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Quelles sont les matières en PCSI ?
Les matières obligatoires sont les maths (7h de cours, 3h de TD), la physique (5h de cours, 1h de TD, 2h de TP), l'informatique (IPT, 2h par semaine), la matière fran?is-philo (2h) et une langue vivante (2h). L'EPS est en théorie obligatoire (2h par semaine), mais ce n'est pas le cas dans tous les lycées.
Quelle est la différence entre MPSI et PCSI ?
La spécificité de la filière PCSI est de valoriser les compétences expérimentales alors que la filière MPSI développe une approche plus théorique. Les places dans les concours sont dans l'exacte proportion des candidats inscrits dans chaque section.
Quel métier avec une prépa PCSI ?
MPSI - PCSI - MP - PSI - PC
Ingénieur en aéronautique. Ingénieur environnement-transport. Chercheur en laboratoire. Ingénieur chimiste dans l'industrie pharmaceutique.
Pourquoi faire une prépa PCSI ? La classe préparatoire aux grandes écoles (CPGE) PCSI est l'une des cinq grandes filières de première année de classes préparatoires scientifiques accessibles après un bac général.

Classes préparatoires aux grandes écoles

Filière scientifique

Voie Physique, chimie et sciences de

l'ingénieur (PCSI)

Annexe 1

Programme de mathématiques

Classepr paratoirePCSI

Programmedemathmatiques

Prambule2

Objectifsdeformation.... ... ...... ... .. ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ..2 Descriptionetpriseencomptedes comptences ........ ... ...... ... ........ ... ... ..2 Unitdelafor mation scientiÞque... ............... ........ ... ... ... ... ... .. ..3 Architectureetcontenuduprogramme.. ... ...... .. ............... ... ... ... .. ... 4 Organisationdutexte........ ... ...... .. ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... .4

Premiersemestre6

Raisonnementetvocabulaireensembliste..... ... ................. ... ... ... ... .. .6 Complmentsdecalculalgbriqueet detrigonomtr ie....... ........ ... ... ...........8 Nombrescomplexes..... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ..9 Techniquesfondamentalesdecalculdiffrentiel etintgral.......... ... ... .............. 10 A-F onctions dÕunevariablerelleval eursrellesoucomplexes.. ........ ......... ... .10 B-P rimitives etquationsdiffrentielles linaires. ........ ....................... .11 Nombresrelsetsu itesnumriqu es.. ......... ................. ... ... ... ... .. ..12

FonctionsdÕunevariablerelle:limiteset continuit,driv abilit...... ...... ... ... .. ......14

A- Limiteset continuit.. ... ........... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... 14 B- Dri vabilit................. .. ... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ..15 Polynmes....... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... 17 Analyseasymptotique.. ......... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... .19 Espacesvectorielsetapplicat ionslinai res. .............. ..................... ... .20 A-E spacesv ectoriels..... .............. ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ..20 B-E spacesd edimensionÞnie ...... .............. ...... ... ... ... ... ... ... 21 C- Applicati onslinaires......... ........... ... ... ... ... ... ... .. ... ... .22 Matricesetdterminants... ...... .............. ... ... ... ... .. ... ... ... ... .23 A-M atrices etapplicationslinaires..... ... ........... ...... ... ... ... .. ... ..23 B-D termin ants................ .. ... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ..24 Intgration........ ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ..25 Dnombrement.... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... 26 Probabilits......... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... 27 A-P robabi litssurununiversÞni,variables alatoir esetlois... .............. ...... ...27 B- Espr anceetvariance.......... ... ........... ... ... ... ... ... .. ... ... 28 Espacesprhilbertiensrels.. ..... ...... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... .. ..29 Sriesnumriques... ......... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ..30 Fonctionsdedeuxvariables..... ... ...... ........ ... ... ... ... ... ... .. ... ... .31

MathmatiquesPCSI

1/32

Prambule

Lesprogramm esdemathmatiquesdesclassesprparatoiresscientiÞquesM PSI,PCSI, PTSI,MP2I,MP,PC,PS I,PT,

MPIsontconuscomme unsoclec ohrentetambit ieuxdeco nnai ssancesetdecapacits ,aveclÕobjectif dep rparerles

delÕing nierie,delÕenseignement,delarecher che.

