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Géométrie Vectorielle

2C option santé

Jean-Philippe Javet

Chapitre 1 :Vecteurs, base et composantes ..................... 1 Chapitre 2 :Points, repère et coordonnées ...................... 29 Chapitre 3 :Norme et produit scalaire ......................... 39 Quelques éléments de solutions................................ 57 http://www.javmath.chVersion : 2023 1

Vecteurs, base et composantes

1.1 Les vecteurs

1.1.1 La notion de vecteurDéfinition:Unvecteurnon nul est caractérisé par la donnée de trois éléments :

unedirection, unsenset unelongueur(appelée aussinorme). Pour dessiner un vecteur, on choisit un point à partir duquel on trace une flèche qui a la direction, le sens et la longueur souhaités. de même directionde même sensde même longueur Unvecteur nulest un vecteur de longueur zéro. Sa direction et son sens ne sont pas définis. Un tel vecteur se dessine à l"aide d"un point. On note généralement les vecteurs à l"aide de minuscules surmontées d"une flèche :# - a,# - b, ...,# - u,# - v, ... Pour deux pointsAetB, on note# - ABle vecteur qui peut se dessiner à l"aide d"une flèche joignantAàB.

Le vecteur nul est noté

# - 0. Pour tout pointP, on a# - PP"# - 0. 1

2 CHAPITRE 1. VECTEURS, BASE ET COMPOSANTES

Définition:On noteV2l"ensemble de tous les vecteurs du plan etV3l"ensemble

de tous les vecteurs de l"espace.2 critères:Citons deux critères exprimant l"égalité entre deux vecteurs :

AB"# - DCðñABCDest un parallélogramme (éventuellement dégénéré). ðñLa translation qui envoieAsurBenvoie aussiDsurC. De cette manière, un vecteur peut être considéré comme unensemble de flèchesqui ont : a)même direction, b)même sens, c)même longueur. Généralement, on dessine un tel vecteur à l"aide d"une seuleflèche, appeléereprésentant.Exemple 1: SoitABCDun parallélogramme. Regrouper tous les représentants de chaque vecteur que l"on peut définir à l"aide des lettres de cette figure.

CHAPITRE 1. VECTEURS, BASE ET COMPOSANTES 3

Exercice 1.1:Pour chaque paire de flèches, dire si elles sont le représentant d"un même vecteur ou pas. Justifier vos réponses en termes de : "direction" "sens" et "longueur". a)b) c)d)

Exercice 1.2:

Donner un représentant pour chaque vecteur pouvant se définir à l"aide des sommets de chacune des figures ci-dessous. a)ParallélogrammeABCDEFb)Pyramide à base carréeABE DC Dans la figure qui suit, donner le nombre de représentants différents que l"on peut définir à l"aide des différentes lettres. c)Hexagone régulierOAEF BD C

4 CHAPITRE 1. VECTEURS, BASE ET COMPOSANTES

1.1.2 Opérations sur les vecteurs du plan ou de l"espace

Définition:Soit# - aet# - bdeux vecteurs.

'Lasomme(addition)# - a`# - b:On choisit un pointA, et l"on note parBle point tel que# - AB"# - aet parCcelui pour lequel# - BC"# - b.

Ainsi # - a`# - b"# - AC: 'L"opposé´# - ade# - a: On choisit un pointA, et l"on note parBle point tel que

´# - a"# - BA.

'Ladifférence(soustraction)# - a´# - b: À l"aide de ce qui précède, on définit lasoustractionpar : a´# - b"# - a` p´# - bqExercice 1.3: a)Construire la somme des trois vecteurs ci-dessous. b) Représenter trois vecteurs non nuls, n"ayant pas la même direc- tion, et dont la somme est le vecteur nul.# - a# - b# - c

CHAPITRE 1. VECTEURS, BASE ET COMPOSANTES 5

Exercice 1.4:Construire dans chacun des deux cas le vecteur demandé.# - a# - c# - b# - a# - b# -

ca)le vecteur# - v"# - a`# - b`# - cb)le vecteur# - w"# - b´# - c`# - ac)le vecteur# - z"# - a´ p# - b`# - cqd)le vecteur# - xtel que# - x`# - a"# - b

6 CHAPITRE 1. VECTEURS, BASE ET COMPOSANTES

Propriétés:

Michel Chasles

(1793 - 1880)Pour tous pointsA,BetC, on a : # - AB`# - BC"# - AC(règle de Chasles)

´ # - AB"# - BA

Quels que soient les vecteurs

# - a,# - bet# - c, on a : # - a`# - b"# - b`# - a(commutativité) p # - a`# - bq `# - c"# - a` p# - b`# - cq(associativité) # - a`# - 0"# - a(# - 0est élément neutre)

# - a` p´# - aq "# - 0(´# - aest l"opposé de# - a)Justification:Les deux premières égalités découlent immédiatement des définitions.

