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Calcul de coût d"algorithme

Concepts :Analyse de coût

Méthodes :Décomposition du coût, ordres de grandeur

Présentation

Le concept decoûtassocié à un algorithmeAformalise la notion intuitive d"efficacitéd"un pro-

gramme, c"est à dire sa capacité à fournir le résultat escompté dans un temps minimal, on parle égale-

ment de performances du programme. Du point de vue pratique, l"analyse du coût permet de déterminer

quelles seront les ressources en temps de calcul, en mémoire et éventuellement en entrées/sorties néces-

saires pour exécuter le calcul associé à l"algorithme.

Pour définir le coût, on se donne unmodèle de machineavec une mémoire que l"on suppose en gé-

néral infinie et munie d"opérations dont le temps d"exécution (coût élémentaire) est constant (ou majoré

par une constante). L"exécution de l"algorithme sur une donnéedest modélisé par une séquence finie

d"opérations de la machine; le coût de l"exécutionC(A;d)sur la donnéedest donc le nombre d"exécu-

tions de chaque opération au cours de l"exécution. Éventuellement on restreindra le nombre d"opérations

étudiées en choisissant celles dont l"interprétation sera la plus intéressante (opération la plus coûteuse).

Comme l"algorithme va être exécuté sur un grand ensemble de données, il est nécessaire de spécifier

l"espace des donnéesDet d"en fournir une description algébrique. Pour analyser le coût d"un algorithme,

on cherche alors à donner des facteurs expliquant le coût en fonction de paramètres de la donnée. En

particulier, on s"intéresse au lien entre lataillede la donnée et le coût de l"algorithme.Co\^{u}t du calcul : $C$

Entier EntierTaille de la donnée : $d$

Espace des donnéesEspace des résultats

Machine (modèle)Algorithmed

CDéfinition 1 (Coût au pire)

Le coût au pire de l"algorithmeAest défini par la fonction den:

Co^utA(n) = maxd2DnC(A;d):

On peut également définir le coût au mieux en fonction denen prenant le minimum des coûts.

Comportement asymptotique

Ce qui est intéressant dans l"analyse du coût est le comportement asymptotique en fonction den

(notion de passage à l"échelle). Pour cela on compare la fonction de coût à des fonctions de référence

appeléesfonctions d"échelle. Typiquement les fonctions puissancexn, exponentielles2nou logarith-

miqueslogk(n)sont des fonctions d"échelle. Pour exprimer la comparaison asymptotique on utilise la

notation de Landau :

Coût d"algorithme

Définition 2 (Borne asymptotique approchée : fonction) Pour une fonction donnéegon note(g)l"ensemble de fonctions : (g) =fftelles que9c1;c2>0;9n0>0;8n>n0;c1:g(n)6f(n)6c2:g(n)g; on écritf= (g)pourf2(g)et on dit quegest une borne asymptotique approchée pourf. Définition 3 (Borne supérieure asymptotique : fonctionO) Pour une fonction donnéegon noteO(g)l"ensemble de fonctions :

O(g) =fftelles que9c>0;9n0>0;8n>n0;f(n)6c:g(n)g;

on écritf=O(g)pourf2 O(g)et on dit quegest une borne supérieure asymptotique pourf. Définition 4 (Borne inférieure asymptotique : fonction

Pour une fonction donnéegon note

(g)l"ensemble de fonctions : Omega(g) =fftelles que9c>0;9n0>0;8n>n0;c:g(n)6f(n)g; on écritf= (g)pourf2 (g)et on dit quegest une borne inférieure asymptotique pourf.

Règles de calcul du coût

Pour calculer le coût d"un algorithme on utilise les règles de composition suivantes : Le coût d"uneitérationest égal à lasommedes coûts de chaque terme de l"itération; Le coût d"uneinstruction conditionnelleestmajorépar lemaximumdes coûts de chacune des branches de l"instruction conditionnelle;

Le coût d"unappel de procédureest égal à lasommedu coût de l"appel (évaluation des paramètres)

et du coût du corps de la procédure.

Lorsque le programme est récursif, on exprime le coût de l"algorithme en fonction du coût des appels

récursifs. On obtient ainsi une équation derécurrencesur la fonction de coût.

Coût en moyenne

Lorsque, pour une taille de donnée fixée, le coût peut prendre plusieurs valeurs entre les bornes coût

maximum et coût minimum. Il est interessant de savoir si, en général, pour une donnée arbitraire on est

plutôt près du coût au mieux ou au pire coût. Pour formaliser le raisonnement, on munit l"espace des

données de taillend"une probabilité (usuellement la loi uniforme) et on calcule la distribution du coût,

c"est à dire on calcule la probabilité que le coût de l"algorithme prenne la valeur1;2;;n;. Comme

il est souvent très difficile de calculer la probabilité de chaque valeur de coût on se contente de sa valeur

moyenne.

Définition 5 (Coût moyen (cas uniforme))

Le coût moyen de l"algorithmeAest défini par la fonction den:

Co^utmoyenA(n)) =1Card(Dn)X

d2DnC(A;d):

Coût d"algorithmes récursifs

algorithme sur des données de taillencomme une fonction du coût de l"exécution du même algorithme

sur des des données de tailles plus petites quen.

