[PDF] Calcul matriciel 24 juin 2018 Si A

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Faculté des Sciences Économiques et Sociales - Université de Lille

Licence 2 / Économie - Gestion

Techniques Mathématiques de l"Économiste - Calcul matriciel

Version0.32

Calcul matriciel

V. Ledda

24 juin 2018

Table des matières1 Les matrices1 Les matrices2

1.1 Introduction1.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2

1.2 Généralités sur les matrices1.2 Généralités sur les matrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2

2 Opérations sur les matrices2 Opérations sur les matrices5

2.1 Introduction2.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5

2.2 L"addition de deux matrices2.2 L"addition de deux matrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6

2.3 La multiplication par un nombre réel2.3 La multiplication par un nombre réel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6

2.4 La multiplication matricielle2.4 La multiplication matricielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7

2.5 Le binôme de Newton2.5 Le binôme de Newton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10

2.6 La transposition2.6 La transposition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11

3 Réduction de Gauss-Jordan3 Réduction de Gauss-Jordan12

3.1 Matrice inversible3.1 Matrice inversible. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12

3.2 Matrices équivalentes et matrices semblables3.2 Matrices équivalentes et matrices semblables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13

3.3 Rang d"une matrice3.3 Rang d"une matrice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14

3.4 Calcul de l"inverse d"une matrice3.4 Calcul de l"inverse d"une matrice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17

4 Systèmes linéaires4 Systèmes linéaires18

4.1 Présentation du problème4.1 Présentation du problème. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18

4.2 Systèmes linéaires à 2 équations et 2 inconnues4.2 Systèmes linéaires à 2 équations et 2 inconnues. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19

4.3 Cas général4.3 Cas général. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20

4.4 Calcul de l"inverse d"une matrice4.4 Calcul de l"inverse d"une matrice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25

5 Le déterminant5 Le déterminant25

5.1 Introduction5.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25

5.2 Définition du déterminant5.2 Définition du déterminant. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26

5.3 Propriétés du déterminant5.3 Propriétés du déterminant. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26

5.4 Système de Cramer5.4 Système de Cramer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30

5.5 Application au calcul de l"inverse d"une matrice5.5 Application au calcul de l"inverse d"une matrice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30

6 Diagonalisation d"une matrice6 Diagonalisation d"une matrice32

6.1 Valeurs propres et vecteurs propres6.1 Valeurs propres et vecteurs propres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .32

6.2 Diagonalisation6.2 Diagonalisation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34

6.3 Application au calcul de A

k6.3 Application au calcul de A k. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37

Calcul matriciel

Avant-proposCe document est une aide à la prise de notes pour le cours de calcul matriciel du 4ème

semestre de Licence de Sciences Économiques. Il ne saurait remplacer un manuel de référence (voir biblio-

graphie). L"objectif est de présenter en 15 heures les bases du calcul matriciel. Étant donné la contrainte

horaire, cette présentation se fera sans le langage des espaces vectoriels. Le lecteur désireux de combler ce

manque pourra se reporter vers un manuel d"algèbre linéaire de niveau élémentaire ou d"un manuel de ma-

thématiques adapté aux étudiants de sciences économiques (Par exemple (dodge_mathematiques_2007)).

Pour s"exercer, le livreMatricesdeAyresfournit des centaines d"exercices couvrant l"ensemble du pro- gramme.

1 Les matrices

1.1 Introduction

Une matrice est un tableau de nombres qui permet de présenter une information chiffrée.

Exemple 1.Le tableau ci-dessous :a

Rose121015

Patchouli7510

Table1 - Production annuelle en milliers d"unités de l"usine d"Alphaville sera représenté par la matrice suivante : A =

12 10 15

7 5 10!

Cette matrice a deux lignes et trois colonnes : elle est de taille (2;3).

Naturellement les matrices sont toutes indiquées lorsque l"information a deux caractères (deux dimensions).

1.2 Généralités sur les matrices

1.2.1 DéfinitionsDéfinition 1.Considérons deux nombres entiers naturels non nulsnetp.

On appellematricedetaille(n;p)(ou matrice ànlignes etpcolonnes) un tableau ànlignes etpcolonnes.

