[PDF] Inverse dune matrice carrée Nous nous intéressons ici





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les matrices sur Exo7

Calculer (A+ B)p. 3. Inverse d'une matrice : définition. 3.1. Définition. Définition 7 (Matrice inverse) 



Inverse dune matrice carrée

Nous nous intéressons ici aux matrices carrées (autant de lignes que de colonnes) en vue de la résolution de Ax = b. (autant d'équations que d'inconnues).



Cours 3: Inversion des matrices dans la pratique

Rappel de l'épisode précédent sur l'inverse d'une application linéaire/matrice. Pivot de Gauss sur les matrices. Cours 3: Inversion des matrices dans la.



LES DÉTERMINANTS DE MATRICES

1- Rappel - Définition et composantes d'une matrice . 3- Calcul du déterminant pour une matrice .



Module 3 : Inversion de matrices

Une matrice carrée admettant une inverse est dite inversible ou régulière. 2. Adjointe d'une matrice. Soit A une matrice carrée à n lignes et n colonnes. On 



Généralités sur les matrices

Matrice inverse. Soit une matrice carrée . L'inverse de (notée A ) si elle existe



Méthode de Gauss-Jordan Calcul de linverse dune matrice

Calcul de l'inverse d'une matrice. Méthodes numériques 2003/2004 - D.Pastre licence de mathématiques et licence MASS. 1. Méthode de Gauss-Jordan.



Transposée et inverse dune matrice carrée

Transposée et inverse d'une matrice carrée. On considère un nombre k réel ou complexe et deux matrices carrées d'ordre n à coefficients réels ou complexes.



Méthode de Gauss-Jordan Calcul de linverse dune matrice

Calcul de l'inverse d'une matrice. Méthodes numériques 2003/2004 - D.Pastre licence de mathématiques et licence MASS. 1. Méthode de Gauss-Jordan.



Matrices inversibles

Remarque : • La notion de matrice inversible n'a de sens que pour des matrices carrées. • Une matrice inversible admet un unique inverse :.



[PDF] Cours 3: Inversion des matrices dans la pratique

Pivot de Gauss sur les matrices Notion d'inverse d'une application linéaire Inverse d'une matrice Critère d'inversibilité : le déterminant 1



[PDF] Inverse dune matrice carrée - Christine Nazaret

On dit que A est inversible s'il existe une matrice B telle que AB = BA = I On appelle B matrice inverse de A et on la note A -1 Remarque :



[PDF] Matrices - Exo7 - Cours de mathématiques

C'est une matrice inversible et son inverse est elle-même par l'égalité InIn = In • La matrice nulle 0n de taille n × n n'est pas inversible En effet on sait 



[PDF] Calcul de linverse dune matrice1 - FORMAV

Exercices Inverse d'une matrice d'ordre 3 Exercice 1 Exercice 2 Exercice 3 Exercice 4 Exercice 5 Inverse d'une matrice d'ordre 4 Exercice 6



[PDF] Méthode de Gauss-Jordan Calcul de linverse dune matrice

Calcul de l'inverse d'une matrice Méthodes numériques 2003/2004 - D Pastre licence de mathématiques et licence MASS 1 Méthode de Gauss-Jordan



[PDF] inversion de matrices - Normale Sup

23 mar 2011 · Exemple : L'inverse de la matrice In est bien sûr In elle-même La matrice nulle n'est pas inversible Exemple : La matrice A = ( 2 1 3 2 )



[PDF] Généralités sur les matrices

La matrice est alors l'inverse de i e B A Propriétés : 1 Si est inversible alors 1 est aussi inversible et A A 2 Si est inversible 



[PDF] Méthodes de calculs de linverse dune matrice et applications

Soit B une matrice N × N telle que B < 1 o`u est une norme matricielle subordonnée (a) Montrer que Id ? B est inversible ici Id désigne la matrice 



[PDF] Matrices inverses - IGM

Inverse rapide Matrices inverses Vincent Nozick Vincent Nozick Matrices inverses 1 / 26 Matrice inverse Inversion Pivot de Gauss Gauss-Jordan



[PDF] Exercices Corrigés Matrices Exercice 1 – Considérons les matrices

AB est inversible d'inverse la matrice C Montrer alors que B est inversible et préciser A-1 Exercice 13 – (extrait partiel novembre 2011)

  • Comment faire l'inverse d'une matrice ?

