Module 3 : Inversion de matrices
Soit A une matrice carrée à n lignes et n colonnes. On appelle matrice des cofacteurs la matrice A dans laquelle on remplace chaque élément par son cofacteur.
LES DÉTERMINANTS DE MATRICES
1- Rappel - Définition et composantes d'une matrice . 7- Expansion par cofacteurs - méthode de calcul des déterminants .
MAT 1200: Introduction à lalgèbre linéaire
Sous-matrices Aij - Mineur- Cofacteurs. Mineur. Cofacteur Matrice des cofacteurs. ... Soit A = (a11) une matrice de type 1 × 1 le déterminant de A est.
Table des matières 1 Dé nition de linverse de A 2 Dé nition des
2 Dé nition des matrices mineures et des mineurs. 1. 3 Dé nition des cofacteurs et matrice des cofacteurs. 1. 4 Inverse : A.
Chapitre 3 - Calcul Matriciel - Fin -
29 mai 2020 est l'élément neutre pour le produit des matrices carrées d'ordre n) ... Méthode de la Comatrice. Les cofacteurs de la matrice A ...
Généralités sur les matrices
Matrices particulières . Multiplication de deux matrices et de dimensions respectives ... comme la transposée de la matrice des cofacteurs de i.e..
MAT 1200: Introduction à lalgèbre linéaire
Déterminant de la matrice transposée. Les déterminants et les matrices inversibles. Sous-matrices Aij - Mineur- Cofacteurs. Mineur. Cofacteur.
Déterminants
On peut aussi définir le déterminant d'une matrice A. Le déterminant permet de Nous lui associons la matrice C des cofacteurs appelée comatrice
Génération dobservations pour la validation ou la comparaison de
et Q la matrice de covariance aussi appelée matrice des cofacteurs
Chapitre 7 D´eterminants
ii) Si une matrice A a deux vecteurs colonnes égaux Définition 48 On introduit la matrice des cofacteurs de A
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7- Expansion par cofacteurs - méthode de calcul des déterminants Soit une matrice carrée et ses cofacteurs Le déterminant est obtenu en suivant
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Le déterminant d'une matrice n × n Propriétés des déterminants Les déterminants et les matrices inversibles Matrice des cofacteurs Matrice adjointe
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Le déterminant permet de savoir si une matrice est inversible ou pas et de façon plus générale joue un rôle important dans le calcul matriciel et la
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29 mai 2020 · On appelle cofacteur de le déterminant (d'ordre n-1) obtenu en supprimant la ligne i et la colonne j dans la matrice A multiplié
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La comatrice C d'une matrice carrée A d'ordre n est la matrice obtenue en remplaçant chaque élément aij de la matrice A par son cofacteur La comatrice de A =
[PDF] la matrice transposée des cofacteurs divisée par le déterminant
Soit A une matrice n ? n et ses n2 mineures Mij (et ses n2 mineurs mij) Les n2 cofacteurs de A sont les n2 réels : cij = (?1)i+j det(Mij) (=
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A l'aide des cofacteurs (voir poly pour la déf) on peut calculer le déterminant d'une matrice d'ordre 4 à l'aide des déterminants de matrices d'ordre 3
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3) Le cofacteur de l'élément de la matrice carrée A est le produit du mineur par Notation : 4) Le déterminant d'une matrice carrée est égal à la somme des
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Le déterminant d'une matrice carrée Le calcul de l'inverse à l'aide de la matrice adjointe Définition La matrice des cofacteurs de notée
C'est quoi un cofacteur matrice ?
En mathématiques, on appelle cofacteur. , d'un élément de matrice. d'une matrice carrée, le déterminant de la sous-matrice obtenue en éliminant la colonne et la ligne de cet élément, multiplié par. .Comment trouver le cofacteur ?
Comment calculer la matrice des cofacteurs ? Pour chaque élément de la matrice, calculer le déterminant de la sous-matrice SM associée (ce déterminant est noté Det(SM) Det ( S M ) ou SM et est aussi appelé mineur. Multiplier alors le mineur par un facteur ?1 selon la position dans la matrice.Comment on calcule la matrice ?
Définition 1 Une matrice m×n est un tableau de nombres à m lignes et n colonnes. Les nombres qui composent la matrice sont appelés les éléments de la matrice (ou aussi les coefficients). Une matrice à m lignes et n colonnes est dite matrice d'ordre (m, n) ou de dimension m × n.Exemple 3: Types de matrices
matrice ligne.matrice carrée.Matrice identitématrice colonne.
