Nombres réels et complexes PDF Nombres réels et complexes.

1. 4b2 . Exercice 3 [ Corrigé ]. Soient a b

Fiche de révision1 : Les nombres réels

15 Exercice corrigé 12 (Ensemble borné calcul de sup

Feuille dexercices : Nombres réels

Feuille d'exercices : Nombres réels. MPSI-Maths. Mr Mamouni : myismail1@menara.ma. Source disponible sur : c?http://www.chez.com/myismail. Exercice 1.

Exercices de mathématiques - Exo7

la suite de nombres réels définie par u0 = 0 et pour tout n positif un+1 = 2un +1. Calculer un en fonction de n. Indication ?. [007014]. Exercice 90.

Exercices danalyse

approfondissement corrigés détaillés pas à pas k k k k. MPSI L'ensemble R des nombres réels est muni d'une opération d'addition « + » vérifiant pour.

Nombres réels

n'est pas un nombre rationnel. Allez à : Exercice 7 : Correction exercice 8 : 2 = (?7 + 4?3 + ?7

Cours danalyse 1 Licence 1er semestre

7 Corrigé des exercices pour les exercices de TD. ... Définition 1.2.1 (nombre réel) Un nombre réel est une collection de chiffres {c0...

Chapitre 14 NOMBRES RÉELS Enoncé des exercices

Exercice 14.7 Soit n un entier non nul donner une formule simple (utilisant la fonction partie entière) pour déter- miner le nombre de chiffres de n. Comment

Nombres réels et complexes

Nombres réels et complexes. Rationnels et irrationnels. Exercice 1 [ 02092 ] [Correction]. Montrer que la somme d'un nombre rationnel et d'un nombre

Pascal Lainé 1 NOMBRES COMPLEXES Exercice 1 : On donne 0

On donne 0 un réel tel que : cos( 0) = 2. ?5 et sin( 0) = 1. ?5 . Calculer le module et l'argument de chacun des nombres complexes suivants (en

[http://mp.cpgedupuydelome.fr]édité le 24 septembre 2016 Enoncés1Nombres réels et complexes

Rationnels et irrationnels

Exercice 1[ 02092 ][Correction]

Montrer que la somme d"un nombre rationnel et d"un nombre irrationnel est un nombre irrationnel.

Exercice 2[ 02093 ][Correction]

Montrer quep2 n"est pas un nombre rationnel

Exercice 3[ 02094 ][Correction]

Calculerp2

p2 p2 . En déduire l"existence d"irrationnelsa;b>0 tels queabsoit rationnel.

Exercice 4[ 02095 ][Correction]

Soitf:Q!Qtelle que

8x;y2Q;f(x+y)=f(x)+f(y)

(a) On suppose fconstante égaleCquelle est la valeur deC?

On revient au cas général.

(b)

Calculer f(0).

(c)

Montrer que 8x2Q;f(x)=f(x).

(d) Établir que 8n2N;8x2Q;f(nx)=nf(x) et généraliser cette propriété àn2Z. (e)

On pose a=f(1). Montrer que8x2Q;f(x)=ax.

Exercice 5[ 02472 ][Correction]

Montrer que0BBBBB@23

+4181
r5 3 1

CCCCCA1=3

+0BBBBB@23 4181
r5 3 1

CCCCCA1=3

est un rationnel. On conseille d"eectuer les calculs par ordinateur.Exercice 6[ 02475 ][Correction]

Sinest un entier2, le rationnelHn=Pn

k=11k peut-il être entier?

Exercice 7[ 02647 ][Correction]

(a) Montrer l"e xistenceet l"unicité des suites d"entiers ( an)n2Net (bn)n2Nvérifiant1+p2 n=an+bnp2 (b)

Calculer a2n2b2n.

Exercice 8[ 01975 ][Correction]

[Irrationalité de] (a)

Pour a;b2N, montrer que la fonction polynomiale

P n(x)=1n!xn(bxa)n et ses dérivées successives prennent enx=0 des valeurs entières. (b)

Établir la même propriété en x=a=b

(c)

Pour n2N, on pose

I n=Z 0 P n(t)sintdt

Montrer queIn!0.

(d)

En supposant =a=b, montrer queIn2Z. Conclure.

