" disque vynile 33 tr », placé sur la platine du tourne- disque, effectue un mouvement de rotation uniforme à raison de 33 tours par minute. Calculer :

1)sa vitesse angulaire de rotation, sa période et sa fré-

quence;

2)la vitesse et les accélérations (normale, tangentielle et

totale) d"un pointMà la périphérie du disque (rayonR=

15cm).

3)même question pour un pointM0tournant àr= 5cm

du centre du disque.

Rép. : 1)!= 3;5rad:s¡1;f= 0;55Hz;T= 1;8s.

2)v= 0;52m:s¡1;an= 1;8m:s¡2;at= 0;a=?

a

2t+a2n.

3)v0= 0;17m:s¡1;a0n= 0;6m:s¡2;a0t= 0;a0=a0n.

Exercices de M ecanique2008-2009Conclusion :

S'il y a une chose µa retenir de cet exercice, c'est que l'acc el eration d'un mouvement uniformen'estpasnulle si la trajectoire n'estpasune droite.

Autrement dit :

Seul lemouvementrectiligneuniformepossµede une acc el eration nulle.

Ex-M1.4Q.C.M. sur l'acc el eration :

Pour chacune des questions, indiquer les propositions exactes :

1)Le vecteur acc el eration d'un pointM:

a) est egal µa la variation de la vitesse par unit e de temps; b) est egal µa la d eriv ee par rapport au temps du vecteur vitesse instantan ee;

c) possµede, lorsqu'on l'exprime dans une base orthonorm ee, des coordonn ees obtenues en d erivant

les coordonn ees correspondantes du vecteur vitesse.

2)Le vecteur acc el eration d'un pointMenmouvement rectiligne acc el er eest :

a) toujours port e par la trajectoire; b) de m^eme sens que le vecteur vitesse; c) toujours de valeur constante.

3)Le vecteur acc el eration d'un pointMse d epla»cant sur unetrajectoire curviligneest :

a) tangent µa la trajectoire; b) dirig e vers l'int erieur de la trajectoire; c) nul si la vitesse deMest constante.

4) L'unit ede mesure de l'acc el eration est : a)m:s2b)m2:s2c)m:s¡2.R ep. :cf. p.3.

Ex-M1.5Relation vitesse-position :

Un mobile d ecrit la partie positive de l'axe (Ox) avec une vitesse de la valeurv(t). La loi de

vitessev(t) est li ee µa l' equation horairex(t) par la relationx=av2, avecaune constante positive.

Le point mat eriel quitte l'origineOde l'axe µa l'instantt= 0. D eterminer la loi horairex(t) sachant quex(t) est une fonction croissante du temps.

R ep. :x(t) =t2

4a.

Ex-M1.6Poursuite en mer

Deux navires se trouvent sur le m^eme m eridien,A etant au nord de B et µa une distanced0. A

se dirige vers l'est µa la vitessevAetBvers le nord µa la vitessevB. La courbure de la surface terrestre est n eglig ee et les vitesses sont constantes.

1)D eterminer la distance minimale entreAetB.

2)Quelle directionBdoit-il prendre pour rattraperAavec un mouvement rectiligne uniforme?

D eterminer la dur ee de la poursuite.

R ep : 1)dmin=d0?

v 2A v

2A+v2B;2)¿=d0

v

2B¡v2A¨

Ex-M1.7Mouvement elliptique(ÜCf CoursM7)

L' equation polaire d'une ellipse avec origine au foyer est :r=p

1 +ecosµ

oµupnote leparamµetreete, l'excentricit ede l'ellipse.

1)Pour un satellite, P est lep erig eeet A est l'apog ee.

!D eterminer les expressions derPetrA.

2)Sachant que le mouvement est tel quer2_µ=cste=C,

d eterminer l'expression de¡!vsur la base (¡!er;¡!eµ). Cette expression sera donn ee en fonction de la seule variableµ.xCF'A PM Oq

3)D eterminer¡!venµ= 0;¼

2 ; ¼;3¼ 2 . Repr esenter, en chacun de ces points,¡!v,¡!eret¡!eµ. En quel point de la trajectoire la vitesse est-elle maximale? minimale?

R ep. : 2)

¡!v=C?esinµ

p

¡!er+1 +ecosµ

p

¡!eµ?

;3)v2=v2r+v2µ=C2 p

2(1 +e2+ 2ecosµ).

2http ://pcsi-unautreregard.over-blog.com/qadripcsi@aol.com

2008-2009Exercices de M ecaniqueSolution Ex-M1.1

Ma pour coordonn ees (r; µ; z) dans le r ef erentielRd'origineOet de Base locale (¡!er;¡!eµ;¡!ez)

(base" locale » = base définie enM) :

OM=r¡!er+z¡!ez

vM=R= _r¡!er+r_µ¡!eµ+ _z¡!ez d

Rque : Une B.O.N.D. vérifie la " règle des trois doigts de la main droite »Üalorsvérifiez-le

avec la vôtre, de main droite! eyez H m M O xyzex ey Ozxy M

Vue de dessusz

HM m

OVue dans le

"plan de la porte" ez er eq ezr eqer r er eq qr e q H z z ez ez q

Solution Ex-M1.2

Ma pour coordonnées(r; µ; ')dans le référentielRd"origineOet de Base locale(¡!er;¡!eµ;¡!e')

(base " locale » = base définie enM) :

OM=r¡!er

vM=R= _r¡!er+r_µ¡!eµ+rsinµ_'¡!e' d

Rque : Une B.O.N.D. vérifie la " règle des trois doigts de la main droite »Üalorsvérifiez-le

avec la vôtre, de main droite! ex ej ey er eq ez H m M O xyzex ey Ozxy M

Vue de dessusz

HM m

OVue dans le

"plan de la porte"quotesdbs_dbs2.pdfusesText_3

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