[PDF] IUT GEA Rennes I TD Mathématiques 2009–2010 Feuille d

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IUT GEA, Rennes ITD Math´ematiques2009-2010

Feuille d"exercices no 3

Exercice 1Calculer les d´eriv´ees des fonctions suivantes et trouverles max- ima et minima (si elles existent). (a) 8x3/4(b)e⎷ x(c)ex·⎷x (d) 3x-2

2x-3(e)1

⎷2πexp(-x22) (f) ln(ln(x)) (g) ?3(3x)(h)x1 x(i)1x·e-1x

Solution: (a)y?=6

4⎷x(b)y?=12⎷xe⎷

x(c)y?=ex(⎷x+12⎷x) (d) y ?=5 (2x-3)2(e)y?=-x⎷2πexp(-x22) (f)y?=1x·ln(x)(g)y?= 3x+3x·(ln(3))2- d´efinie pourx >0 (h)y?=x(1 x-2)·(1-ln(x)) - d´efinie pourx >0, max en x=e, limx→0+= 0, limx→∞= 1 (i)y?=1 x2·e-1x(1x-1), d´efinie pourx?= 0, lim x→0+= 0, limx→∞= 0 Exercice 2(cet exercice a ´et´e pos´e pendant le cours) Supposons que la fonction Demande estf(x) = 400-2x, o`uxest la quantit´e produite. Cal- culer le revenu total et le revenu marginal en fonction dex. Dessiner les graphes des deux fonctions et les interpr´eter. Solution:RT(x) =x·f(x) = 400x-2x2, une parabole avec racines 0 et 200 et maximumf(100) = 20000.RM(x) = 400-4x, ce qui a une racine en x= 100. Donc si l"on met plus de 100 appareils sur le march´e, lemarch´e devient tellement satur´e que l"op´eration devient en total moins rentable. Au- dela de 200 unit´es, on fait une perte. Exercice 3(cet exercice a ´et´e pos´e pendant le cours) Donnez des exemples d"articles pour lesquels, `a votre avis, l"´elasticit´e dela demande par rapport au prix est assez importante, et d"autres pour lesquels l"´elasticit´e est plutˆot proche de 0. Solution: Je m"imagine que l"elasticite est importante pour les articles de luxe dont on peut se passer (vetements de marque, gadgets electroniques etc) et relativement petite pour des articles de base: pain, vetements simples, etc Exercice 4La fonction de Demande d"un certain bien est f(x) = 18-5x et le coˆut total de production pour le fabricant est

CT(x) =x3-3x2+ 3x+ 1(Est-ce r´ealiste?)

Comment faut-il choisir la quantit´e produitexpour maximiser le profit ? (Indication : Le profit totalPTse calculePT(x) =RT(x)-CT(x), o`u le revenu total est donn´e parRT(x) =x·f(x) - ceci a ´et´e vu en cours.) Solution:PT(x) =-x3-2x2+15x-1. Sa d´eriv´ee, c.a.d. le profit marginal, s"annulle enx=-3 etx= 5/3. La premi`ere n"a pas de sens car n´egative et la deuxi`eme est bien un maximum. Le profit est alors 13,81. REMARQUE: expliquer aussi la facon suivante de le voir: on regarde revenu marginal et le cout marginal, et on regarde o`u ils sont ´egaux (leurs graphes se croisent). D"ailleurs, non, ce n"est pas r´ealiste, on attend plutot que le cout marginal soit decroissant!! Exercice 5Supposons que, pour un certain produit, le nombre d"exemplaires vendus d´epend du prixppar la fonction f(p) = 20000·? 100-p
(a)Calculer l"´elasticit´eEfen fonction dep. (b)Si le prix du produit est initialement fix´e `a 50d, quelle serait, en pour- centage, la diminution des ventes si le prix ´etait augment´e de 2% ? Exercice 6 (a)(cet exercice a ´et´e pos´e pendant le cours) D´eterminez le tableau de variation def: [-2,5,1,5]→R,x?→1

4(x3+ 3x2). Trouvez

´egalement le minimum et le maximum (global) de cette fonction. (b)D´eterminez le tableau de variation de la fonctionf: ]0,+∞[→R, x?→x1 x. Indication : nous avons d´ej`a calcul´e que la d´eriv´ee defest f ?(x) = (1-ln(x))·1 x2·x1x. Attention vous devrez en particulier calculer les limites defquandx→0+et quandx→+∞!

Exercice 7D´eterminez les limites suivantes

(a)limn→+∞un, o`uunest la suiteun= exp?

3n3-5n2+9

-2n2+3? (b)limx→-∞ln? x3-5x+7 -x4-4? (c)limx→0+?x3+ 7 +2x2 (d)limx→+∞3 x2·⎷x4+ 2x3-1(e)limx→+∞ln(x2+1)x (f)limx→0+f(x) et limx→+∞f(x), o`uf(x) =1 x·exp(-1x) Exercice 8Soitunla suite d´efinie par r´ecurrence :u0= 1 etun= 3un-1+2.

Trouvez une formule pourunen fonction den.

Exercice 9Vous prenez un cr´edit de 7500davez un taux de 8%, `a rem- boursementsannuels. Vous gagnez 1200dpar mois et la banque exige un endettement inf´erieur `a 30%. (a)Quel est la dur´ee minimale du cr´edit possible, et quel serale coˆut total du cr´edit dans ce cas ? (b)Quel est le montant des remboursements qu"il faut choisir pour rem- bourser pendant exactement 5 ans ?quotesdbs_dbs1.pdfusesText_1

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