[PDF] Licence Sciences de lIngénieur et Licence Informatique Niveau L2

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Licence Sciences de l"Ingénieur

et

Licence Informatique

Niveau L2 (=2`emeannée)

Mathématiques :

Résumé de ce qu"il faut savoir en Algèbre linéaire (ou Calcul Matriciel) au sortir du L1, en préalable au cours d"Algèbre linéaire du L2, concernant :

MATRICES

SYSTÈMES LINÉAIRES

DÉTERMINANTS

par J.-B. HIRIART-URRUTY, Professeur de mathématiques 2007
2

Table des matières

I Matrices5

I.1 Définitions de base. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

I.2 Matrices (très) spéciales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 I.3 Transposition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 I.4 Egalité de matrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 I.5 Addition de matrices, multiplication d"une matrice par un scalaire. . . . . . . . . . . 7 I.6 Multiplication de matrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 I.7 Trace d"une matrice carrée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 I.8 Matrices inversibles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 I.9 Explication de la multiplication matricielle à l"aide des transformations linéaires. . . 10

I.10 Définitions complémentaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11 I.11 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

II Systèmes Linéaires 15

II.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

II.2 Procédé d"élimination de GAUSS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15 II.3 Rang d"une matrice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

II.4 Solutions de systèmes linéaires : existence de solutions, unicité. . . . . . . . . . . . .

20 II.5 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

IIIDéterminants23

III.1 Déterminants d"ordre 1 et 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23
III.2 Déterminants d"ordre 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
III.3 Déterminants d"ordre quelconque. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
III.3.1 Définition à l"aide des permutations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
III.3.2 Développements suivant une ligne ou une colonne. . . . . . . . . . . . . . . . 25

III.4 Propriétés générales des déterminants (important!). . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

III.5 Règles importantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25
III.6 Inversion d"une matrice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

III.7. Résolution de systèmes linéaires à l"aide de déterminants, autant d"équations linéaires

que d"inconnues (systèmes dits de CRAMER). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
III.8 Déterminants et volumes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
III.9 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
A Brief History of Linear Algebra and Matrix Theory 31 3 4

I. Matrices

I.1.

D éfinitionsde base.

KdésigneraRouC; ses éléments seront appelés desscalaires(des nombres réels ou complexes). Une

matriceà coefficients dansKest un tableau rectangulaire présenté habituellement de la manière

suivante : m lignes ????a

11a12... a1n

a

21a22... a2n...

a m1am2... amn? n colonnes où les coefficientsaijsont des éléments deK(des scalaires donc). a ij: terme de la i-ème ligne et de la j-ème colonne. Notation recommandée : LI-CO, ligne puis colonne dans l"indiceijdeaij. M m,n(K): notation pour l"ensemble des matricesm×n(ou (m,n)) à coefficients dansK. Sim=n, on parlera de matrices carrées et on se contentera de la notationMn(K). CommeR?C,Mm,n(R)? Mm,n(C). Pour certains résultats concernantMm,n(R), on passera dans M m,n(C)puis on reviendra dansMm,n(R)(comme, par exemple, pour la résolution des équations du second degré à coefficients réels). DansA= [aij]? Mm,n(K), il y am×ncoefficients. Dans des calculs matriciels en Sciences de l"ingénieur,metnpeuvent atteindre des millions. I.2.

M atrices(très) sp éciales.

Les matrices (dites) scalaires:m=n= 1etA= [a], oùa?K. On peut identifierKetM1(K).

La matrice iden titée: In=?

?????1 0...0 0 1 .........0

0...0 1?

?????(des 1 sur la diagonale, des 0 partout ailleurs). Un peu plus général : les matrices (carrées)diagonales: diag(a1,a2,...,an) =? ?????a

10...0

0a2......

.........0

0...0an?

?????(a1,...,ansur la diagonale, des 0 partout ailleurs) Les matrices (carrées)triangulaires(inférieures, resp. supérieures) 5 A=? @@0 ?????ouA=? @@0 (aij= 0si i < j) (aij= 0si i > j) Les matrices unicolonnes(ou matrices colonnes) :A=? ????a 1 a 2... a m? ????? M m,1(K) On peut identifier cette matrice unicolonne avec le vecteur : ((((a 1 a 2... a m) ))))deKm. Matrices unilignes (ou matrices lignes) : définition mutatis mutandis.

A= [aij]? Mm,n(K)comportem×ncoefficientsaij?K.

La matrice diag (a1,...,an) comporten(n-1)coefficients nuls; lesnautres coefficientsa1,...,an la déterminent.

La matrice triangulaire

A=? @@@0 ?????comporten(n-1)2 coefficients nuls; lesn(n+1)2 autres coefficientsaijla détermine.

Noter quen2-n(n-1)2

=n(n+1)2 ... qui est aussi1 + 2 +...+n. Dans une matriceA? Mn(K), il y a n termes diagonaux etn2-n=n(n-1) = 2×n(n-1)2 termes non diagonaux.

Exemple:

Matrice des coefficients dans un système linéaire.

