Géométrie vectorielle dans le plan exercices avec corrigés
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Exercices de mathématiques - Exo7
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Géométrie Vectorielle
#— b. #— c. Page 9. CHAPITRE 1. VECTEURS COMPOSANTES - POINTS
Seconde Géométrie vectorielle
1I. Notion de vecteurs
a) Vecteurs et translationsDéfinition :
A et B désignent deux points du plan.
La translation qui transforme A en B associe à tout point C du plan l'unique point D tel que les segments [BC] et [AD] ont le même milieu. 1 er cas : C Î (AB)D est le point tel que ABDC est un
parallélogramme. 2ème cas : C Î (AB)
On dit que ABDC est un
parallélogramme aplati.Définition :
Si une translation transforme A en A', B en B', C en C', on dit que les couples (A,A'), (B,B'), (C,C') définissent un même objet appelé vecteur.Le vecteur
AA' est défini :
par sa direction (celle de la droite (AA')) par sa longueur (la longueur AA') par son sens (de A vers A') Remarque : A chaque translation correspond un vecteur qu'on appelle vecteur de la translation. (AA' pour la translation précédente)
b) égalité de vecteurs Définition : On dit que deux vecteurs sont égaux lorsqu'ils ont même direction, même sens et même longueur.On note
®u =
¾®AB =
¾®CD =
¾®EF
On dit que
AB, CD, EF sont des représentants d'un même vecteur. A A' B B' C C'Seconde Géométrie vectorielle
2Vecteurs particuliers :
· Le vecteur nul
0 : pour tout point M,
MM = 0· Le vecteur opposé à
AB est le vecteur qui a la même direction, la même longueur queAB mais un sens opposé. C'est donc le vecteur
BA.On note :
BA = -
ABPropriété :
Dire que quatre points A, B, C et D sont tels que
AB =DC équivaut à dire que
ABCD est un parallélogramme, éventuellement aplati. c) somme et différence de vecteursDéfinition : La somme de deux vecteurs
u et v est le vecteur, noté u + v, défini ainsi : A étant un point quelconque, on place le point B tel que AB = u, puis le point C tel que BC = v ; alors u + v= AC.L'égalité
AB + BC =AC est appelée relation de Chasles.
Remarque : si
u = OM et v = ON, alors u + v =OR où OMRN est un parallélogramme.
On en déduit la règle du parallélogramme :A, B et C étant donnés,
AB + AC = AD équivaut à ABDC est un parallélogramme.Définition : La différence du vecteur
u et du vecteur v s'obtient en ajoutant au vecteur u l'opposé du vecteur v : u - v = u + (- v) u + v v ® uSeconde Géométrie vectorielle
3Milieu d'un segment :
Le milieu de [AB] est le point I tel que :
AB = 2
AI ouAI = 1
2 AB.Autres traductions :
AI = IB ;IA = -
IB ; AI + BI = 0.Exercice :
1. Démontrer que pour tous points O, A et B,
OB - OA= AB2. A, B et C sont trois points ; I est le milieu de [BC].
Démontrer que 2
AI = AB + AC.Solution :
1. OB - OA = OB + AO = AO + OB=AB d'après la relation de Chasles.
2. AB+ AC = AI+ IB + AI +IC d'après la relation de Chasles
= 2 AI + IB + ICOr I est le milieu de [BC], d'où
IB + IC = 0Donc on a bien 2
AI = AB+ AC.II Multiplication d'un vecteur par un réel
a) Définition ¾¾®u désigne un vecteur non nul et k un nombre réel non nul.Le produit du vecteur
¾¾¾¾¾¾¾¾®®®®u par le réel k est le vecteur k¾¾®u tel que :
· k
¾¾®u et
¾¾®u ont même direction
Lorsque k > 0
· k
¾¾®u a le même sens que
¾¾®u
· la longueur de k
¾¾®u est le produit de k
par la longueur de¾¾®u.
AB C ukuLorsque k < 0
···· k
¾¾®u est de sens opposé à celui de
¾¾®u
· la longueur de k
¾¾®u est le produit de
l'opposé de k par la longueur de¾¾®u.