Les autres sont illustrées ci-dessous :

'commutatitivé :# - a# - b# - b# - a# - a`# - b# - b`# - a'associativité :# - a`# - b# - b`# - c# - b# - ap # - a`# - bq `# - c# - a` p# - b`# - cq# - c'élément neutre : évident. 'opposé :# - a´ # - a

CHAPITRE 1. VECTEURS, BASE ET COMPOSANTES 7

Exemple 2:SoientA,B,C,Ddes points quelconques de l"espace. Simplifier l"expression :# - AC´# - AD`# - CB´# - DBExercice 1.5: SoitA,B,C,DetEdes points quelconques du plan ou de l"espace, simplifier le plus possible les expressions suivantes : a) # - BD`# - AB`# - DCb)# - BC`# - DE`# - DC`# - AD`# - EB c)

# - DA´# - DB´# - CD´# - BCd)# - EC´# - ED`# - CB´# - DBExercice 1.6:

On considère le parallélépipèdeABCD EFGHreprésenté sur la figure. Exprimer plus simplement les vecteurs suivants : a) # - a"# - AB`# - FG b)# - b"# - AG`# - CD c) # - c"# - EB`# - CA d)# - d"# - EH`# - DC`# - GA e) # - e"# - AH`# - EB f)# - f"# - AB`# - CC`# - BH`# - GFDAEH CBGF

Exercice 1.7:

Associer à chaque égalité vectorielle la phrase correspondante et, dans chaque cas, illustrer par une figure : 1. # - AD"# - DBA.ABCDest un parallélogramme 2. # - AB"# - CDB.ABDCest un parallélogramme 3. # - DC"# - DA`# - DBC.Dest le milieu deAB 4. # - AD"# - BCD.ADBCest un parallélogramme

8 CHAPITRE 1. VECTEURS, BASE ET COMPOSANTES

Définition:Soit# - aun vecteur etkun nombre réel. 'Sikest positif, le vecteurk¨# - a(que l"on peut également écrirek# - a)est défini par : a)sa direction et son sens sont les mêmes que ceux de# - a, b)sa norme est égale àkfois celle du vecteur# - a. Sikest négatif, le vecteurk# - aest défini comme l"opposé de celui considéré aveckpositif.Exercice 1.8: v Reproduire le vecteur# - vdans votre cahier puis construire les vec- teurs : a) # - a"2# - vb)# - b" ´13 # - v c) # - c"43 # - vd)# - d" ´32 # - v e) # - e"116 # - vExercice 1.9: v# - u Reproduire les vecteur# - uet# - vdans votre cahier puis construire les vecteurs : a) # - a1"# - v`13 # - vpuis# - a2"43 # - v b) # - b1"34 p´# - uqpuis# - b2" ´34 # - u c) # - c1"2# - u`2# - vpuis# - c2"2p# - u`# - vq

Que constatez-vous?Propriétés:

Quels que soient les vecteurs# - a,# - bet les nombres réelsk,m, on a : 'kp# - a`# - bq "k# - a`k# - b' p´1q# - a" ´# - a ' pk`mq# - a"k# - a`m# - a'kp´# - aq " p´kq# - a" ´pk# - aq 'kpm# - aq " pkmq# - a'0# - a"# - 0 '1# - a"# - a'k# - 0"# - 0

CHAPITRE 1. VECTEURS, BASE ET COMPOSANTES 9

Exemple 3:Représenter le pointPpour lequel l"égalité vectorielle suivante est vérifiée :# - AP" ´12 # - ABAB Exercice 1.10:Même consigne que l"exemple précédent : a) # - AP" ´2# - ABA B b) # - PA"12 # - ABAB c) # - AP" ´2# - PBAB d) # - PA" ´12 # - PBAB

10 CHAPITRE 1. VECTEURS, BASE ET COMPOSANTES

Exercice 1.11:Le segmentABest divisé en 6 parties de même longueur.ACDEFGB

Compléter les relations suivantes par :

- la lettre qui convient :- le nombre qui convient : 1) # - E ..." ´2# - EF4) # - CE"...# - ABquotesdbs_dbs1.pdfusesText_1

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