RELATION BINAIRE
Exercice 5 : Soit un ensemble et soit une partie de . On définit dans ( ) la relation d'équivalence en posant pour tout couple ( )
Corrigé du TD no 7
Exercice 1. Dire si chacune des relations ci-dessous est réflexive symétrique
Relations déquivalence Exercice 1. ? “) Exercice 2. ? “) Exercice 3. ?
25 sept. 2018 ? f(x) = f(y). 1) Montrer que R est une relation d'équivalence sur E. 2. Thierry Sageaux ...
Relation déquivalence relation dordre
et après une étude de fonction on calculera le nombre d'antécédents possibles. 2. Page 3. Correction de l'exercice 1 ?. 1. Soient
Daniel ALIBERT cours et exercices corrigés volume 1
Ensembles applications. Relations d'équivalence. Lois de composition (groupes). Logique élémentaire. Objectifs : ? Démontrer que
Exercices de mathématiques - Exo7
Exercice 120. Étudier les propriétés des relations suivantes. Dans le cas d'une relation d'équivalence préciser les classes; dans le cas d'une relation
Feuille 3 - Relations binaires sur E Relations d´equivalence
1. Exercice corrigé en amphi. ? est une relation binaire sur un ensemble E. Ecrire ce que signifie : (a) ? n'est
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(b) Décrire la classe d'équivalence d'une fonction donnée f ? F(EE). Exercice 4 [ 02984 ] [Correction]. Soit R une relation binaire réflexive et transitive.
´Enoncés des exercices
Exercices de Mathématiques. Relations d'équivalence (I). Corrigés. Corrigés des exercices. Corrigé de l'exercice 1 [ Retour `a l'énoncé ].
Exercices de Michel Quercia
Exercice 2896 Parties saturées pour la relation d'équivalence associée à f. Soit f : E ? F une application et S = {X ? E tq f?1(f(X)) = X}.
Exercices corrigés -Relations déquivalence et relations dordre
Exercices corrigés - Relations d'équivalence et relations d'ordre Relations Exercice 1 - Nature des relations [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille
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Exercice 2 : 1 Montrer que la relation de congruence modulo [ ] Est une relation d'équivalence sur 2 En vous servant de la division euclidienne
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Exercice 1 Dire si chacune des relations ci-dessous est réflexive symétrique ou transitive 1 La relation R sur Q définie par : xRy ? xy = 0
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Montrer que S est une relation d'équivalence et que R permet de définir une relation d'ordre sur les classes d'équivalences de S Exercice 5 [ 02985 ] [
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25 sept 2018 · Exercice 14 Soient E et F deux ensembles et f ? FE Soit R la relation définie sur E par xRy
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Exercice 1 Dans C on définit la relation R par : zRz ? z = z 1 Montrer que R est une relation d'équivalence 2 Déterminer la classe d'équivalence
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Exercice corrigé en amphi Soit ? la relation binaire définie sur l'ensemble des entiers relatifs par : a?b si et seulement si a - b est pair (a) Montrer que
Relation déquivalence : Cours et exercices corrigés
Voici un cours avec des exercices corrigés sur la notion de relation d'équivalence C'est un cours de première année dans le supérieur
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Relation d'équivalence Relation d'ordre Exercice 1 1 Soit E = N × N on définit R par : (a b)R(a b ) ? a + b = b + a Montrer que R est une relation
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TD2 : Relations d'ordre et d'équivalence (avec corrigé) Exercice 1: (a) Prouvez que la relation sur Z aRb ? a ? b est un multiple de 5 est une relation
![Relation déquivalence relation dordre Relation déquivalence relation dordre](https://pdfprof.com/Listes/18/23496-18fic00004.pdf.pdf.jpg)
Relation d"équivalence, relation d"ordre
1 Relation d"équivalence
Exercice 1DansCon définit la relationRpar :
zRz0, jzj=jz0j: 1.Montrer que Rest une relation d"équivalence.
2. Déterminer la classe d"équi valencede chaque z2C. HH???Exercice 2Montrer que la relationRdéfinie surRpar :
xRy()xey=yexest une relation d"équivalence. Préciser, pourxfixé dansR, le nombre d"éléments de la classe dexmoduloR.