Objectifsdeformation

Enclasseprpara toires cientiÞque,lesmathmatiquesconstituentcon jointementunedisciplinescientiÞquepar ten-

desco nnaissancesetdesmthodesncessairesauxautresdisciplinesscientiÞques . Lafor mationestconueenfonction dequatre objectifsessentiels: Ðfournirunsolidebagage deconnais sances,dec onceptsetdemth odes;

solutionrigoureuse ,contrlerlesrsultatsobtenusetvaluerlapertin encedesconcepts etdesrsu ltatsauregard

ÐdvelopperlÕintuition,lÕimagi nation,leraisonnemen tetlarigueur; contre-exemples;dvelopperainsiuneattitudedeq uestionnementetderecherche.

Encontinu itaveclesprogrammesdemathmatiquesduly ce,lespr ogrammesdes classesprparatoiresscientiÞques

dÞnissentuncorpusdeconnaissances etdecapacitsete xplic itent sixgrandescomptences mathmati ques:

la ralit, levalider,lecritiqu er;

oureprsent erunobjetmathmat ique,passe rdÕunmodedereprsentation unautre,changerderegistre;

ouinÞr meruneconjectur e;

Ðcalculer,ut iliserlelangagesymbolique:man ipulerdes expressionscontenantdessy mboles,organiserles

diffrentestapesdÕuncalculcomplexe ,effectuerun calculautomatisablelam aino lÕaidedÕuninstrument

(calculatrice,logiciel...),contrlerles rsultats;

ÐcommuniquerlÕcr itetlÕoral:compr endre lesn oncsmathmatiques critspar dÕautres,rdigerune

solutionrigoureuse,prsenter etdfendreuntravailmathmatique.

Chercher

Cettecomptencev isedvelopperlesattitudesdequestionnementet derecher che,au traversderellesactivits

mathmatiques,prenantplaceausein ouendehorsdelaclasse.Lesdiffr entstemp sdÕe nseignement(c ours,trav aux

dirigs,heuresdÕin terrogat ion)doiventprivilgierladcouverteetlÕexploitationdeproblmatiques,larßexionsur

enseignementuncoursdogmatique :aÞn dedvelopperl escapacitsdÕau tonomiedestudiants,il doitles amener

sep ose reux-mmesdesquestions,prendreen compteun epr oblmatiquemathmatique,u tiliser desoutils

logiciels,etsÕappuyersurlar echerc heetl Õexploitation,individuelleou enquipe,d edocum ents.

Lestrava uxpropossauxtudiantsendehor sdestempsdÕenseignementdoi vent combinerlarsolutiondÕexercices

dÕentra"nementrelevantdetechniq uesbienrpertoriesetl Õtudedeq uestionspluscomplexes.Posessousformede

largeventai ldeconnaissancesetdecapacits.

Modliser

Lepr ogrammeprsentedesnotions ,mthodesetoutils mathmat iquespermettantdemodliserlÕtate tlÕvolution

quienat faitparla mcanique ,laphysique, lac himie,les sciencesde lÕingnieur.Cesinterp rtation sviennent

Lamodlisa tioncontribueain sidefaonessentiellelÕunitdela formationscientiÞqueetvalide lesappr oches

MathmatiquesPCSI

2/32

entrelesdiffren tschamps deconnaissancescientiÞque(mathmatiqu esetphysique ,math matiquesetchimie,

mathmatiquesetsciencesindu striel les,mathmatiquesetinfor matique).

Reprsenter

Unobjetmathmat ique seprteengnraldesreprsentationsissuesdediff ren tscadresou regi stres:algbriq ue,

gomtrique,graphique,numrique .laborerunereprsentation,changer decadre,traduiredesinformationsdans

plusieursregistr essontdescomposantesdecet tecomptence .Ainsi,enanalyse, leconceptdefonctionsÕapprhende

arbre,untableau,desen sembles.Lerec oursrgulie r desÞguresoudes croq uispermetdedvelopperun evision

gomtriquedesobjetsabstrai tset favorisedefructueu xtransfertsdÕintuition .

