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Théorie des graphes Introduction Programme de Terminale ES
Vocabulaire élémentaire des graphes : sommets sommets adjacents
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Introduction à la théorie des graphes
Graphes valués et problème du plus court chemin . Les graphes en Terminale ES ... à 7 une arête relie deux de ses sommets lorsque les deux cours ...
Les graphes - univ-reunionfr
En mathématiques on retrouve les graphes dans la combinatoire la théorie des ensembles l’algèbre linéaire la théorie des polyèdres la théorie des jeux l’algorithmique les probabilités Les derniers travaux en théorie des graphes sont souvent e?ectués par des informaticiens du fait de l’impor-
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Quelle est l’histoire de la théorie des graphes?
L’histoire de la théorie des graphes débuterait avec les travaux d’Euler au 18esiècle et trouve son origine dans l’étude de certains problèmes, tels que celui des ponts de Königsberg, la marche du cavalier sur l’échiquier ou le problème du coloriage de cartes et du plus court trajet entre deux points.
Qui a inventé les graphes?
C’est plus récemment en 1822 que le mot « graphes» est introduit par le mathématicien et géomètre anglais James Joseph Sylvester. La théorie des graphes s’est alors développée dans diverses disciplines telles que la chimie, la biologie, les sciences sociales, l’informatique...
Quels sont les graphes pondérés?
Dé?nition 1. Exemple 2 Voici par exemple un graphe valué : b A b B b C b D b E ?5 6 ?8 2 ?3 9 ?1 ... et un graphe pondéré : b F b G b H b I b J 10 25 97 12 30 39 17 L’un des problèmes classiques des graphes pondérés est celui de recherche d’un trajet routier le plus court (en terme de temps ou de kilomètres).
Quel est le rôle d'un graphe?
De manière générale, un graphe permet de représenter des objets ainsi que les relations entre ses éléments (par exemple réseau de communication, réseaux routiers, interaction de diverses espèces animales, circuits électriques...)
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1. VOCABULAIRE DE BASE
a. GrapheExemple :
A ; B ; C ; D ; E et F sont 6 poissons.
Dans le tableau ci-dessous, une croix indique que les poissons ne peuvent pas cohabiter dans le même
aquarium.A B C D E F
A B C D E F Représenter la situation par un schéma (G) où :Chaque poisson est représenté par un point.
2 poissons qui ne peuvent pas cohabiter sont reliés.
Définitions :
i. Le schéma (G) est un graphe. ii. Les points A ; B ; C ; D ; E et F sont les sommets du graphe. iii. ordre iv. Les segments reliant deux sommets sont des arêtes. v. Deux sommets sont adjacents vi. Le degré s dont ce sommet est une extrémité. vii. Un sommet est isolé viii. Un sous graphe relient ces sommets. ix. Un sous graphe (G1) de (G) est stable x. Un sous graphe (G2) de (G) est complet lorsque ses sommets sont deux à deux adjacents.Exemple :
" Poissons » D A B C E F (G) D A F (G1) est un sous graphe stable de (G) A B C E (G2) est un sous graphe complet de (G)Page 2 sur 9 Terminale ES Spé : Graphes
b.Propriété :
La somme S des degrés da du graphe.
S = 2 a.
Exemple :
" Poissons »Soit S la somme des degrés et a le nombre :
On a : a = 18 2 = 9.
Exercice :
Peut-entre 5 joueurs de telle sorte que chaque participant joue 3 parties ?Chaque joueur est représenté par un sommet.
On aurait : S = 5 3 = 15.
Par conséquent, on aurait : a = 15 2 = 7,5 !
c. Matrice associée à un grapheDéfinition :
n.La matrice associée au graphe (G) est la matrice à n lignes et à n colonnes où le terme aij situé à
de la ligne i et de la colonne j est égal i et j.Exemple :
" Poissons » La matrice associée au graphe (G) est la matrice : M =0 1 1 0 1 0
1 0 1 0 1 1
1 1 0 0 1 1
0 0 0 0 0 0
1 1 1 0 0 1
0 1 1 0 1 0
Propriété :
La matrice associée à un graphe est symétrique.Remarque :
iée à un graphePage 3 sur 9 Terminale ES Spé : Graphes
2. a.Définition :
Colorer un graphe consiste à affecter une couleur à chacun de ses sommets de telle sorte que deux
sommets adjacents ne portent pas la même couleur.Remarque :
n, on peut toujours le colorer en utilisant n couleurs distinctes. b. Nombre chromatiqueDéfinition :
Le nombre chromatique graphe est le plus petit nombre de couleurs permettant de le colorer.Exemple :
" Poissons »Sommet Couleur Remarque
A (1)B (2) (1) interdite
C (3) (1) et (2) interdites
D (1)E (4) (1), (2) et (3) interdites
F (1)Le nombre chromatique est 4.
c.Propriété :
Le complet n est n.
D A B C E F (G) (1) (2) (3) (1) (2) (3) (1) (2) (4)Page 4 sur 9 Terminale ES Spé : Graphes
d. Algorithme gloutonMéthode :
possible, une couleur déjà utilisée, celle affectée du plus petit numéro.Exemple :
Colorer le graphe (G) ci-contre :
Sommet Degré Couleur
E 3 (1)
O 3 (2)
R 3 (3)
L 2 (1)
N 2 (2)
Z 1 (1)
Remarque :
Par exemple, en colorant le graphe ci-
couleurs, alors que le nombre chromatique est 2. e. Encadrement du nombre chromatiquePropriété :
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