Exercice 9[ 03668 ][Correction]

[Irrationalité de e rpourr2Q] (a)

Pour a;b2N, montrer que la fonction polynomiale

P n(x)=1n!xn(bxa)n et ses dérivées successives prennent enx=0 des valeurs entières. (b)

Établir la même propriété en x=a=b

(c)

On pose r=a=bet pourn2N

I n=Z r 0 P n(t)etdt

Montrer queIn!0.

(d)

En supposant e

r=p=qavecp;q2N, montrer queqIn2Z. Conclure. Diusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD [http://mp.cpgedupuydelome.fr]édité le 24 septembre 2016 Enoncés2Les nombres réels

Exercice 10[ 02098 ][Correction]

Soita2[1;+1[. Simplifier

qa+2pa1+qa2pa1

Exercice 11[ 02099 ][Correction]

Soitf:R!Rune application telle que :

8(x;y)2R2;f(x+y)=f(x)+f(y);

8(x;y)2R2;f(xy)=f(x)f(y);

9x2R;f(x),0:

(a)

Calculer f(0),f(1) etf(1).

(b)

Déterminer f(x) pourx2Zpuis pourx2Q.

Conclure que f=IdR.

Exercice 12[ 03404 ][Correction]

Soientn2Netx1;:::;xn2R. On suppose

n X k=1x k=n X k=1x 2k=n

Montrer que pour toutk2f1;:::;ng,xk=1.

Inégalités

Exercice 13[ 03983 ][Correction]

Vérifier

8x2R;x(1x)1=4

Exercice 14[ 02096 ][Correction]

Montrer

8a;b2R;ab12

a2+b2Exercice 15[ 03643 ][Correction]

Soientx;y2[0;1]. Montrer

2+y2xy1

Exercice 16[ 02097 ][Correction]

Montrer

8a;b;c2R;ab+bc+caa2+b2+c2

Exercice 17[ 03224 ][Correction]

Montrer

8u;v0;1+puvp1+up1+v

Exercice 18[ 03405 ][Correction]

Soientn2N,a1:::anetb1:::bndes réels.

Établir0BBBBB@1n

n X k=1a k1

CCCCCA0

BBBBB@1n

n X k=1b k1

CCCCCA1n

n X k=1a kbk

Exercice 19[ 01733 ][Correction]

Déterminer tous les couples (;)2(R+)2pour lesquels il existeM2Rtel que

8x;y>0;xyM(x+y)

Exercice 20[ 03640 ][Correction]

Soient (x1;:::;xn) et (y1;:::;yn) deux suites réelles monotones. Comparer

0BBBBB@1n

n X k=1x k1

CCCCCA0

BBBBB@1n

n X k=1y k1

CCCCCAet1n

n X k=1x kyk

Exercice 21[ 04017 ][Correction]

Montrer que

8x;y2[0;1];minfxy;(1x)(1y)g14

Diusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD [http://mp.cpgedupuydelome.fr]édité le 24 septembre 2016 Enoncés3Partie entière

Exercice 22[ 02100 ][Correction]

Montrer que la fonction partie entière est croissante.

Exercice 23[ 02101 ][Correction]

Montrer

8x;y2R;bxc+bycbx+ycbxc+byc+1

Exercice 24[ 02102 ][Correction]

Montrer

8x;y2R;bxc+bx+yc+bycb2xc+b2yc

Exercice 25[ 02103 ][Correction]

Soientn2Netx2R. Montrer$bnxcn

bxc

Exercice 26[ 02104 ][Correction]

Montrer que

8x2R;8n2N;n1X

k=0$ x+kn bnxc

Exercice 27[ 02105 ][Correction]

Soitab2R. Établir

Card([a;b]\Z)=bbc+b1ac

Exercice 28[ 02106 ][Correction]

Soitn2N.

(a)

Montrer qu"il e xiste( an;bn)2N2tel que

(2+p3) n=an+bnp3 et 3b2n=a2n1 (b)

Montrer que la partie entière de (2 +p3)

nest un entier impair.

Exercice 29[ 03416 ][Correction]

Démontrer

8n2N;jpn+pn+1k=jp4n+2k

en notant bxcla partie entière d"un réelx.Les nombres complexes

Exercice 30[ 02025 ][Correction]

Soitz2Unf1g. Montrer quez+1z12iR.