AB C kuuSeconde Géométrie vectorielle
4Exemples :
· centre de gravité d'un triangle :
Le centre de gravité du triangle ABC est le point G tel queAG = 2
3 AI ouGA = -2
GI , lorsque I est le milieu de [BC]
(c'est à dire que (AI) est la médiane issue de A).Autres traductions :
IG = 1
3 IA ;GI = - 1
2 GA.· le théorème des milieux
ABC est un triangle.
Si M est le milieu de [AB] et N celui de [AC] alorsMN = 1
2 BC .En effet :
MN = MA +AN d'après la relation de Chasles
1 2BA + 1
2 AC car M est le milieu de [AB] et N celui de [AC] 1 2 BA +AC) = 1
2BC d'après la relation de Chasles
b) règles de calculPropriétés :
· k
u =0 équivaut à k = 0 ou
u = 0· Pour tous réels k, k' et tous vecteurs
u, v : k(¾¾®u +
¾¾®v) = k
¾¾®u + k
¾¾®v k(k'
¾¾®u) = (kk')
¾¾®u
(k + k')¾¾®u = k
¾¾®u + k'
¾¾®u 1 .
¾¾®u =
¾¾®u
Exemples :
· 2
AB + 3
AB = (2 + 3)
AB = 5
AB· -3 ´
3¾¾®u =
3¾¾®u = -2
¾¾®u
· 3
AM =0 équivaut à
AM =0, c'est à dire A = M.
Seconde Géométrie vectorielle
5III Colinéarité de deux vecteurs
a) vecteurs colinéairesDéfinition : Dire que deux vecteurs non nuls
u = AB et¾¾®v =
¾¾®CD sont colinéaires signifie qu'ils ont la même direction. Cela signifie que les droites (AB) et (CD) sont parallèles ou confondues.Propriété : Dire que les vecteurs non nuls
¾¾®u et
¾¾®v sont colinéaires équivaut à dire qu'il existe un nombre réel k non nul tel que¾¾®v = k
¾¾®u.
Remarque : Par convention, on dit que le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur¾¾®u.
b) parallélisme et alignement · Dire que les droites (AB) et (CD) sont parallèles équivaut à dire qu'il existe un nombre réel k non nul tel queCD = k
AB. · Dire que les points distincts A, B et C sont alignés équivaut à dire qu'il existe un nombre réel k non nul tel queAB = k
AC.Exercice 1 :
Dans la figure ci-contre :
ABCD est un parallélogramme de centre I,
B est le milieu du segment [AE],
G est le centre de gravité du triangle ACE, et
BF = 2
BA + AD.Déterminer les relations reliant
AE et CD, CGetCB , puis
EI et EG.Calculer
IE +IF , puis montrer que E, G et F sont alignés.
Solution :
AE= 2AB car B est le milieu de [AE]
= 2DC = -2
CD car ABCD est un parallélogramme.
CG = 2
3 CB car G est le centre de gravité du triangle ACE. EG= 2 3 EI car G est le centre de gravité du triangle ACE, doncEI = 3
2 EG. AB C DuvSeconde Géométrie vectorielle
6 IE +IF =
IB + BE + IB +BF d'après la relation de Chasles
= 2 IB +BE + 2
BA+ AD = 2( IB + BA) + AB+ AD ( BE =AB car B est le milieu de [AE])
2IA +AC (
AB+ AD =ACcar ABCD est un parallélogramme)
CA+ AC =0 (2
IA =CA car I est le milieu de [AC])
On en déduit que I est le milieu de [EF].
On a alors
EF = 2
EI et de plus
EI = 3
2EG donc
EF = 3
EG et les points E, F et G
sont alignés.Exercice 2 :
ABC est un triangle, les points I et J sont tels queAI = 1
3 AB etAJ = 3
AC1. Exprimer
IC et
BJ en fonction de
AB et AC.2. En déduire que les droites (IC) et (BJ) sont parallèles.
Solution :
1.IC =
IA +AC d'après la relation de Chasles
1 3 AB + AC BJ = BA +AJ d'après la relation de Chasles
BJ = -
AB + 3
AC2. D'après les égalités précédentes, on obtient :
BJ = 3
ICDonc les vecteurs
BJ et IC sont colinéaires et les droites (BJ) et (IC) sont parallèles.quotesdbs_dbs1.pdfusesText_1[PDF] exercices graphes terminale es pdf
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