Raisonner,argumenter

auxtu diantsdesuivreetdÕva luerl Õencha"nementdesargumentsqu ilacomp osent;lapratiquedeladmonstration

leurapprend creretexprimer eux-mmesdet els arguments.LÕi nt rtdelaconstructiondÕunobjetmathma tique

rinvestirdesconceptsetdesrsultatst horiques . Calculer,manipulerdessymboles,ma"tri serleformalismemathmatique

Lecalculet laman ipu lationdessym bolessontomniprsentsdanslespratiquesmath matiques .Ilsensontdes

composantesessentielles,inspar ablesdesraisonnementsq uilesguidentouquÕ ensensi nverseilsoutillent.

MenerefÞcacementun calculsimplefaitpar tie descomp tencesattenduesdestudi ants.Enrevanch e,lessituations

Lama" trisedesmthodesdecalculÞgurant auprog rammencessit eaussila connaissancedeleurcadredÕapplication ,

lÕanticipationetlecontrle desrsultat squÕellespermet tentdÕobtenir.

CommuniquerlÕc rite tlÕoral

Laphase demiseaupoin tdÕu nraison nementet derdactiondÕunesol utionpermetdedvelopperl escapacits

dÕexpression.Laqualitdelardactionetdelaprsentation,l acl artetlap rc isiond esraisonnements, constitu entdes

etchac undesestudiants,en trelestudiant seu x-mmes,doitgalementcontribuerdv elopperdescapacits

decommu nication(couteetexpressionorale)traversl aformulationdÕuneq uestion,dÕu nerponse ,dÕuneide,

groupespropossauxtudiants endehorsdutem psdÕenseign ement,auly ceou lamaison,(interrogation sorales,

devoirslibres,compt esrendusdetr avauxdiri gsoudÕinterrogationsorales) contr ibuentfortementdv eloppercette

comptence.Lacommunic ationutilisedesmoy ensdiversiÞs:lestudiantsdoivent trecapablesdep rse nterun

travailclairetsoign,lÕcritou lÕor al,au tableauoul Õaid edÕundispositifde proj ection.

LÕintgrationdescomptenceslafor mationdestudiantspermet chacundÕeuxdegrer sespr opresa pprentissages

serecouv rentlargementetilimportedelescon sidrerglobaleme nt: leuracquisitiondo itsefaire dansl ec adrede

situationssufÞsammentrichespou rncessiterlamobilisationdeplu sieursdÕentr eelles.

Unitdelafor mation scientiÞque

Ilestimportant de mettreenvaleurlÕint eractionent relesdiffrentes partiesdu programme,tantaun iveauducours

danscedomained uprogramme; lespr obabilitsutilisentle vocabulaireensemblisteetillust rentcerta insrsultats

dÕanalyse.

Lacoopration desenseignantsd Õune mmeclasseoudÕunemmedisciplineet,p luslargement,celle delÕensemb le

desensei gnantsdÕuncursusdonn,doitcont ribuerdefaonefÞcaceet cohrentelaqual itdecesi nteractions.

Ilimportea ussiquelecontenucu lturelethistoriq uedesmathmatiqu esnesoit passacriÞaupr oÞtdelaseule

technicit.Enparticulier,ilpeutsÕavrerpertinentd ÕanalyserlÕinter actionentreuncontextehistor iquee tsoci aldonn,

uneproblma tiquespciÞqueetlaconstruction,pourlarsoudre, dÕoutilsmathmatiq ues.

MathmatiquesPCSI

3/32

Architectureetcontenuduprogramm e

probabilitssontintroduitesausecondsemestr e.Sila gomtrienÕappara"tpascommeunchampautonome,son

importancedanslareprsen tationdesobjet sduprogramme nesauraittresous-estime.Ains i,le programme

euclidiens,lesfonctionsdÕunevar iablerelle .Lesnotionsde gomtrieafÞneeteuclidiennet udiesaulyceson t

reprisesdansuncadreplus gnral.

