[PDF] [PDF] Matrices inverses - IGM Inverse rapide Matrices inverses Vincent





Previous PDF Next PDF



les matrices sur Exo7

Calculer (A+ B)p. 3. Inverse d'une matrice : définition. 3.1. Définition. Définition 7 (Matrice inverse) 



Inverse dune matrice carrée

Nous nous intéressons ici aux matrices carrées (autant de lignes que de colonnes) en vue de la résolution de Ax = b. (autant d'équations que d'inconnues).



Cours 3: Inversion des matrices dans la pratique

Rappel de l'épisode précédent sur l'inverse d'une application linéaire/matrice. Pivot de Gauss sur les matrices. Cours 3: Inversion des matrices dans la.



LES DÉTERMINANTS DE MATRICES

1- Rappel - Définition et composantes d'une matrice . 3- Calcul du déterminant pour une matrice .



Module 3 : Inversion de matrices

Une matrice carrée admettant une inverse est dite inversible ou régulière. 2. Adjointe d'une matrice. Soit A une matrice carrée à n lignes et n colonnes. On 



Généralités sur les matrices

Matrice inverse. Soit une matrice carrée . L'inverse de (notée A ) si elle existe



Méthode de Gauss-Jordan Calcul de linverse dune matrice

Calcul de l'inverse d'une matrice. Méthodes numériques 2003/2004 - D.Pastre licence de mathématiques et licence MASS. 1. Méthode de Gauss-Jordan.



Transposée et inverse dune matrice carrée

Transposée et inverse d'une matrice carrée. On considère un nombre k réel ou complexe et deux matrices carrées d'ordre n à coefficients réels ou complexes.



Méthode de Gauss-Jordan Calcul de linverse dune matrice

Calcul de l'inverse d'une matrice. Méthodes numériques 2003/2004 - D.Pastre licence de mathématiques et licence MASS. 1. Méthode de Gauss-Jordan.



Matrices inversibles

Remarque : • La notion de matrice inversible n'a de sens que pour des matrices carrées. • Une matrice inversible admet un unique inverse :.



[PDF] Cours 3: Inversion des matrices dans la pratique

Pivot de Gauss sur les matrices Notion d'inverse d'une application linéaire Inverse d'une matrice Critère d'inversibilité : le déterminant 1



[PDF] Inverse dune matrice carrée - Christine Nazaret

On dit que A est inversible s'il existe une matrice B telle que AB = BA = I On appelle B matrice inverse de A et on la note A -1 Remarque :



[PDF] Matrices - Exo7 - Cours de mathématiques

C'est une matrice inversible et son inverse est elle-même par l'égalité InIn = In • La matrice nulle 0n de taille n × n n'est pas inversible En effet on sait 



[PDF] Calcul de linverse dune matrice1 - FORMAV

Exercices Inverse d'une matrice d'ordre 3 Exercice 1 Exercice 2 Exercice 3 Exercice 4 Exercice 5 Inverse d'une matrice d'ordre 4 Exercice 6



[PDF] Méthode de Gauss-Jordan Calcul de linverse dune matrice

Calcul de l'inverse d'une matrice Méthodes numériques 2003/2004 - D Pastre licence de mathématiques et licence MASS 1 Méthode de Gauss-Jordan



[PDF] inversion de matrices - Normale Sup

23 mar 2011 · Exemple : L'inverse de la matrice In est bien sûr In elle-même La matrice nulle n'est pas inversible Exemple : La matrice A = ( 2 1 3 2 )



[PDF] Généralités sur les matrices

La matrice est alors l'inverse de i e B A Propriétés : 1 Si est inversible alors 1 est aussi inversible et A A 2 Si est inversible 



[PDF] Méthodes de calculs de linverse dune matrice et applications

Soit B une matrice N × N telle que B < 1 o`u est une norme matricielle subordonnée (a) Montrer que Id ? B est inversible ici Id désigne la matrice 



[PDF] Matrices inverses - IGM

Inverse rapide Matrices inverses Vincent Nozick Vincent Nozick Matrices inverses 1 / 26 Matrice inverse Inversion Pivot de Gauss Gauss-Jordan



[PDF] Exercices Corrigés Matrices Exercice 1 – Considérons les matrices

AB est inversible d'inverse la matrice C Montrer alors que B est inversible et préciser A-1 Exercice 13 – (extrait partiel novembre 2011)

  • Comment faire l'inverse d'une matrice ?

    L'inverse d'une matrice carrée M est une matrice notée M^-1 telle que M.M^-1=I ou I est la matrice identité.

  • Quel est l'inverse d'une matrice ?