HH???2 Relation d"ordre Exercice 3Soit(E;6)un ensemble ordonné. On définit surP(E)nf/0gla relationparXYssi(X=You8x2X8y2Y x6y):
Vérifier que c"est une relation d"ordre.
H???1 Indication pourl"exer cice1 NUn dessin permettra d"avoir une bonne idée de ce qui se passe...Indication pour
l"exer cice2 N1.Pour la transiti vitéon pourra calculer xyez.
2.Poser la fonction t7!te
t, après une étude de fonction on calculera le nombre d"antécédents possibles.2 Correction del"exer cice1 N1.Soient z;z0;z00des complexes quelconques.Reflexivité :zRzcarjzj=jzj.
Symétrie :zRz0)z0Rzcarjzj=jz0jet doncjz0j=jzj.
Transitivité :zRz0etz0Rz00alorsjzj=jz0j=jz00jdonczRz00. En fait, nous avons juste retranscrit que l"égalité "=" est une relation d"équivalence. 2.La classe d"équi valenced"un point z2Cest l"ensemble des complexes qui sont en relation avecz,i.e.
l"ensemble des complexes dont le module est égal àjzj. Géométriquement la classe d"équivalence dez
est le cerlceCde centre 0 et de rayonjzj: C=n jzjeiq=q2Ro :Correction del"exer cice2 N1.• Refle xivité: Pour tout x2R,xex=xexdoncxRx. Symétrie : Pour x;y2R, sixRyalorsxey=yexdoncyex=xeydoncyRx. T ransitivité: Soient x;y;z2Rtels quexRyetyRz, alorsxey=yexetyez=zey. Calculonsxyez: xye z=x(yez) =x(zey) =z(xey) =z(yex) =yzex: Doncxyez=yzex. Siy6=0 alors en divisant paryon vient de montrer quexez=zexdoncxRzet c"est fini. Pour le casy=0 alorsx=0 etz=0 doncxRzégalement. 2. Soit x2Rfixé. On noteC(x)la classe d"équivalence dexmoduloR:C(x):=fy2RjyRxg:
DoncC(x) =fy2Rjxey=yexg:
Soit la fonctionf:R!Rdéfinie par
f(t) =te t: AlorsC(x) =fy2Rjf(x) =f(y)g:
Autrement ditC(x)est l"ensemble desy2Rqui parfprennent la même valeur quef(x); en raccourci :C(x) =f1(f(x)):
Étudions maintenant la fonctionfafin de déterminer le nombre d"antécédents: par un calcul def0on
montrer quefest strictement croissante sur]¥;1]puis strictement décroissante sur[1;+¥[. De plus
en¥la limite defest¥,f(1) =1e , et la limite en+¥est 0.C"est le moment de dessiner le graphe def!!
Pour x60 alorsf(x)2]¥;0]et alorsf(x)a un seul antécédent.Pour x>0 avecx6=1 alorsf(x)2]0;1e
[et alorsf(x)a deux antécédents. pour x=1, alorsf(x) =1=en"a qu"un seul antécédent. Bilan : six2]0;1[[]1;+¥[alors CardC(x) =Cardf1(f(x)) =2, six60 oux=1 alors CardC(x) =Cardf1(f(x)) =1.
3 Correction del"exer cice3 N•Refle xivité: pour tout X2P(E)on aXXcarX=X. Anti-symétrie : pour X;Y2P(E)tels queXYetYX, alors par définition deon a8x2X8y2Y x6yety6x:
Comme la relation6est une relation d"ordre alorsx6yety6ximpliquex=y. Donc8x2X8y2Y x=y;
ce qui implique queX=Y(dans ce cas en faitXest vide ou un singleton). T ransitivité: soit X;Y;Z2P(E)tels queXYetYZ. SiX=YouY=Zalors il est clair queXZ.Supposons queX6=YetY6=Zalors
8x2X8y2Y x6yet8y2Y8z2Z y6z:
Donc on a
8x2X8y2Y8z2Z x6yety6z;
alors par transitivité de la relation6on obtient :8x2X8z2Z x6z:
DoncXZ.4
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