Une telle matrice sera notée :

M =0

BBBBBBBBBBB@a

11a12 a1p

a

21a22 a2p

aij a n1an2 anp1

CCCCCCCCCCCA

a ijdésignant le terme situé sur la ligneiet colonnej.

Ou encoreM =aij

16i6n16j6pou mêmeM =aijs"il n"y a pas d"ambiguïté.L"ensemble des matrices de taille

(n;p)à coefficients réels sera notéMn;p(R) ou encoreMn;p.2 V. Ledda

Calcul matriciel

Exemple 2.

I = a ij=1i+j!

16i;j63=0

BBBBBBB@12

13 14 13 14 15 14 15 16 1

CCCCCCCA

est une matrice de taille (3;3). C"est unematrice carréecarn=p.

Exemple 3.

M

1=15 4

est une matrice de taille (1;3). C"est unematrice lignecarn= 1.

Exemple 4.

M 2=0

BBBBBBBBBBB@2

0 4 31

CCCCCCCCCCCA

est une matrice de taille

(4;1). C"est unematrice colonnecarp= 1.Les matrices lignes et les matrices colonnes peuvent représenter les coordonnées d"un point ou d"un vecteur.

Exemple 5.Le vecteur!AB représenté ci-dessous a pour coordonnées 4 3! .Figure1 - Les matrices comme coordonnées d"un vecteur

Remarque 1.

Deux matricesMetNsont égales si et seulement si elles ont la même taille et les mêmes coefficients.

1.2.2 Matrices particulièresDéfinition 2.

Lamatrice nullede taille(n;p)est la matrice de taille(n;p)pour laquelle tous les éléments sont nuls. On la noteraOn;p.Exemple 6. O 3;2=0

BBBBBBB@0 0

0 0 0 01

CCCCCCCA3 V. Ledda

Calcul matriciel

Définition 3.Soitnetpdeux entiers non nuls et soitietjdeux entiers tels que16i6net16j6p. On

noteEijla matrice dont tous les coefficients sont nuls sauf celui placé à laièmeligne et à lajèmecolonne qui

vaut 1.Exemple 7.DansM2;4. E

2;3= 0 0 0 0

0 0 1 0!

E

1;2= 0 1 0 0

0 0 0 0!

E

2;4= 0 0 0 0

0 0 0 1!

Une matrice carrée est comme nous l"avons vu une matrice qui a autant de lignes que de colonnes. Les

matrices carrées de taillenont la particularité d"avoirncoefficients diagonaux ((aii)i2~1;;n). Latraced"une

matrice carrée est la somme des éléments diagonaux :Définition 4.

SoitM=aij

16i6n16j6nune matrice carrée de taillen, on appelletracede la matrice carréeMle

nombretr(M) =Pni=1aii.Exemple 8. tr0

BBBBBBBBBBB@0

BBBBBBBBBBB@8 9 10 1

1 5 6 8

5 15 3

12491

CCCCCCCCCCCA1

CCCCCCCCCCCA=1

La diagonale joue un rôle particulier dans lesmatrices carrées:Définition 5. Lamatrice identitéde rangnest la matrice diagonale d"ordrenpour laquelle tous les éléments

diagonaux sont égaux à1. On noteraInou encoreIs"il n"y a pas d"ambiguïté possible.Exemple 9.I3=0

BBBBBBB@1 0 0

0 1 0

0 0 11

CCCCCCCAest la matrice identité d"ordre 3.Définition6.

Unematricediagonaleest une matrice carrée dont les éléments situés en dehors de la diagonale

principale sont tous nuls, soit encore une matrice du typeM =aij

16i6n16j6ntelle que :

8i;j2f1;2;:::;ng; i,j)aij= 0

La matrice dont les éléments diagonaux sont(a1;a2;;an)sera notéediag(a1;a2;;an).Exemple 10.M =0

BBBBBBB@1 0 0

0 6 0 0 051 CCCCCCCA= diag(1;6;5) est une matrice diagonale de dimension 3.Définition 7. Unematrice symétriqued"ordrenest une matrice carrée d"ordrenpour laquelle les éléments

symétriques par rapport à la diagonale principale sont égaux, soit encore une matrice du typeM=aij