    On peut déterminer l'inverse d'une matrice carrée M en la multipliant par une matrice carrée de même ordre à coefficients inconnus et résolvant un système d'équations obtenu. Soit la matrice M = \\begin{pmatrix} 1 & 3 \\cr\\cr 1 & 2 \\end{pmatrix}.

  • Comment déduire la matrice inverse ?

    On résout ( S ) par la méthode du pivot de Gauss. On a donc pour toutes matrices X et Y de M 3 , 1 ( R ) l'équivalence A X = Y ? X = A ? Y . On a donc pour toute matrice Y de M 3 , 1 ( R ) , Y = A A ? Y on en déduit A A ? = I 3 . De même pour toute matrice X de M 3 , 1 ( R ) , X = A ? A X et donc A ? A = I 3 .
Matrice inverseInversion Pivot de Gauss Gauss-Jo rdanD ecompositionsInverse rapide

Matrices inverses

Vincent Nozick

Vincent NozickMatrices inverses1 / 26Matrice inverseInversion Pivot de Gauss Gauss-Jo rdanD ecompositionsInverse rapide

Matrice inverse

Denition :

SoitMune matrice, la matrice inverseM1deMest denie par : MM

1=M1M=IdVincent NozickMatrices inverses2 / 26Matrice inverseInversion Pivot de Gauss Gauss-Jo rdanD ecompositionsInverse rapide

Matrice inverse

Proprietes :

L'inverse d'une matrice n'existe pas toujours.

siMest inversible, on dit queMestreguliere

sinon,Mestsinguliere.Vincent NozickMatrices inverses3 / 26Matrice inverseInversion Pivot de Gauss Gauss-Jo rdanD ecompositionsInverse rapide

Matrice inverse

Proprietes :

SoitMune matrice carree d'ordren.

Les enonces suivants sont equivalents :

Mest inversible

x=0est la seule solution deMx=0

Mest de rangn

aucune ligne (colonne) deMn'est combinaison lineaire d'autres lignes (colonne) deM pour tout vecteurk,Mx=kadmet une solution detM6= 0Vincent NozickMatrices inverses4 / 26 Matrice inverseInversion Pivot de Gauss Gauss-Jo rdanD ecompositionsInverse rapide

Matrice inverse

Proprietes :

Id1=Id

(AB)1=B1A1 (M1)1=M diag(mii)1=diag1m ii

Vincent NozickMatrices inverses5 / 26Matrice inverseInversion Pivot de Gauss Gauss-Jo rdanD ecompositionsInverse rapide

Matrice inverse

Applications :

resoudre des systemes lineaires

trouver des transformations inversesVincent NozickMatrices inverses6 / 26Matrice inverseInversion Pivot de Gauss Gauss-Jo rdanD ecompositionsInverse rapide

Matrice inverse

Inverse et systemes lineaires :

Resoudre le systeme :Ax=b

Ax=b A

1Ax=A1b

Idx=A1b

x=A1b

Note :

Pour resoudre un systeme lineaire, preferez les methodes sans inver- sion de matrice.

Vincent NozickMatrices inverses7 / 26Matrice inverseInversion Pivot de Gauss Gauss-Jo rdanD ecompositionsInverse rapide

Inversion

Methode de Cramer :(methode habituelle)

M

1=1detMcom(M)>

avec : detM: le determinant deM com(M)>: transposee de la matrice des cofacteurs(comatrice) Vincent NozickMatrices inverses8 / 26 Matrice inverseInversion Pivot de Gauss Gauss-Jo rdanD ecompositionsInverse rapide

Inversion

M

1=1detMcom(M)>

le calcul du determinant est long! (cf. d eterminant)

Vincent NozickMatrices inverses9 / 26Matrice inverseInversion Pivot de Gauss Gauss-Jo rdanD ecompositionsInverse rapide

Inversion

Methodes numeriques :

pivot de Gauss

Gauss-Jordan

decompositions matriciellesVincent NozickMatrices inverses10 / 26Matrice inverseInversion Pivot de Gauss Gauss-Jo rdanD ecompositionsInverse rapide

Pivot de Gauss

Methode :

MM 1=Id 2 4m

11m12m13

m

21m22m23

m

31m23m333

52
4n

11n12n13

n

21n22n23

n

31n23n333

5 =2 410 0
0 1 0 0 0 1 3 5

!il sut de resoudrensystemes.Vincent NozickMatrices inverses11 / 26Matrice inverseInversion Pivot de Gauss Gauss-Jo rdanD ecompositionsInverse rapide

Pivot de Gauss

Methode :

2 4m

11m12m13

m

21m22m23

m

31m23m333

5 |{z} 2 6 64k

11k12k13

0k22k23

0

0 k333

7 752
4n

11n12n13

n

21n22n23

n

31n23n333

5 =2 410 0
0 1 0 0 0 1 3 5 La triangulation de laMest commune a tous les systemes, avec des eets surNetId.Vincent NozickMatrices inverses12 / 26 Matrice inverseInversion Pivot de Gauss Gauss-Jo rdanD ecompositionsInverse rapide