    L'inverse d'une matrice carrée M est une matrice notée M^-1 telle que M.M^-1=I ou I est la matrice identité.

  • Quel est l'inverse d'une matrice ?

    On peut déterminer l'inverse d'une matrice carrée M en la multipliant par une matrice carrée de même ordre à coefficients inconnus et résolvant un système d'équations obtenu. Soit la matrice M = \\begin{pmatrix} 1 & 3 \\cr\\cr 1 & 2 \\end{pmatrix}.

  • Comment déduire la matrice inverse ?

    On résout ( S ) par la méthode du pivot de Gauss. On a donc pour toutes matrices X et Y de M 3 , 1 ( R ) l'équivalence A X = Y ? X = A ? Y . On a donc pour toute matrice Y de M 3 , 1 ( R ) , Y = A A ? Y on en déduit A A ? = I 3 . De même pour toute matrice X de M 3 , 1 ( R ) , X = A ? A X et donc A ? A = I 3 .
Inverse dune matrice carrée

Introduction

Définition

Méthode de calcul

Propriétés et Autres méthodesInverse d"une matrice carrée

1ère année

E.N.S.T.B.B.

Bordeaux INP

Année Universitaire 2015-16

C. NazaretInverse

Introduction

Définition

Méthode de calcul

Propriétés et Autres méthodesPlan

1Introduction

2Définition

3Méthode de calcul

4Propriétés et Autres méthodes

C. NazaretInverse

Introduction

Définition

Méthode de calcul

Propriétés et Autres méthodesPlan

1Introduction

2Définition

3Méthode de calcul

4Propriétés et Autres méthodes

C. NazaretInverse

Introduction

Définition

Méthode de calcul

Propriétés et Autres méthodesNous nous intéressons ici auxmatrices carrées(autant de lignes que de colonnes) en vue de la résolution deAx=b (autant d"équations que d"inconnues).

Lorsqu"on dispose d"une

équation scalaireax=b, pour déterminerx, il suffit de multiplier (à droite ou à gauche) l"équation par l"inverse deasi aest non nul.En eff ettout réel admet un in verse,noté 1a ou encorea1, à l"exception de 0 vérifiant a 1a=1 Et le produit est comm utatif(2 3=32). En multipliant par l"inverse, on obtient a

1ax=a1b

d"où x=a1bC. NazaretInverse

Introduction

Définition

Méthode de calcul

Propriétés et Autres méthodesNous nous intéressons ici auxmatrices carrées(autant de lignes que de colonnes) en vue de la résolution deAx=b (autant d"équations que d"inconnues).Lorsqu"on dispose d"une équation scalaireax=b, pour déterminerx, il suffit de multiplier (à droite ou à gauche) l"équation par l"inverse deasi aest non nul.En effet tout réel admet un inverse, noté 1a ou encorea1, à l"exception de 0 vérifiant a 1a=1 Et le produit est comm utatif(2 3=32). En multipliant par l"inverse, on obtient a

1ax=a1b

d"où x=a1bC. NazaretInverse

Introduction

Définition

Méthode de calcul

Propriétés et Autres méthodesNous nous intéressons ici auxmatrices carrées(autant de lignes que de colonnes) en vue de la résolution deAx=b (autant d"équations que d"inconnues).Lorsqu"on dispose d"une équation scalaireax=b, pour déterminerx, il suffit de multiplier (à droite ou à gauche) l"équation par l"inverse deasi aest non nul.En effet tout réel admet un inverse, noté 1a ou encorea1, à l"exception de 0 vérifiant a 1a=1 .Et le produit est commutatif (23=32). En multipliant par l"inverse, on obtient a