16i6n16j6n

telle que :8i;j2f1;2;:::;ngon a :aij=aji.Exemple 11.M =0

BBBBBBB@12 3

2 6 4 3 451 CCCCCCCAest une matrice symétrique d"ordre 3.4 V. Ledda

Calcul matriciel

Définition 8.Unematrice triangulaire supérieured"ordrenest une matrice carrée d"ordrendont les

éléments situés en dessous de la diagonale principale sont tous nuls, soit encore une matrice du typeM=aij

16i6n16j6ntelle que :

8i;j2f1;2;:::;ngi > j)aij= 0Exemple 12.M =0

BBBBBBB@12 3

0 6 4 0 051 CCCCCCCAest une matrice triangulaire supérieure d"ordre 3.Définition 9. Unematrice triangulaire inférieured"ordrenest une matrice carrée d"ordrendont les

éléments situés au dessus de la diagonale principale sont tous nuls, soit encore une matrice du typeM=aij

16i6n16j6ntelle que :

8i;j2f1;2;:::;ngi < j)aij= 0Exemple 13.M =0

BBBBBBB@1 0 0

7 6 0 8 051 CCCCCCCAest une matrice triangulaire inférieure d"ordre 3.

Lorsque la matrice n"est pas carrée, les matrices échelonnées sont aux matrices "rectangulaires» ce que les

matrices triangulaires sont aux matrices carrées.Définition 10.On dit qu"unematrice est échelonnéesi :

les lignes non nulles sont placées au-dessus des lignes nulles ; sous le pr emierterme non nul (le pivo t)de chaque ligne non nulle, il n "ya que des 0.

Lorsque tous les pivots sont égaux à 1 et les autres coefficients dans les colonnes des pivots sont nuls , la matrice

est échelonnée et réduite.Exemple 14.Parmi ces matrices une n"est pas échelonnée. 0

BBBBBBBBBBB@4 3 5 3 7

0 5 7 0 5

0 0 0 4 0

0 0 0 0 01

CCCCCCCCCCCA0

BBBBBBBBBBBBBBB@5 6 8 8

4 0 6 0

0 4 5 0

0 0 0 4

0 0 0 21

CCCCCCCCCCCCCCCA0

BBBBBBB@1 0 9 0 1

0 1 4 01

0 0 0 1 11

CCCCCCCA

Seule la dernière est réduite.

2 Opérations sur les matrices

2.1 Introduction

Replaçons nous dans le contexte de l"exemple11. Le cirier a deux usines et la production de celle située à

Betapolis peut être représentée par la matrice B. B= 7 5 4

13 8 6!

Les besoins en huile essentielle pour mille unités sont de 0,7`, pour les lumignons, 4,4`pour les chandelles

et de 8`pour les bougies cubiques.5 V. Ledda

Calcul matricielDe plus, l"huile essentielle de rose utilisée par l"entreprise coûte 400 euros le litre et celle de patchouli

90 euros le litre.

Quel est le coût des huiles essentielles nécessaires à la production annuelle de l"entreprise?

Voici maintenant quelques exemples supplémentaires :

Exemple 15.

Reprendre les calculs précédents en prenant en compte l"augmentation de 10% du prix de l"huile essentielle de rose.

Exemple16.

Un amateur de Patchouli achète 28 bougies. Dans son panier, il y a deux fois plus de lumignons

que de chandelles et le nombre de chandelles augmenté de deux fois le nombre de bougies cubiques est égal

au nombre de lumignons. Quelle est la composition de son panier?

Exemple 17.

Afin de diminuer la circulation automobile, une municipalité organise un système de location

de vélos à partir de deux relais A et B. La municipalité dispose de 200 vélos. Dans les deux relais, les

capacités de parking sont suffisantes pour accueillir l"ensemble des vélos. Chaque jour, tous les vélos doivent

être rendus dans l"un des deux points de location avant la fin de la journée. Après une période de fonctionnement, on a constaté que, chaque jour :

80 % des vélos garés le matin au relais A sont garés en fin de journée au relais A, les autres étant

garés en fin de journée au relais B;

70 % des vélos garés le matin au relais B sont garés en fin de journée au relais B, les autres étant garés

en fin de journée au relais A. Au soir du 31 mai, il y a 100 vélos garés dans chacun des deux relais A et B.

Est-ce que la municipalité devra prévoir de transférer en camion des vélos d"un relais à l"autre?