LÕtudedechaquedomainepe rmetde dvelopperdesaptitudesaur aisonnementet lamodlisationetdÕtablir des

liensaveclesautres disciplines.

linaire,pourlaquelleunquilibre est ralisentrelespoint sdevuegomtri queetnumrique.Ilimpor tedesouligner

Lepr ogrammedÕanalyseestcentrautourd esconceptsfondamentauxdefonctionet desui te.Lesin teractionsen tre

etquan titatifs,ildveloppeconjointement lÕt udeducomportementglobalde suiteoudefonctionaveccellede

leurcomporte mentlocalouasymptotique.Ëcetitre,lesmthodesd elÕanalyseasymptotiquef ontlÕob jetdÕune

sectionspciÞque,qui estexploitultrieurement danslÕtudedes sries .PourlÕtudedessolutions desquations,le

LÕenseignementdesprobabilitsseplacedansle cadre desuniversÞnis.Ilav ocation inter agiravecle restedu

programme.Lanotiondevariablealatoirepe rmetd Õaborderdessit uat ionsrellesncessitant unemodlisation

probabiliste.LÕaccentmissurcettenotion permetdetra vailler rapidementavecdes vnemen tsconstr uitsentermes

devar iablesalatoires.

desfonctions ,calculdeprimitives ,rsolution dec ertainstypesdÕquationsdiffrentielles).Les thoriessou s-jacen tes

sonttudies ultrieurement, cequidoitenfaciliterlÕassimilation.

exemplessimples, uncertainn ombrede mthodesdecalcul,maisaussiconna"tre leurcadredÕapplic ationetla forme

desrsult atsquÕellespermettentd Õobtenir.

Encohren ceaveclÕintroductiondÕun enseignementd Õalgorithmiqueaulyce,leprogrammeencour ageladmarche

algorithmiqueetlerecours lÕ outilinfo rmatique(calculatrices,logiciels).IlidentiÞeun cert ainnombredÕalgorithmes

quidoivent treconnusetpratiq usparlestudi ants.Ceux-cidoiventgalementsav oirutilis erlesfonctionnalits

graphiquesdescalculatri ceset deslogiciels.

Levol umeglobalduprogrammeat conupou rlibrer destempsddisunemi se enac tiviteffective destudiant s,

quelquesoi tlecontextepr opos(cours,tr avaux dirigs).

Organisationdutexte

Leprogr ammedÞnitlesobjectifsdelÕenseign ementetdcritl esconnaissan cesetlescapacitsexigibles des tudiants;

ilprciseaussi cert ainspoin tsdeterminologieetcer tainesnotations .Il Þxeclairementleslimites respecter tantau

niveaudelÕenseignement quedes preuvesdÕvaluation,ycomprisparlesop rateursdec oncours .

ËlÕ intrieurdechaquesemestre,leprogr ammee stdclinen sections.Chaquesectioncomporteunbande audÞ -

nissantlesobjectifsessentiel setdli mitantlecadredÕtudedes notionsquiluisontrela tiveset untexteprsenten

deuxcol onnes:gaucheÞgurent lescontenus dupr ogramme(connaissancesetmth odes);droiteuncommentaire

indiquelescapa citsexigi blesdestudiants,prcisequelqu esnotationsainsiqueles ensoules limitesdonner

certainesquestions.Ël Õintrieurdechaquesemestr e,le professeurconduitentoutelibert,dansle respect dela

cohrencedelaformationglobale, lÕorg anisationdeso nenseignementetlechoixdesesmthodes. Enparti culier,

lachr onologieretenuedanslaprsentationdesdiff rentessectionsdechaquesemestrenedoitpastr einterprte

objectifsdelÕenseignemen tdi spensaucoursdecettepriode.Cesobjectifssont dtaillsdanslebandeauquis uitle

titreÇPremiersemestreÈ.

Parmilesconnaissances(dÞn itions,notation s,noncs,dmonstrat ions,mthodes, algorithmes...)etlescapacitsde

mobilisationdecesconnaissan ces,le textedu programmedlimitetroiscatgories:

Ðcellesquisont exigiblesdes tudiants :ilsÕagitdelÕensembledes po intsÞgurantdanslacolonnedegauched es

diffrentessections;

MathmatiquesPCSI

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Ðcellesquisont indiquesdanslesban deauxoud anslacolonne dedroitecomm etant Çhorspro gramme È.Elles

nedoiven tpastretraitesetnepeuvent fairelÕ objetdÕaucunepreuv edÕvaluatio n;

particulierdesactivitspro poses pourillustrerlesdiffrentesnotions duprogramme.

droiteparlalocutionÇdmonstration nonexigibleÈ,leprofesseur estlib re dÕapprcie r,selonlecas,sÕ ilestsouhaita ble

dedmontr erendtaillersultatconsidr,d Õindiq uerse ulementl Õidedesadmonstr ation,oud elÕadmettre.

