[PDF] Feuille dexercices : Nombres réels

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Feuilled'exercices:

Nombresr´eels

MPSI-Maths.

c http://www.chez.com/myismail

Exercice

1.Montrerque:p

2+p 3=2Q.

Exercice

2.Soit(x;y)2R

2 .Montrerque:

1)jxj+jyjjx+yj+jxyj.

2)1+jxy1j(1+jx1j)(1+jy1j).

Exercice

3.InegalitedeCauchy-Schwarz.

Soitn2N

;x 1 ;x 2 ;::::;x n ;y 1 ;y 2 ;:::::;y n desnombresreels. n X i=1 x i y i 2 n X i=1 x 2 i n X i=1 y 2i

Indication:Ecrire

n X i=1 (tx i +y i 2 souslaformeat 2 +bt+c,etudier

2)Endeduirel'inegaliteditedeHolder:

n X i=1 (x i +y i 2 12 n X i=1 x 2 i 12 n X i=1 y 2i 12

Indication:Ecrire

n X i=1 (x i +y i 2 n X i=1 x i (x i +y i n X i=1 y i (x i +y i

Exercice

4.Inegalitearithmico-geometrique.

lapropriete suivante:8(x i 1in 2R n n X i=1 x i n=) n Yi=1 x i 1

1)Verierleresultatpourn=1.

soit(x i 1in+1 2R n+1+ telque n+1X i=1 x i n+1. a)Montrerque:9i2[j1;n+1j]telquex i 1.

Onprendi=n+1,quitteachangerlesindices..

y i =n n+1x n+1 x i ou1in,puisendeduireque: n+1Yi=1 x i x n+1 n+1x n+1 n n c)Etudiersur[0;1],lafonctionf(t)=tn+1t n n d)Conclure.

3)Endeduireque

n p x 1 :::x n x 1 +:::+x n n.

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myismail1@menara.ma

Exercice

5.Soit(a;b)2R

2 telque:8">0onait:aMontrerque:ab. repondre\onfaittendre"verszero".

Exercice

6.Principedespigeoniers.

1)Enoncerlelemmedestiroirs.

2)Soitn2Net(x

i 0in unefamilledereelstousdansl'intervalle [0;1].Montrerque:9(i;j)2[0;1] 2 telquei6=jetjx i x j j1 n.

3)Soit(x;n)2RN

.Montrerque:

9(p;q)2N[j1;nj]telque

xp q 1 q 2

Indication:Prendrex

i =ixE(ix)aveci2[j0;nj].

Exercice

7.Manipulationdessommes.

Soitn2N

et(a i 1in ;(b i 1im deuxfamillesdereels.

1)Demontrerque:

n X i=1 a i n X i=1 b i =n n X i=1 a i b i X 1j2)Endeduireque: a)Silesdeuxsuitessontcroissantes,alors: n X i=1 a i n X i=1 b i n n X i=1 a i b i alors n X i=1 a i n X i=1 b i n n X i=1 a i b i

Exercice

8.Operationssurlesmaxetmin.

1)OnsupposeAB,montrerque:sup(A)sup(B)

inf(A)inf(B).

2)OnsupposeA\B6=;,montrerque:

sup(A[B)=maxfsup(A);sup(B)g; sup(A\B)minfsup(A);sup(B)g inf(A[B)=minfinf(A);inf(B)g inf(A\B)maxfinf(A);inf(B)g a2A;b2B.Montrerquesup(A+B)=sup(A)+sup(B) inf(A+B)=inf(A)+inf(B).

Montrerque:sup(A)=inf(A)

inf(A)=sup(A). a2A;b2B.Montrerque:sup(AB)=sup(A)inf(B) inf(AB)=inf(A)sup(B). a2A;b2B.

OnsupposeAR

;BR ,montrerque: sup(AB)=sup(A)sup(B) inf(AB)=inf(A)inf(B) {AR ;BR {AR ;BR

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Exercice

etinferieuresdesensemblessuivants: 1)A=1 n+(1) n telquen2N 2)B= n 2 +1+(1) n ntelquen2N 3)C=

E(x)+E1

x telquex>0

4)D=pq

p+q+1telque(p;q)2N 2 ;pq 5)E= 11 n1 mtelque(n;m)2N N 6)F= 11 nmtelque(n;m)2N 2 etn6=m

Exercice

10.Racinecarree.

1)Poura2[1;+1[,simplierp

a+2p a1+p a2p a1.

2)Resoudrel'equationp

x+34p x1+p x+86p x1=1 d'inconnuex2R.

Exercice

11.Puissances.

1)Soientn2Nnf0;1get(x;y)2R

2 .Montrerque(x+y) 1n x 1n +y 1n

2)Soienta2R

etn2N.Montrerque(1+a) n 1+na.

Nnf0;1g.Montrerquen(ba)a

n1 b n a n n(ba)b n1 estinferieura1 4.

Exercice

12.Systemenonlineaire.

1)Soientx

1 ;:::;x n desnombresreelstelsque n X i=1 x i =net nquotesdbs_dbs19.pdfusesText_25

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