[PDF] Cinématique. Exercice 1. Calcul d'accé

PCSI Physique TD. M1 Lycée Brizeux 2016-2017 Cinématique. Exercice 1. Calcul d'accélération. Une voiture roule à 50km.h(). Elle freine brusquement jusqu'à arrêt total sur une distance de í µ=15m. En supposant l'accélération uniforme, donner sa valeur í µ et la comparer à l'accélération de la pesanteur í µ~10m.s(1. Exercice 2. Trajectoires et manège *. Un enfa nt se déplace sur un manège e n rotation. Vue de haut , sa positio n est don née par les coordonnées polaires í µí µ=í µí±£í µ;í µí µ=í µí±£í µ où 𝑣 et 𝑣 sont des constantes. a. Donner les unités de 𝑣 et de 𝑣 dans le système international. b. Quelle est l'allure de la trajectoire. c. Evaluer la vitesse de l'enfant en coordonnées polaires. d. Evaluer l'accélération de l'enfant en coordonnées polaires. e. Quelle est la trajectoire de l'enfant dans le référentiel du manège si celui-ci tourne à vitesse angulaire 𝑣? Réponses détaillées : a. D'après les relation s données, la vi tesse 𝑣 s'exprime en m.s() et la vites se angulaire 𝑣 s'exprime en rad.s(). b. La dis tance au centre í µ augmente linéairement avec le temps, ainsi que l'angle í µ. Qualitativement, il suffit de tourner autour de í µ en s'en éloignant ce qui donne l'allure d'une trajectoire spirale. c. En coordonnées polaires : í µ=í µí µí±¢+í µí µí µ@=𝑣𝑢+í µí µí±£í µ@ d. Ensuite, í µ=í µ-í µí µ1𝑢+2í µí µ+í µí µí µ@=-𝑣𝑣1í µí µí±¢+2í µí±£í µí±£í µ@ e. La vitesse orthoradiale de l'enfant est í µí±£í µí±£í µ=í µí µí±£. Celle-ci est donc entièrement due à la rotation du manège. On déduit que l'enfant marche en ligne droite du centre du manège vers un point de la périphérie dans le référentiel du manège. Exercice 3. Mouvement hélicoïdal **. Dans un référentiel â„› matérialisé par í µí µí µí µ, un point í µ décrit un mouvement de telle sorte que le mouvement de í µ, son projeté dans le plan í µí µí µ, est circulaire uniforme et celui de í µ son projeté sur l'axe í µí µ est rectiligne uniforme. a. Exprimer les vecteurs po sition, vite sse et accélération de ce mouvement, en coordonnées cylindriques et en coordonnées cartésiennes. b. En étudiant les propriétés cinématiques, décrire le mouvement de í µ. Montrer en particulier qu'il est uniforme. Exercice 4. Mouvement cycloïdal ***. On repère un point í µ sur une roue de rayon í µ. Initialement, ce point í µ coïncide avec í µ, origine du repère. Ensuite, au cours du mouvement, on appelle í µí µ l'angle entre í µí µ et la verticale descendante. La roue roule sans glisser sur le sol de telle manière que l'abscisse 𝐶 du point de contact í µ de la roue avec le sol soit égale à l'arc de cercle í µí µ. La vitesse du centre í µ de la roue est 𝐼=í µí±£í µO où 𝑣 est une constante positive. a. Trouver les coordonnées cartésiennes í µí µ,í µí µ du point í µ. b. Etablir les expressio ns des vecte urs cinématiques du mouvement de í µ dans le référ entiel terrestre. Caractériser le mouvement. Réponses courtes : a. Equations horaires : í µí µ=í µí±£í µ-í µsiní µí±£í µí µ;í µí µ=í µ1-cosí µí±£í µí µ b. Vecteurs cinématiques : mouvement non uniforme, no rme de í µ constante mais pas sa direction. í µí µ=í µí µO+í µí µU;í µ=𝑣1-cosí µí±£í µí µí µO+𝑣siní µí±£í µí µí µU í µ=𝑣1í µsiní µí±£í µí µí µO+𝑣1í µcosí µí±£í µí µí µU