2.2 L"addition de deux matricesDéfinition 11.ConsidéronsM =aijetN =bijdeux matrices de même taille(n;p).

LasommeM+Nsera une matrice de taille(n;p)définie parM+N =aij+bij;Exemple 18.Si M = 1 2 3

1 5 4!

et N = 25 7

1 0 8!

sont deux matrices de taille

(2;3)que vaut M+N?Proposition 1.La somme matricielle définie précédemment possède les propriétés suivantes :

elle est commutative : 8M;N2 Mn;pon a :M+N = N +M; elle est associative : 8M;N;Q2 Mn;pon a :(M+N)+Q = M+(N +Q); -On;pest élément neutre pour l"addition matricielle :8M2 Mn;pon a :M+On;p= On;p+M = M;

toute matriceM=aij2 Mn;ppossède une matrice opposée qui est notée (M)définie par(M) =aij.Preuve.

Ces propriétés proviennent immédiatement des propriétés de l"addition des nombres réels.cqfd

2.3 La multiplication par un nombre réelDéfinition 12.ConsidéronsM =aij2 Mn;pet2R.

Leproduit de la matriceMpar le nombre réelest la matrice de taille(n;p)que nous noterons:Mou plus simplementMdéfinie par :M =:aij.6 V. Ledda

Calcul matriciel

Exemple 19.Si M = 1 2 3

1 5 4!

et= 3, alors on a :M = 3 6 9

3 15 12!

.Proposition 2.La multiplication par un nombre réel possède les propriétés suivantes : -8;2R,8M2 Mn;pon a :(+):M =(:M)+(:M) -82R,8M;N2 Mn;pon a ::(M+N) =(:M)+(:N) -8;2R,8M2 Mn;pon a ::(M)=():M

-8M2 Mn;pon a :1:M = MPreuve.Ces résultats se démontrent sans difficultés et sont des conséquences des propriétés de l"addition

et de la multiplication des nombres réels.cqfd

Remarque 2.8M2 Mn;pon a : 0:M = On;pet(1):M =M

Remarque 3.Nous dirons que l"ensembleMn;pmuni de l"addition et du produit par un nombre réel

possède unestructure d"espace vectoriel. Toute matrice deMn;ppeut s"écrire comme combinaison linéaire

des matrices Eij.

2.4 La multiplication matricielle

Dans ce paragraphe nous allons étudier la multiplication de deux matrices. Notons tout de suite que cette

multiplication ne sera pas toujours possible et qu"une condition sur les tailles des matrices sera nécessaire.Définition 13.Considérons deux matrices :M =aij2 Mn;petN =bjk2 Mp;q.

Leproduitde la matriceMpar la matriceNsera la matrice deMn;q, notéMNdéfinie par :

MN =(cik)avec :cik=p

X j=1a ij:bjk.Remarque 4. Le nombre de colonnes de la matriceMdoit être égal au nombre de lignes de la matriceN

pour pouvoir effectuer le produit MN. Si cette condition n"est pas satisfaite, le produit matriciel n"est pas

défini.

Exemple 20.Si M =0

BBBBBBB@1 2 3 4

0 2 11

1 4 021

CCCCCCCA2 M3;4et N =0

BBBBBBBBBBB@01

1 0 2 2 321

CCCCCCCCCCCA2 M

4;2Calculer MN.

Remarquons qu"il n"est pas possible d"effectuer le produit de la matrice N par la matrice M.

Exemple21.

OnposeA=

4 5 1 3! etB= 1 3 2 4!

Calculer AB et BA.

Exemple 22.

On pose A =0

BBBBBBBBBBB@1 0 0 0

0 1 0 3

0 0 1 0

0 0 0 11

CCCCCCCCCCCAet B=0

BBBBBBBBBBB@8 9

1 2 3 4 741
CCCCCCCCCCCA. Calculer AB, que remarque-t-on?7 V. Ledda

Calcul matriciel

Exemple 23.Soitnun entier non nul et(i;j)un couple d"entiers distincts tels que16i6net16j6n. Enfin soitaun

nombre réel. On pose L n(i;j;a) = In+aEi;j SoitBunematricepossédantnlignes.Que vaut Ln(i;j;a)B? En pratique, on dispose parfois les calculs de la manière suivante :aquotesdbs_dbs28.pdfusesText_34

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