AÞnde faciliterl Õorganisationdutravailde studiantsetdemontrerlÕintrtdesnotionstudies ,ilcon vientdÕen

aborderlÕenseignementen coordinationavecles autr esdisciplinesscientiÞques.

MathmatiquesPCSI

5/32

Premiersemestre

Lepr emiersemestrevisedeuxobject ifsmajeurs.

¥Amnagerunpassag eprogressi fdelaclassedetermina lelÕenseignementsuprieur,encommen antpar

renforceretapprofondirlesconn aissancesdes bacheliers.Ëcetitre ,troissection sjouentunrlepar ticuli er.

ÐLasecti onÇRaisonnementetvoc abulaire ensemblisteÈregroup edesn otionsdontlaplupartontt misesen

placeaulyc e.I lsÕagitdelesconsolideretdele sstructureraÞn quÕellessoien tma"trises parles tudiantsla

Þndup remier semestre.CettesectionnÕ apasvocationt reenseignedÕun seultenantnientoutdbutde

semestre.

ÐLessections ÇComplmentsdecalculalgbriqueet detr igonomtrieÈetÇ Techniquesfo ndame ntalesdecalcu l

ce stade,mais dmontrsplusloind ansleprogramme. Cetteprsentationendeux temps, destinef aciliter

lesappr entissages,peuttremoduleparleprofesseur.

¥Susciterlacuriosit et lÕintrtdestudiantsenleurprsent antunspect resufÞsammentlargedeproblma tiques

etde champsnouv eaux.

ÐLasec tionÇNombr escomplexesÈ permetlÕtudealgbriqueetgomtrique dec esnombr es.Elleab ordedes

ÐLessection sÇNombresrelsetsuitesnumriques ÈetÇ Limites,continuit ,drivabilit Èf ondentl Õanalyse

rellesurdesb asessolides.

ÐParlespossibilits quÕelleoffre decombinerbeau coupdÕidesetdet echniquestudiesaucours dupremier

semestre,lasectionÇPolyn mes Èconst itu eunobjetdÕtudepertinentpourlaÞndusemestre.

ma"triserapide destechniquesdecalculestunimpr atif,notammenten vuedelÕenseignementdeph ysique-ch imie.

Lesensemblesde nombresusuelsN,Z,Q,Rsontsuppossconn us. Touteconstructionesthors programme.

Raisonnementetvocabulairee nsembliste

Cettesectionregroupe lesdiffrents pointsdevocabulaire,notations ,outilsetr aisonnementsncessairesauxtudi ants

pourlaconcept ionetlardaction efÞcacedÕuned monstration math matique.Cesnotionsdoiv enttreintroduitesde

Leprogr ammeselimitestrictement auxnoti onsdebaseÞguran tci-dessous.Toutetudesystmati quedelalogiqu e,dela

thoriedesensembles oudelÕari thmtiqueesthorspr ogramme.

CONTENUSCAPACITS&COMMENTAIRES

a)Rudiment sdelogique QuantiÞcateurs.LÕemploidequantiÞcateurseng uised Õabrviationest exclu.

Implication,contraposition,quivalence .Lestudiants doiventsavoirformulerlangationd Õune

proposition.

Modesderaisonnement :pardisj onctiondescas,par

prciserles notionsdecondition ncessaireetcondi tion sufÞsante. Raisonnementparrcurrence(simple ,double,f orte).Touteconstructionettou teaxiomatiquedeNsonthors programme. b)Ensem bles

Ensemble,appartenance.Ensem blevide.

Inclusion.Partie(ousous-en semble).

Oprationssurlespartie sdÕ unensembl e:runion,inter- section,diffrence,compl mentaire.

NotationA\Bpourladi ffr enceetE\A,AetA

c pourle complmentaire. ProduitcartsiendÕun nombreÞnidÕensembles .

EnsembledespartiesdÕ unensemble .NotationP(E).

Recouvrementdisjoint,partition.