Exercice 31[ 02026 ][Correction]

SoientP=fz2CjImz>0g,D=fz2Cjjzj<1getf:Cnfig!Cdéfinie par f(z)=ziz+i (a) Montrer que tout élément de Pà son image parfdansD. (b) Montrer que tout élément de Dpossède un unique antécédent parfdansP.

Exercice 32[ 02028 ][Correction]

Calculer pour2]0;2[ etn2N,

C n=n X k=0cos(k) etSn=n X k=0sin(k)

Exercice 33[ 02029 ][Correction]

Calculer pour2Retn2N,

C n=n X k=0 n k! cos(k) etSn=n X k=0 n k! sin(k)

Exercice 34[ 03107 ][Correction]

SoitBune partie bornée non vide deC.

On suppose que siz2Balors 1z+z22Bet 1+z+z22B.

DéterminerB.

Exercice 35[ 03651 ][Correction]

Soienta;b;ztrois complexes de module 1 deux à deux distincts. Démontrer ba zazb 22R+
Diusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD [http://mp.cpgedupuydelome.fr]édité le 24 septembre 2016 Enoncés4Le plan complexe

Exercice 36[ 03458 ][Correction]

Soientz02Cetr>0 tels quejz0j,r.

On noteCle cercle dansCde centrez0et de rayonr.

(a)

Pour z2C, montrer

z2 C ()jzj2z0¯z¯z0z+jz0j2=r2 (b) En déduire que l"image de Cpar l"applicationf:z7!1=zest un cercle dont on précisera centre et rayon en fonction dez0etr.

Exercice 37[ 02027 ][Correction]

(a) Déterminer le lieu des points Md"axezqui sont alignés avecId"axe i etM0 d"axe iz. (b) Déterminer de plus le lieu des points M0correspondant.

Exercice 38[ 03040 ][Correction]

Quelle est l"image du cercle unité par l"applicationz7!11z?

Exercice 39[ 02050 ][Correction]

Déterminer l"ensemble des pointsMd"axeztels que z+¯z=jzj

Exercice 40[ 03880 ][Correction]

Soienta;b;cdes réels strictement positifs.

À quelle condition existe-t-il des complexest;u;vde somme nulle vérifiant t

¯t=a2;u¯u=b2etv¯v=c2

Module et argument

Exercice 41[ 02030 ][Correction]

Déterminer module et argument de

z=q2+p2+iq2p2Exercice 42[ 02031 ][Correction]

Soientz2Cetz02C. Montrer

z+z0=jzj+z0() 92R+;z0=:z

Exercice 43[ 02032 ][Correction]

Établir :

8z;z02C;jzj+z0z+z0+zz0

Interprétation géométrique et précision du cas d"égalité?

Exercice 44[ 02356 ][Correction]

Soienta;b2C. Montrer

j aj+jbjja+bj+jabj et préciser les cas d"égalité.

Exercice 45[ 00055 ][Correction]

Soita2Ctel quejaj<1.

Déterminer l"ensemble des complexesztels que

za1¯az 1

Exercice 46[ 03642 ][Correction]

(a)

Vérifier

8z1;z22C;jz1+z2j2+jz1z2j2=2jz1j2+2jz2j2

(b) On suppose z1;z22Ctels quejz1j1 etjz2j1. Montrer qu"il existe"=1 ou1 tel que j z1+"z2jp2

Exercice 47[ 03249 ][Correction]

Soitf:C!Cdéfinie par

f(z)=z+jzj2

Déterminer les valeurs prises parf.

Exercice 48[ 02052 ][Correction]

Résoudre l"équation

jz+1j=jzj+1 d"inconnuez2C. Diusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD [http://mp.cpgedupuydelome.fr]édité le 24 septembre 2016 Enoncés5Racines de l"unité

Exercice 49[ 02036 ][Correction]

Calculer le produit desn-ième racines de l"unité

Exercice 50[ 02037 ][Correction]

Soitn2N. On noteUnl"ensemble des racinesnème de l"unité.

CalculerX

z2Unj z1j

Exercice 51[ 03353 ][Correction]

Soientn3,!1;:::;!nles racinesn-ième de l"unité avec!n=1. (a)

Calculer pour p2Z,

S p=n X i=1!p i (b)

Calculer

T=n1X i=111!i

Exercice 52[ 02038 ][Correction]

Soit!une racinenème de l"unité diérente de 1. On pose S=n1X k=0( k+1)!k

En calculant (1!)S, déterminer la valeur deS.