Dans?5x-2y+z= 1

3x+ 4z= 5(2 équations, 3 inconnuesx,y,z)

la matrice des coefficients des inconnuesx,y,zestA=?5-2 1

3 0 4?

I.3.

T ransposition.

SiA? Mm,n(K), la matricetransposéedeA, notéeAToutA(Atest à éviter, car génératrice de confusions) est la matricen×mdont le terme(i,j)est le terme(j,i)deA(les lignes deA deviennent les colonnes deAT, les colonnes deAdeviennent les lignes deAT).

Exemple:

A=?5-8 1

4 0 0?

devient A T=? ?5 4 -8 0 1 0? Lorsque A est à coefficients complexes, on définit aussi latransconjugée(ouadjointe)A?deA: A ?=(AT) (ou, ce qui revient au même,(A)T). 6

En bref, on transposeAet on prend les conjuguées des termes de la matrice (ou dans l"ordre inverse).

Par exemple,

A=?5i 1 2i? devient A ?=?5 1 -i-2i? Une matrice (carrée)A? Mn(R)est ditesymétriquelorsqueAT=A,antisymétriquelorsque A T=-A(notions qui n"ont d"intérêt que pour des matrices à coefficients réels). Une matrice (carrée)A? Mn(C)est ditehermitiennelorsqueA?=A,antihermitiennelorsque A ?=-A(notion généralisant les deux précédentes au cas complexe). I.4.

Egalité de matrices.

A= [aij]? Mm,n(K)etB= [bij]? Mm,n(K)(les deux matrices sont donc de même format!) sont

égales lorsque :

a ij=bijpour tout i= 1,...,m et j= 1,...,n. I.5. A dditionde matrices, m ultiplicationd"une matrice par un s ca- laire. A= [aij]? Mm,n(K)etB= [bij]? Mm,n(K)(les deux matrices sont donc de même format!) peuvent être additionnées pour donner une nouvelle matrice[cij] =C=A+Bdéfinie comme suit : c ij=aij+bijpour touti,j(addition coefficient par coefficient). SiA= [aij]? Mm,n(K)etc?K, la nouvelle matricecAest définie naturellement comme ceci : pour tout i,j le coefficient(i,j)de cA est caij.

Quelques propriétés (faciles) :

.A+B=B+A;(A+B) +C=A+ (B+C)(écritA+B+Csans ambiguïté).Si 0 est la matrice nulle (i.e. des coefficients 0 partout),

A+ 0 =A,

A+ (-A) = 0..c(A+B) =cA+cB;(c+d)A=cA+dA;c(dA) = (cd)A..(A+B)T=AT+BT;(cA)T=cAT;(AT)T=A..(A+B)?=A?+B?;(cA)?=cA

?;(A?)?=A. @I(attention) I.6.

M ultiplicationde matrice s.

Non, ce n"est pas en multipliant les coefficients terme à terme... too bad! Mais ça n"est pas difficile

pour autant. Le produitC=AB(dans cet ordre) deA= [aij]? Mm,n(K)parB= [bkl]? Mr,p(K) n"est défini que sir=n, c"est-à-dire :le nombre de colonnes de A = le nombre de lignes B, auquel cas,C= [cij]? Mm,p(K)a pour coefficients : c ij=n? k=1a ikbkj=ai1b1j+ai2b2j+...+aipbpj. Pour s"en souvenir, rien de plus simple,adopter le schéma de calcul suivant: 7 AB AB m pn n? i? j l"important est lencommun, peu importemetp...# •bkj a ik• • (AB)ij

Propriétés(lorsque les multiplications en jeu sont possibles):.(AB)C=A(BC)(on écriraABCsans ambiguïté)..A(B+C) =AB+AC..(A+B)C=AC+BC..(cA)B=A(cB) =cAB..Si 0 est la matrice nulle,0A=A0 = 0..SiInest la matrice identité,InA=AIn=A..(AB)T=BTAT. (attention à l"interversion de l"ordre!).SiAetBsont diagonales, il en est de mêmeAB..SiAetBsont triangulaires inférieures (resp.supérieures), la matriceABest triangulaire inférieure

(resp. supérieure).

Exemples particuliers :

????a

11... a1n

a

21... a2n......

a m1... amn?

A? Mm,n(K)?

1 x 2 x n? ????a

11x1+a12x2+...+a1nxn

a

21x1+a22x2+...+a2nxn...

a m1x1+am2x2+...+amnxn? matrice unicolonne(? Mm,1(K)) y

1y2... yn??

????a

11... a1n

a

21... a2n......

a m1... amn?

A? Mm,n(K)=

m? i=1a i1yim i=1a i2yi...m? i=1a inyi? matrice uniligne(? M1,n(K)) x y??a c c b?

A? M2(K)?

x y? ax2+by2+ 2cxy? matrice scalaire(Attention, c"est bien 2c!) x

1x2... xn??

????y 1 y 2... y n? n? i=1x iyi? matrice scalaire 8 x

1x2... xn?

