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Exercices corrigés

Dominique Pastor & Christophe Sintes

Version - 1 (Mai 2014)

Table des matières

1 Aléatoire et formalisme 3

2 Variables aléatoires et moments 17

3 Aléatoire multivarié 29

1

Introduction

Le lecteur trouvera ici les énoncés et corrigés des exercices proposés dans "Probabilités pour l"ingénieur, des fondements aux calculs" Certains des énoncés ci-dessous ont été modifiés par rapport à ceux de l"ouvrage Nous conseillons au lecteur de consulter ce livret d"énoncés et de corrigés régu- lièrement car nous proposerons de nouveaux exercices. Nous envisageons notam- ment quelques exercices ou problèmes où les calculs seront suivis de programma- tions Matlab permettant de vérifier la validité des résultats trouvés par le lecteur. Que les lecteurs intéressés n"hésitent pas à nous contacter pour nous faire part de leurs suggestions aux adresses électroniques :

Dominique.Pastor@telecom-bretagne.eu

et

Christophe.Sintes@telecom-bretagne.eu

Nous suggérons à nos éventuels correspondants de débuter le sujet de leur cour- riel par l"abbréviation PP I (p robabilitésp ourl "ingénieur),c eq uinous p ermettrade mieux identifier la nature de leur courriel. 1

Chapitre 1

Aléatoire et formalisme

EXERCICE1.1.-[Convergences monotone et dominée] nmériques positives ou nulles, sans préciser la fonction vers laquelle cette suite surables positives ou nulles, alors la limite de la suite (fn(x))n2Nexiste dansj0,1] pour toutx2R. Les notions de mesurabilité et d"intégrale s"étendent sans réelle dif- ficulté au cas des fonctions positives ou nulles à valeurs dans [0,1]. La conclusion du théorème de convergence monotone est alors inchangée :fAElimnfnest mesu- rable et : lim kZ R fkd¸AEZ R fd¸ Il faut utiliser cet énoncé plus général de la convergence monotone pour répondre aux questions suivantes. 1. S oit( gn)n2Nune suite d"applications numériques mesurables à valeurs dans [0,1[. Montrer queZ R1 X nAE1g n(x)dxAE1X nAE1Z R gn(x)dx. 2. S oit(fn)n2Nunesuited"applicationsnumériquesmesurables.Onsupposeque 1X nAE1Z R jfn(x)jdxÇ1. On poseÁ(x)AE1X nAE1jfn(x)j2[0,1] pour toutx2R. (a)

M ontrerq ue

Z R

Á(x)dxÇ1.

(b) E na dmettantque toute ap plicationint égrableest finie p resquep artout, déduire de la question précédente que 1X nAE1f n(x) converge pour presque tout réelxet queR

Rjf(x)jdxÇ 1avecf(x)AE1X

nAE1f n(x) en tout pointx 3

4PROBABILITÉS POUR L"INGÉNIEUR

où cette série converge etf(x)AE0 (par exemple) enxoù la sériePfn diverge. (c)

M ontrerqu eZ

R f(x)dxAE1X nAE1Z R fn(x)dx. Ce résultat est [RUD 87, Theo- rem 1.38, p. 29] dans le cas réel.

Solution

que somme finie d"applications mesurables. De plus, pour toutN2N,GNÊ0. Nous NR

RGN(x)dxAER

RlimNGN(x)dx. D"où le résultat, car :

Z R

GN(x)dxAENX

nAE1Z R gn(x)dx et lim NZ R

GN(x)dxAE1X

nAE1Z R gn(x)dx

2a) Par application de la question précédente, nous avons :

Z R

Á(x)dxAE1X

nAE1Z R jf(x)jdxÇ1

2b) Comme

R RÁ(x)dxÇ1,Áest finie presque partout. Il s"ensuit que pour presque toutx, la sériePfn(x) est absolument convergente et donc convergente. En tout pointxoù cette série est absolument convergente,jf(x)j ÉÁ(x) et pour tout réel xoù la sériePfn(x) diverge,f(x)AE0. CommeÁest intégrable,fest elle-aussi in- tégrable. Il suffit même de dire quefest majorée presque partout par la fonction intégrableÁ- sans même avoir à préciser une quelconque valeur pourflà où elle n"est pas majorée parÁ- pour garantir quefest intégrable.

3) Nous avonsjPNnAE1fnj ÉÁet limnPNnAE1fnAEf(presque partout). Nous sommes

donc dans les conditions de la convergence dominée dans un cas plus général que que partout au lieu d"une convergence partout. Mais cela ne change en rien les que partout dans les énoncés de la convergence montone et dominée sans que cela de la convergence dominée. Le lecteur attentif le remarquera peut-être : nous n"avons en fait pas besoin de

la question précédente pour garantir l"intégrabilité defcar cette intégrabilité est

directement garantie par la convergence dominée! Les 3 exercices suivants sont des adaptations d"énoncés que le lecteur trouvera dans [KHA 94].

EXERCICES PARTIE I5

EXERCICE1.2.-[Application de la convergence dominée] SoientaÈ1, un borélienAinclus dans [0,1[ et une application numériquefinté- grable surA:Zquotesdbs_dbs2.pdfusesText_3

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