Séance du Vendredi 29 Mai 2020ALGEBREProf : M. RedouabyChapitre3-CalculMatriciel-Fin - Inversion desmatricesØUn nombreréelaest inversiblesignifie qu'il existeun nombreréelbtel que : ax b= 1"1étant l'élément neutrepour le produitdes nombres réels »2x 1/2= 12est un nombre réel inversibleet son inverse ; noté 2-1; est½=0,50
Inversed'une matricecarréeDéfinitionSoitAunematricecarréed'ordren(nlignesetncolonnes).Aestinversiblesignifiequ'ilexisteunematriceBcarréed'ordrentelleque:AxB=BxA= InIndésigne la matrice unitéd'ordre n.(Inest l'élément neutrepour le produitdes matrices carréesd'ordre n)
Question -réponseqQuestion1 : Est-ce que toute matrice A est inversible?Réponse: Non(Très peu de matrices sont inversibles)qQuestion2 : Comment savoir si une matrice A est inversible?Réponse: ØLa matrice A doit être carréeØLe déterminantde A doit être non nul
ThéorèmeAest une matrice carréed'ordre nAest inversibleÛ0)det(¹AInversion desmatricesAestunematricecarréed'ordren,onsupposeque:1)Lecasn=2:Aestunematricecarréed'ordre20)det(¹=ADCas facile
Cas des matrices carrées d'ordreSupérieur 2)Lecas:Aestunematricecarréed'ordresupérieurouégalà 33³nPlusieurs méthodespermettent d'inverserune matrice, nous allons commencer par voir la Méthode de la Comatrice
Définition "Cofacteurde »ØSoit l'élémentde la matrice Ase trouvant surla ligne iet la colonne j. On appelle cofacteurde le déterminant(d'ordren-1) obtenu en supprimantlaligne i et la colonne j dans la matrice A, multipliépar ijaijaijaji)1(+-
La comatriced'une matriceComatricede AOn appelle comatricede Aet on note Com(A)la matriceobtenue en remplaçantchaquetermede la matrice Apar son cofacteur
Théorème Sialorsestinversibleet on a : 0)Adet(¹Com(A)det(A)1t=-1AMéthodede la ComatriceTransposéede la comatrice
DeuxièmeMéthodeInversiond'une matriceà partird'une équation algébriqueSoitAunematricecarréed'ordrenquivérifie:Exemple 02I3A5AA23=--+Montrer que Aest inversibleet donner sa matrice inverseMatrice Nulle
Réponse Nous allons utiliser la définition : Aest inversibleune matrice Btelle que :AB= I$ÛCommedansnotreexemplelamatriceAvérifiel'équationalgèbrique:02I3A5AA23=--+
Réponse On a alors : 02I3A5AA23=--+2I3A5AA23=-+On a fait passer 2Ià droite : Iétant la matrice unitéde même ordreque A
Réponse 2I3I)5AAA2=-+(On metalors la marice Aen facteur, Attention: !!!3I)AI3A3A---´´==(matricematricematrice
Réponse I3I)5AAA221=-+´(Finalement on arrive à l'égalitésuivante :BMatrice unitéRéponse Par conséquent, et d'après la définition"dematrice inversible», la matrice Aest inversibleet sa matriceinverseA-1est donnée par :3I)5AA2121A-+=(-A-1en fonctionde la matrice Aet la matriceunitéIIl suffit alors de remplacerA2, Aet Ipar leurs valeurspour expliciterla valeur de A-1
On peut à partirde cette équation algébrique montrerque la matrice Mest inversible, et donnerune expressionde M-1en fonction de Met la matrice unité I: P(M) = M3+ 2M2-M-2I= 0M3+ 2M2-M= 2I M x ( M2+ 2M-I ) = 2I
M x 1/2( M2+ 2M-I ) = I ExempleM-1Par conséquent, et d'après la définition"dematrice inversible», la matrice Mest inversibleet sa matriceinverseM-1est donnée par :
I)2MM2121M-+=(-M-1en fonctionde la matrice Met la matriceunitéIIl suffit alors de remplacerM2, Met Ipar leurs valeurspour expliciterla valeur de M-1Exemple
Inversion desmatricesApplicationRésolution de systèmes linéairesRésoudre le système linéaire carrésuivant, en utilisant la méthode matricielle:ïïïïïîïïïïïíì=-+=+-=++8zy4x33zyx214z3y2xExempleS :
Deuxième Etape : Résolution du système linéaireSNous sommes devant deux cas: ØPremier cas: La matrice Mn'est pas inversible0)det(=MDans ce cas, on ne peut pas utiliser la méthode matricielle, on peut résoudrele système avec la Méthode de Pivot de Gauss par exemple.
ØDeuxième cas: La matrice Mest inversible0)det(¹MMX = B X = M-1 BSolution uniqueAttention : Dans la formule (2)X = M-1Bet nonX = BM-1Car pour enleverMdans (1), on a multipliépar M-1à gauchelesdeux membres de l'égalité(1)(2)
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