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CPP - 2013/2014 Algèbre générale I

J. Gillibert

Corrigé du TD n

o7Exercice 1 Dire si chacune des relations ci-dessous est réflexive, symétrique, ou transitive.

1. La relationRsurQdéfinie par :

xRy?xy?= 0 (a) La relationRest-elle réflexive? C"est-à-dire, est-il vrai quexRxpour toutx?Q? IcixRx signifiex2?= 0, ce qui est faux pourx= 0. DoncRn"est pas réflexive. (b) La relationRest-elle symétrique? C"est-à-dire, est-il vrai quexRy?yRxpour tout couple (x,y)?Q2? La réponse est oui, carxy?= 0?yx?= 0.

(c) La relationRest-elle transitive? C"est-à-dire, étant donné trois nombresx,yetztels quexRy

etyRz, est-il vrai quexRz? La réponse est oui. En effet, sixy?= 0alorsx?= 0ety?= 0. De même, siyz?= 0, alorsy?= 0etz?= 0. Il en résulte quexz?= 0puisquexetzsont non nuls.

2. La relationTsurZdéfinie par :

aTb?a-best divisible par2ou par3 (a) La relationTest réflexive. En effet, pour touta?Z,a-a= 0est divisible par2(et par3!). (b) La relationTest symétrique. En effet, siaTbest vrai, alorsa-best divisible par2ou par3, donc son opposéb-aest lui aussi divisible par2ou par3, c"est-à-dire quebTaest vrai. (c) La relationTn"est pas transitive. On peut donner le contre-exemple suivant :6T3et3T1sont vrais, mais6T1est faux.

Exercice 2

On considère la relationRsurRdéfinie par :

xRy?x2-y2=x-y

1. On remarque que :

xRy?x2-x=y2-y

Grâce à cette nouvelle formulation, il est facile de vérifier queRest une relation d"équivalence (ce

que nous ne faisons pas ici).

2. Soitx?R. Par définition, la classe d"équivalence dex, notéeCl(x), est l"ensemble

Cl(x) ={y?R|xRy}

On cherche donc l"ensemble desysatisfaisantx2-y2=x-y. Bien sûr,y=xest solution, puisqueRest réflexive. Pour trouver les autres solutions, on peut supposer quey?=x. Sachant que x

2-y2= (x-y)(x+y), l"équation devient(x-y)(x+y) =x-y, d"oùx+y= 1en divisant les

deux côtés parx-y. Autrement dit,y= 1-x. Au final, nous avons montré que :

Cl(x) ={x,1-x}.

Exercice 3

On définit une relation≂surP(R)(l"ensemble des parties deR) en posant :

X≂Y?X?[0,1] =Y?[0,1]

1

1. Vérifions que≂est bien une relation d"équivalence :

(a) Réflexivité : pour toute partieXdeR, il est vrai queX?[0,1] =X?[0,1], doncX≂X. (b) Symétrie : siXetYsont deux parties deR, alors :

X?[0,1] =Y?[0,1]?Y?[0,1] =X?[0,1]

c"est-à-dire queX≂Y?Y≂X. (c) Transitivité : siX,YetZsont trois parties deRtelles queX≂YetY≂Z, alors nous avons

X?[0,1] =Y?[0,1]etY?[0,1] =Z?[0,1]

il en résulte que

X?[0,1] =Z?[0,1]

c"est-à-dire queX≂Z.

2. La classe d"équivalence deXpour la relation≂est

Cl(X) ={Y?P(R)|X?[0,1] =Y?[0,1]}

Afin de décrire plus explicitementCl(X), on fait la remarque suivante :X?[0,1] =Y?[0,1]si et seulement siX\[0,1] =Y\[0,1]. À partir de là, on voit que :

Cl(X) ={(X\[0,1])?A|A?[0,1]}

3. Par définition, l"ensemble quotientP(R)/≂est l"ensemble des classes d"équivalence pour la relation

≂. Pour identifier cet ensemble, on peut choisir un représentant, le plus naturel possible, dans chaque

classe. Or, d"après la question précédente, la classe deXest caractérisée parX\[0,1], que l"on

peut prendre comme représentant. Vu sous cet angle, l"ensemble quotient s"identifie à l"ensemble

des parties de la formeX\[0,1], c"est-à-dire à l"ensemble des parties deR\[0,1].

Exercice 4

SoitEl"ensemble des droites du plan euclidienR2. On considère la relation?surEdéfinie par :

D?D??Dest parallèle àD?

1. Vérifions que?est une relation d"équivalence :

(a) Réflexivité : une droiteDest bien parallèle à elle-même. (b) Symétrie : siDest parallèle àD?, alorsD?est parallèle àD.

(c) Transitivité : siDest parallèle àD?, et siD?est parallèle àD??, alorsDest parallèle àD??.

2. SoitE0l"ensemble des droites passant par l"origine. Alors chaque classe d"équivalence pour la

relation?contient un unique élément deE0: en effet, d"après le postulat d"Euclide, si l"on se donne

une droiteDdu plan, alors il passe par un point donné (ici en l"occurence, l"origine du plan) une unique droite parallèle àD. En d"autres termes, l"application E

0-→E/?

D

0?-→Cl(D0)

est bijective, ce qu"on voulait.

3. D"après la question précédente, pour montrer que l"ensemble quotientE/?est en bijection avec

R? {∞}, il suffit de montrer queE0est en bijection avecR? {∞}. Pour cela, on considère l"application E

0-→R? {∞}

D

0?-→le coefficient directeur deD0

avec la convention suivante : la droite verticale a pour coefficient directeur∞. Il est facile de vérifier

que cette application est bijective, d"où le résultat. 2

Exercice 5

On considère la relationRsurZ×Z?définie par : (a,b)R(c,d)?ad=bc

1. Montrons queRest une relation d"équivalence

(a) Réflexivité : soit(a,b)?Z×Z?. Alorsab=badonc(a,b)R(a,b). (b) Symétrie : nous avons (a,b)R(c,d)?ad=bc?cb=da?(c,d)R(a,b) (c) Transitivité : soient trois couples(a,b),(c,d)et(e,f)tels que(a,b)R(c,d)et(c,d)R(e,f), c"est-à-diread=bcetcf=de. Alors il vient adf=bcfetbcf=bde d"où adf=bde. Commedn"est pas nul, on en déduit queaf=be, c"est-à-dire que(a,b)R(e,f).

2. On considère l"application

q: (Z×Z?)/R -→Q

Cl((a,b))?-→ab

Il faut d"abord vérifier que cette applicationqest bien définie, autrement dit que si(a,b)et(c,d)

sont deux représentants de la même classe, alors ab =cd . Or cette dernière condition se traduit par ad=bc, qui est la définition même de(a,b)R(c,d). Autrement dit : ab =cd ?(a,b)R(c,d)

Ceci montre à la fois queqest bien définie, et qu"elle est injective. La surjectivité est évidente.

Exercice 6

Soitn >0un entier fixé. Siaest un entier relatif, on noteala classe deamodulon.

1. Montrer que :a={a+nk|k?Z}=a+nZ

2. Montrer que :

Z/nZ={0,1,...,n-1}

oùZ/nZdésigne l"ensemble quotient deZpar la relation de congruence modulon.

Exercice 7

Soitω >0un réel fixé. Siaest un réel, on noteala classe deamoduloω.

1. Montrer que :a={a+ωk|k?Z}=a+ωZ

2. Montrer que l"ensemble quotientR/ωZest en bijection avec l"intervalle[0,ω[.

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