1ax=a1b

d"où x=a1bC. NazaretInverse

Introduction

Définition

Méthode de calcul

Propriétés et Autres méthodesNous nous intéressons ici auxmatrices carrées(autant de lignes que de colonnes) en vue de la résolution deAx=b (autant d"équations que d"inconnues).Lorsqu"on dispose d"une équation scalaireax=b, pour déterminerx, il suffit de multiplier (à droite ou à gauche) l"équation par l"inverse deasi aest non nul.En effet tout réel admet un inverse, noté 1a ou encorea1, à l"exception de 0 vérifiant a 1a=1 .Et le produit est commutatif (23=32). En multipliant par l"inverse, on obtient a

1ax=a1b

d"où x=a1bC. NazaretInverse

Introduction

Définition

Méthode de calcul

Propriétés et Autres méthodesLa démarche pour le calcul matriciel peut être la même mais

d"une part le produit matriciel n"est pas commutatif (AB6=BA) et d"autre part toute matriceAn"admet pas d"inverse...Dans ce qui suit, nous définissons la notion de matrice inverse d"une matrice carrée et donnons une méthode pour la calculer (lorsqu"elle existe!).

C. NazaretInverse

Introduction

Définition

Méthode de calcul

Propriétés et Autres méthodesLa démarche pour le calcul matriciel peut être la même mais

d"une part le produit matriciel n"est pas commutatif (AB6=BA) et d"autre part toute matriceAn"admet pas d"inverse...Dans ce qui suit, nous définissons la notion de matrice inverse d"une matrice carrée et donnons une méthode pour la calculer (lorsqu"elle existe!).

C. NazaretInverse

Introduction

Définition

Méthode de calcul

Propriétés et Autres méthodesPlan

1Introduction

2Définition

3Méthode de calcul

4Propriétés et Autres méthodes

C. NazaretInverse

Introduction

Définition

Méthode de calcul

Propriétés et Autres méthodesSoitAune matrice carrée d"ordren.Définition On dit que A est inversible s"il existe une matrice B telle que

AB=BA=I.

On appelle B matrice inverse de A et on la note

A

1Remarque :

Ecrire

BA n"a pas de sens a priori parce que toute matrice n"a pas d"inverse et qu"on ne sait pas s"il faut multiplierBpar l"inverse deAà gauche ou à droite.C. NazaretInverse

Introduction

Définition

Méthode de calcul

Propriétés et Autres méthodesSoitAune matrice carrée d"ordren.Définition On dit que A est inversible s"il existe une matrice B telle que AB=BA=I.On appelle B matrice inverse de A et on la note A

1Remarque :

Ecrire

BA n"a pas de sens a priori parce que toute matrice n"a pas d"inverse et qu"on ne sait pas s"il faut multiplierBpar l"inverse deAà gauche ou à droite.C. NazaretInverse

Introduction

Définition

Méthode de calcul

Propriétés et Autres méthodesSoitAune matrice carrée d"ordren.Définition On dit que A est inversible s"il existe une matrice B telle que AB=BA=I.On appelle B matrice inverse de A et on la note A

1Remarque :

Ecrire

BA n"a pas de sens a priori parce que toute matrice n"a pas d"inverse et qu"on ne sait pas s"il faut multiplierBpar l"inverse deAà gauche ou à droite.C. NazaretInverse

Introduction

Définition

Méthode de calcul

Propriétés et Autres méthodesSoitAune matrice carrée d"ordren.Définition On dit que A est inversible s"il existe une matrice B telle que AB=BA=I.On appelle B matrice inverse de A et on la note A

1Remarque :

Ecrire

BA n"a pas de sens a priori parce que toute matrice n"a pas d"inverse et qu"on ne sait pas s"il faut multiplierBpar l"inverse deAà gauche ou à droite.C. NazaretInverse

Introduction

Définition

Méthode de calcul

Propriétés et Autres méthodesProposition

Soient A et B deux matrices carrées d"ordre n, inversibles. (AB)1=B1A1( tA)1=t(A1)C. NazaretInverse

Introduction

Définition

Méthode de calcul

Propriétés et Autres méthodesProposition

Soient A et B deux matrices carrées d"ordre n, inversibles. (AB)1=B1A1( tA)1=t(A1)C. NazaretInverse

Introduction

Définition

Méthode de calcul

Propriétés et Autres méthodesProposition

Soient A et B deux matrices carrées d"ordre n, inversibles. (AB)1=B1A1( tA)1=t(A1)C. NazaretInverse