Exercice 53[ 02039 ][Correction]

Simplifier :

(a)j(j+1)(b) jj

2+1(c)j+1j1Exercice 54[ 02040 ][Correction]

Soitn2N. Résoudre l"équation

(z+1)n=(z1)n

Combien y a-t-il de solutions?

Exercice 55[ 02041 ][Correction]

Soitn2N. Résoudre dansCl"équation

z n+1=0

Exercice 56[ 02042 ][Correction]

Soitn2N. Résoudre dansCl"équation

(z+i)n=(zi)n Observer que celle-ci admet exactementn1 solutions, chacune réelle.

Exercice 57[ 02043 ][Correction]

Soit!=ei27

. Calculer les nombres :

A=!+!2+!4etB=!3+!5+!6

Exercice 58[ 02044 ][Correction]

Soientn2N,n2 et!=exp(2i=n).

(a)

Établir que pour tout z2C;z,1,

quotesdbs_dbs19.pdfusesText_25

[PDF] Nombres réels et complexes Nombres réels et complexes.

Rationnels et irrationnels

Exercice 1[ 02092 ][Correction]

Exercice 2[ 02093 ][Correction]

Montrer quep2 n"est pas un nombre rationnel

Exercice 3[ 02094 ][Correction]

Calculerp2

Exercice 4[ 02095 ][Correction]

Soitf:Q!Qtelle que

8x;y2Q;f(x+y)=f(x)+f(y)

On revient au cas général.

Calculer f(0).

Montrer que 8x2Q;f(x)=f(x).

On pose a=f(1). Montrer que8x2Q;f(x)=ax.

Exercice 5[ 02472 ][Correction]

Montrer que0BBBBB@23

CCCCCA1=3

CCCCCA1=3

Sinest un entier2, le rationnelHn=Pn

Exercice 7[ 02647 ][Correction]

Calculer a2n2b2n.

Exercice 8[ 01975 ][Correction]

Pour a;b2N, montrer que la fonction polynomiale

Établir la même propriété en x=a=b

Pour n2N, on pose

Montrer queIn!0.

En supposant =a=b, montrer queIn2Z. Conclure.

Exercice 9[ 03668 ][Correction]

Pour a;b2N, montrer que la fonction polynomiale

Établir la même propriété en x=a=b

On pose r=a=bet pourn2N

Montrer queIn!0.

En supposant e

Exercice 10[ 02098 ][Correction]

Soita2[1;+1[. Simplifier

Exercice 11[ 02099 ][Correction]

Soitf:R!Rune application telle que :

8(x;y)2R2;f(x+y)=f(x)+f(y);

8(x;y)2R2;f(xy)=f(x)f(y);

9x2R;f(x),0:

Calculer f(0),f(1) etf(1).

Déterminer f(x) pourx2Zpuis pourx2Q.

Conclure que f=IdR.

Exercice 12[ 03404 ][Correction]

Soientn2Netx1;:::;xn2R. On suppose

Montrer que pour toutk2f1;:::;ng,xk=1.

Inégalités

Exercice 13[ 03983 ][Correction]

Vérifier

8x2R;x(1x)1=4

Exercice 14[ 02096 ][Correction]

Montrer

8a;b2R;ab12

Soientx;y2[0;1]. Montrer

2+y2xy1

Exercice 16[ 02097 ][Correction]

Montrer

8a;b;c2R;ab+bc+caa2+b2+c2

Exercice 17[ 03224 ][Correction]

Montrer

8u;v0;1+puvp1+up1+v

Exercice 18[ 03405 ][Correction]

Soientn2N,a1:::anetb1:::bndes réels.

Établir0BBBBB@1n

CCCCCA0

BBBBB@1n

CCCCCA1n

Exercice 19[ 01733 ][Correction]

8x;y>0;xyM(x+y)

Exercice 20[ 03640 ][Correction]

0BBBBB@1n

CCCCCA0

BBBBB@1n

CCCCCAet1n

Exercice 21[ 04017 ][Correction]

Montrer que

8x;y2[0;1];minfxy;(1x)(1y)g14

Exercice 22[ 02100 ][Correction]

Exercice 23[ 02101 ][Correction]

Montrer