La fonction de coût vérifie ainsi une équation derécurrence. On peut classer les équations de récur-

rence en fonction de leur forme (linéaire, de partition, ...) et donner les asymptotiques. On noteraT(n)

le coût de l"algorithme pour une donnée de taillen.Algorithmique version du 19 septembre 20122/ 5

Coût d"algorithme

Équations linéaires simples

T(0) = 0;

T(n) =T(n1) +f(n);pourn>1;

oôfest une fonction (en général positive). En itérant la relation à partir den= 0on obtient facilement :

T(n) =f(0) +f(1) ++f(n) =nX

i=0f(n):

On rappelle que

n X i=11 =n= (n);nX i=1i=n(n+ 1)2 = (n2);nX i=1i

2=n(n+ 1)(2n+ 1)6

= (n3); n X i=1i

3=n2(n+ 1)24

= (n4)et de manière plus généralenX i=1i k=O(nk+1):

Exercice : faire la preuve en comparant

Pn i=1iketRn 1xk

Exemples

Étudier le tri par sélection, le tri par insertion (cf TD) avec cette méthode.

Équations linéaires multiples

T(0) =t0;T(1) =t1T(k1) =tk1;

T(n) =a1T(n1) +a2T(n2) +akT(nk);pourn>k:

Ces équations de récurrence linéaires se développent à partir d"une base de solutions de la forme :

T(n) =pX

i=1m i1X j=0c i;jnjnj;avecf1;2;;pglespracines du polynôme P(x) =xka1xk1a2xk2 a0;de multiplicités respectivesfm1;;mpg Les constantesci;jsont fixées par les conditions initiales. De manière générale simaxest la racine de module maximal et de multiplicitémalors

T(n) =O(nm1jmaxjn):

C"est à dire que la fonction croit de manière très rapide, au moins exponentiellement. Exercice :Calculer la valeur deT(n)pour l"équation de récurrence

T(0) =T(1) = 1;

T(n) =T(n1) +T(n2);pourn>2:

On appelle la suiteT(n), la suite de Fibonacci (Léonardo de Pise mathématicien Italien du XII-XIIIième

siècle).Algorithmique version du 19 septembre 20123/ 5

Coût d"algorithme

Équations de partition

On suppose que la fonction de coût suit l"équation suivante

T(1) = 1;

T(n) =aT(nb

) +c(n);pourn>1; aveca>1,b >1etc(n)une fonction positive den. Attention cette formulation contient déjà une approximation (la fraction nb n"a pas de raison d"être entière)

Ce type d"équation apparaît naturellement lorsque la résolution d"un problème de taillense fait en

résolvantaproblèmes de taillenb . Pour simplifier on suppose quen=bket on notetk=T(bk). On a facilement l"équation de récurrence sur lestken remarquant que t k=atk1+c(bk) at k1=a2tk2+ac(bk1) a

2tk2=a3tk3+a2c(bk2)

a k1t1=akt0+ak1c(b0)t k=akt0+Pk1 i=0aic(bki) En utilisant le fait quet0= 1et queak=nlogba, le résultat se met sous la forme

T(n) =nlogba+log

bn1X i=0a ic(blogbni):

En fonction du problème étudié, soit le premier terme l"emporte "le coût de partition" n"est pas prépon-

dérant, soit c"est le deuxième terme qui l"emporte et toute la complexité du calcul est dans le partition-

nement.Calcul de coût 1. Spécifier les opérateurs de base de v otremodèle de machine (coût constant) ; 2. Décrire l"espace des données et sa se gmentation(définir la taille d"une donnée) ; 3.

Écrire l"e xpressiondu coût à l"aide des règles de composition des coûts élémentaires des

opérateurs de base; 4. Pour une donnée de taille ncalculer le coût maximal (coût au pire) et le coût minimal (coût au mieux) de l"algorithme; 5. Étudier l"ensemble des données conduisant au pire ou au meilleur coût (e xemples); 6. Donner l"ordre de gra ndeurdu coût (a vecles fonctions OouOmega) pour le coût au pire d"une donnée de taillensur une échelle permettant de comparer les algorithmes (classiquement on utilise l"échelle déduite de l"échelle polynomiale, des logarithmes (en base 2) et des exponentielles (puissances de2);Lectures suggérées

Algorithmique, Cormen, Leiserson, Rivest et Stein Dunod 2011 (pour la version française) chapitres

2 et 3faire les exercices du chapitre 3Algorithmique version du 19 septembre 20124/ 5

Coût d"algorithme

Pour les aspects mathématiques discrètes et application au calcul de coût on consultera le livre :

Concrete Mathematics, Second Edition by Ronald L. Graham, Donald E. Knuth, and Oren Patashnik ou sa version française Mathématiques concrètes.

Références

[1] Thomas Cormen,CharlesLeiserson,RonaldRivest,andCliffordStein.Algorithmique-3èmeédition - Cours avec 957 exercices et 158 problèmes. Dunod, 3e édition edition, 6 2010. [2] Ronald Graham, Donald E. Knuth, a ndOren P atashnik.Mathématiques concrètes. International Thomson publishing France, 2e éd edition, 1998. [3]

Robert Sedge wickand K evinW ayne.Algorithms (4th Edition). Addison-Wesley Professional, 2011.Algorithmique version du 19 septembre 20125/ 5

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