Pivot de Gauss

Triangulation :

2 4m

11m12m13

m

21m22m23

m

31m23m333

52
4n 11n 12n 13 n 21n
22n
23
n 31n
23n
333
5 =2 4100
010 001 3 5 ex :L2 L2L12 4m

11m12m13

0m022m023m

31m023m0333

52
4n 11n 12n 13 n 21n
22n
23
n 31n
23n
333
5 =2 4100
110
001 3 5

Vincent NozickMatrices inverses13 / 26Matrice inverseInversion Pivot de Gauss Gauss-Jo rdanD ecompositionsInverse rapide

Pivot de Gauss

Elimination :

2 4k

11k12k13

0k22k23

0

0 k333

52

4n011n

012n

013n021n

022n

023n031n

023n
0333
5 =2 4u 11u 12u 13 u 21u
22u
23
u 31u
32u
333
5 ,!on resoud : 2 4k

11k12k13

0k22k23

0

0 k333

50
@n011n021n0311 A =0 @u 11 u 21
u 311
A

et on fait pareil pour les 2 autres colonnes deN0Vincent NozickMatrices inverses14 / 26Matrice inverseInversion Pivot de Gauss Gauss-Jo rdanD ecompositionsInverse rapide

Pivot de Gauss

Methode :

triangulation deMavec des eets surNetId eliminations independantes sur chaque colonne deN. 2 4k

11k12k13

0k22k23

0

0 k333

50
@n011n021n0311 A =0 @u 11 u 21
u 311
A 2 4k

11k12k13

0k22k23

0

0 k333

50
@n012n022n0321 A =0 @u 12 u 22
u 321
A 2 4k

11k12k13

0k22k23

0

0 k333

50
@n013n023n0331 A =0 @u 13 u 23
u 331
A

Vincent NozickMatrices inverses15 / 26Matrice inverseInversion Pivot de Gauss Gauss-Jo rdanD ecompositionsInverse rapide

Gauss-Jordan

Principe :

donnees de depart :A a la maniere de la triangulation du pivot de Gauss : on rend la matriceAtriangulaire gr^ace a une matriceM1. on rend cette matrice diagonale gr^ace a une matriceM2. on tranforme cette matrice en matrice identite avecM3. ,!M3M2M1A=MA=Id

En pratique :

on applique les transformations successives surA(A!Id)et sur Idpour se souvenir des transformation successives et trouverM: [AjId]![MAjM] = [IdjM])M=A1Vincent NozickMatrices inverses16 / 26 Matrice inverseInversion Pivot de Gauss Gauss-Jo rdanD ecompositionsInverse rapide

Concretement

Au depart :

[AjId] =2 4a

11a12a131 0 0

a

21a22a230 1 0

a

31a32a330 0 1

3 5

Vincent NozickMatrices inverses17 / 26Matrice inverseInversion Pivot de Gauss Gauss-Jo rdanD ecompositionsInverse rapide

Concretement

2 4a

11a12a131 0 0

a

21a22a230 1 0

a

31a32a330 0 1

3 5 avec uniquement des operations sur les lignes 2 4a

11a12a131 0 0

0a022a023u

21u220

0 0a033u

31u32u333

5

Vincent NozickMatrices inverses18 / 26Matrice inverseInversion Pivot de Gauss Gauss-Jo rdanD ecompositionsInverse rapide

Concretement

2 4a

11a12a131 0 0

0a022a023u

21u220

0 0a033u

31u32u333

5 avec uniquement des operations sur les lignes 2 4a

110 0u

011u012u0130a0220u

021u022u0230 0a033u

31u32u333

5

Vincent NozickMatrices inverses19 / 26Matrice inverseInversion Pivot de Gauss Gauss-Jo rdanD ecompositionsInverse rapide

Concretement

2 4a

110 0u

011u012u0130a0220u

021u022u0230 0a033u

quotesdbs_dbs13.pdfusesText_19
[PDF] calcul matriciel cours et exercices corrigés pdf

[PDF] calcul matriciel determinant

[PDF] cour matrice

[PDF] comment calculer le cout d'un algorithme

[PDF] taux de rendement production trp

[PDF] trp production definition

[PDF] taux de rendement de production

[PDF] calcul trp production

[PDF] trp calcul

[PDF] faire des statistiques sur excel 2010

[PDF] calculer les cotés d'un triangle rectangle avec les angles

[PDF] longueur mediane triangle equilateral

[PDF] calcul mental 5eme

[PDF] séquence mesure de longueur cm1

[PDF] grandeurs et mesures cm1