????x 1 x 2... x n? ????x

21x1x2... x1xn

x

2x1x22... x2xn...

x nx1xnx2... x2n? matrice carr´ee(n,n)sym´etrique

Mises en garde!AB?=BAen général.

AB= 0n"implique pasA= 0ouB= 0, ni mêmeBA= 0.

AB=ACn"implique pasB=C, même siA?= 0.

I.7.

T raced"une matrice carrée.

SiA? Mn(K), on appelletracedeAla somme des éléments diagonaux deA,

A= [aij], trA=a11+a22+...+ann.

Propriétés :

.tr(AB) =trA+trB;tr(cA) =ctrA;tr(AT) =trA. .SoitA? Mm,n(K),B? Mn,m(K), de sorte qu"on peut effectuer les deux produitsABetBA;

ainsiAB? Mm(K)etBA? Mn(K)(elles peuvent donc être de tailles très différentes). Alorstr(AB) =tr(BA)Ceci est un résultat très utile ...Attention, il est faux de dire quetr(AB) = (trA)(trB).

Exemple:

.tr(ABC) =tr(CAB) =tr(BCA)(utiliser deux fois le résultat précédent)... mais on ne peut pas mettre A, B et C dans n"importe quel ordre. .SiX=? ????x 1 x 2... x n? ????,tr(XXT???? (n,n)) =tr(XTX???? (1,1)) =n? i=1x2i(Revoir pour ce cas extrême les exemples de la page 8). I.8.

M atricesin versibles.

Une matrice (carrée)A? Mn(K)est diteinversible, ourégulière, ou encorenon singulières"il existeB? Mn(K)telle que

AB=BA=In.

En fait, il suffit d"avoirAB=In...sans se préoccuper deBA(cela se démontre à l"aide des déterminants). Une telle matriceBest (unique et ) appeléel"inverse de A; elle est notéeA-1. LorsqueAn"est pas inversible, on dit qu"elle estsingulière.

Propriétés et règles de calcul :

Si A est in versible,il en est de même de ATet(AT)-1= (A-1)T(de sorte que la notationA-T est acceptée pour désigner(A-1)T= (AT)-1).

Si AetBsont inversibles (et de même taille), il en est de même deABet(AB)-1=B-1A-1(attention à l"interversion de l"ordre!)

9

-Si Aest diagonale (resp. triangulaire inférieure, triangulaire supérieure) et inversible, alorsA-1

est diagonale (resp. triangulaire inférieure, triangulaire supérieure).

Exemple:

A=? ??????a 11a

22........ann0

??????est inversible dès lors que tous lesaiisont différents de 0, auquel cas A -1=? ??????1a 111a

22........1a

nn0 ??????; ce qui est marquédans les 2 matrices ne peut se comparer direc- tement. Si Aest inversible etc?= 0,cAest inversible et(cA)-1=1c A-1. Si Aest inversible,(A-1)-1=A(On retombe sur ses pieds comme pour l"opération de transpo- sition). -Attention!SiAetBsont inversibles, on ne sait rien dire deA+B ... Soit A? Mn(K)etpun entier positif, alors la notationApsignifieAA...A???? p fois. Sip= 0, on convient de ceci :A0=In.

Avec la règle d"inversion rappelée plus haut, on obtient : siAest inversible,Apl"est aussi et(Ap)-1=

(A-1)p( de sorte que la notationA-pest acceptée pour désigner(Ap)-1= (A-1)p). AinsiApest bien définie sans ambiguïté pourpentier relatif (p?Z). I.9. Explication de la m ultiplicationmatricielle à l"aide des trans- formations linéaires. Le produitABde deux matrices peut sembler bizarre ...d"autant que le terme(i,j)deABn"est pas le produit des termes(i,j)deAet deB. D"où cette manière de faireAB(cf. partie I.6) vient-elle? Considérons les 2 variablesx1etx2sur lesquelles on fait une transformation linéaire : (1) ?y

1=a11x1+a12x2,

y

2=a21x1+a22x2[(x1,x2)ont donné(y1,y2)via (1)]

Supposons quex1etx2étaient elles-mêmes le résultat d"une transformation linéaire à partir de

variables initialesw1etw2: (2) ?x

1=b11w1+b12w2,

x

2=b21w1+b22w2[(w1,w2)ont donné(x1,x2)via (2)]

Question : comment obtenir à présenty1ety2à partir dew1etw2? Un simple calcul à partir de

(1) et (2) conduit à : ?y

1=a11(b11w1+b12w2)+a12(b21w1+b22w2),

y

2=a21(b11w1+b12w2)+a22(b21w1+b22w2)

soit encore : (3) ?y

1=c11w1+c12w2,

y

2=c21w1+c22w2

10 ou (4) ?c

11=a11b11+a12b21, c12=a11b12+a12b22,

c

21=a21b11+a22b21, c22=a21b12+a22b22

En reformulant (1) et (2) sous la forme matricielle : y=?y 1 y 2? =Ax=?a 11a12 a

21a22??

x 1 x 2? x=?x 1 x 2? =Bw=?b 11b12 b

21b22??

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