Introduction

Définition

Méthode de calcul

Propriétés et Autres méthodesPlan

1Introduction

2Définition

3Méthode de calcul

4Propriétés et Autres méthodes

C. NazaretInverse

Introduction

Définition

Méthode de calcul

Propriétés et Autres méthodesSoitAune matrice carrée d"ordren, inversible. Calcul de

l"inverse deA: il existe plusieurs méthodes1par résolution du système linéaireAx=yoùx=0

B BB@x 1 x 2 x n1 C CCA ety=0 B BB@y 1 y 2 y n1 C CCA2par la méthode des cofacteurs (utilise la notion de déterminant d"une matrice)3par la méthode du pivot de Gauss-Jordan

C. NazaretInverse

Introduction

Définition

Méthode de calcul

Propriétés et Autres méthodesSoitAune matrice carrée d"ordren, inversible. Calcul de

l"inverse deA: il existe plusieurs méthodes1par résolution du système linéaireAx=yoùx=0

B BB@x 1 x 2 x n1 C CCA ety=0 B BB@y 1 y 2 y n1 C CCA2par la méthode des cofacteurs (utilise la notion de déterminant d"une matrice)3par la méthode du pivot de Gauss-Jordan

C. NazaretInverse

Introduction

Définition

Méthode de calcul

Propriétés et Autres méthodesSoitAune matrice carrée d"ordren, inversible. Calcul de

l"inverse deA: il existe plusieurs méthodes1par résolution du système linéaireAx=yoùx=0

B BB@x 1 x 2 x n1 C CCA ety=0 B BB@y 1 y 2 y n1 C CCA2par la méthode des cofacteurs (utilise la notion de déterminant d"une matrice)3par la méthode du pivot de Gauss-Jordan

C. NazaretInverse

Introduction

Définition

Méthode de calcul

Propriétés et Autres méthodesSoitAune matrice carrée d"ordren, inversible. Calcul de

l"inverse deA: il existe plusieurs méthodes1par résolution du système linéaireAx=yoùx=0

B BB@x 1 x 2 x n1 C CCA ety=0 B BB@y 1 y 2 y n1 C CCA2par la méthode des cofacteurs (utilise la notion de déterminant d"une matrice)3par la méthode du pivot de Gauss-Jordan

C. NazaretInverse

Introduction

Définition

Méthode de calcul

Propriétés et Autres méthodesRésolution du système linéaireAx=y: exemple avec A=0 B @1 1 1 1 2 3

0 1 01

C A (E) :Ax=y,8 :x

1+x2+x3=y1

x

1+2x2+3x3=y2

x 2=y3 (E),8 :x

1+x3=y1y3

x 2=y3 x

1+3x3=y22y3

(E),8 :x

1+x3=y1y3

x 2=y3

2x1=y22y33(y1y3)C. NazaretInverse

Introduction

Définition

Méthode de calcul

Propriétés et Autres méthodesRésolution du système linéaireAx=y: exemple avec A=0 B @1 1 1 1 2 3

0 1 01

C

A(E) :Ax=y,8

:x

1+x2+x3=y1

x

1+2x2+3x3=y2

x

2=y3(E),8

:x

1+x3=y1y3

x 2=y3 x

1+3x3=y22y3

(E),8 :x

1+x3=y1y3

x 2=y3

2x1=y22y33(y1y3)C. NazaretInverse

Introduction

Définition

Méthode de calcul

Propriétés et Autres méthodesRésolution du système linéaireAx=y: exemple avec A=0 B @1 1 1 1 2 3

0 1 01

C

A(E) :Ax=y,8

:x

1+x2+x3=y1

x

1+2x2+3x3=y2

x

2=y3(E),8

:x

1+x3=y1y3

x 2=y3 x

1+3x3=y22y3(E),8

:x

1+x3=y1y3

x 2=y3

2x1=y22y33(y1y3)C. NazaretInverse

Introduction

Définition

Méthode de calcul

Propriétés et Autres méthodesRésolution du système linéaireAx=y: exemple avec A=0 B @1 1 1 1 2 3

0 1 01

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