MathmatiquesPCSI

6/32

CONTENUSCAPACITS&COMMENTAIRES

c)Ensem blesdenombresusuels Entiersnaturels,entiersr elatifs,divisibi litdansZ,divi- seurs,multiples. PGCDdedeuxen tiersrelat ifsdontlÕu naumoinsestnon nul. LePGCDdeaetbestdÞnic ommetant leplus grand lment(pourlÕordrenatu reldansZ)del Õensemble des diviseurscommunsaetb. PPCM.

AlgorithmedÕEuclide.

Nombrepremier.

LÕensembledesno mbres premiersestinÞni.

Existenceetunici tde ladcompositiondÕunentierna- turelnonnulenprodu itde nombre spremiers .

Ladmonstrationest horsprogramme.

ApplicationaucalculduPGCDetduPPCM.

Nombresdcimaux,rationnels,r els,i rrationnels.Laconstruc tiondesensemblesdenombresusuels,en particuliercelledeR,est hors programme. d)A pplications

ApplicationdÕunensembledansu nensemble.

GraphedÕuneapplication.

Lepointdevue estintu itif:u neapplication deEdansF associetoutlmen tdeEununiq uelmentdeF.

Leprogramm enedistinguepaslesnotionsdefonction

etdÕap plication.

NotationsF(E,F)et F

FamilledÕlmentsdÕun ensemble.

FonctionindicatricedÕunepar tiedÕunensemble.Notation1 A

Restrictionetprolongement.N otationf|

Imagedirecte .Notationf(A).

Imagerciproque. Notationf

1 (B).Cet tenotationpouvantpr terconfu- sion,onp eutpr ovisoirementenutiliser uneautre.

Composition.

Injection,surjection.Composededeuxinjecti ons,de deuxsurjections . Bijection,rciproque.C omposededeuxbijections,rci- proquedelacompose.

Notationf

1 .Comp atibilitdecettenotationavecc elle delÕimag erciproque .

MathmatiquesPCSI

7/32 Complmentsdecalculalgbriqueetd etr igonomtrie Ðcalculsdesommesetdeprodui ts,dont laformul edubin me; ÐmanipulationdÕingalitsetrsolut iondÕinquations; Ðutilisationducercletrigonomt rique,mani pulationdeslignesetfonctionstri gonomtriques.

CONTENUSCAPACITS&COMMENTAIRES

a)Sommese tproduits SommeetproduitdÕune famille Þniedenombresrels. Notations i"I a i n i=1 a i i"I a i n i=1 a i .C asoIestvide . Sommesetproduits tlescopiques ,exemplesdechange- mentsdÕindicesetde regroupement sdeter mes. Danslapratiqu e,ones tlibredeprsenterlescalculsavec despo intsdesuspension.

ExpressionssimpliÞesde

n k=1 k, n k=1 k 2 n k=0 x k

Factorisationdea

n b n para b. Sommesdoubles.Produitde deuxsommesÞnies.Exemp lesdesommestriangul air es. Rappelssurlafact orielle ,lescoefÞcient sbinomiaux.

FormuledubinmedansR.

Convention

n k =0pour k<0etk>n. tionsdeuxoutrois inconnu es. Interprtationgomtrique:intersectiondedr oites dansR 2 ,deplan sdans R 3 Algorithmedupiv otetmiseen videncedesoprations

lmentaires.

NotationsL

i #L j ,L i $ L i ( %=0),L i $L i + L j c)Inga lits RelationdÕordre surR.Compat ibilitaveclesoprations .

IntervallesdeR.

Exemplesdemajoration etdem inorationdesommes,de

produitsetdequotients.Utilisation defact orisati onset detable auxdesignes.RsolutiondÕinquations.

Valeurabsolue.I ngalittriangulaire.Interprtationsurladroiterelled Õingalit sdutyp e

|x a|&b. DansR,parties majores,minores,b ornes.

Majorant,minorant;maximum,minimum.

d)Tr igonomtrie Cercletrigonomtriqu e.Paramtrisationparcosinuset sinus. Relationdecong ruencemodulo 2"surR.Not ationa)b[2"].

Cosinusetsi nus de"±x,de

±x.

Cosinusetsi nus desanglesusuels.

Lestudi antsdoiventsavoirretrouvercesrsultatset rsoudredesquations etinquationstrig onomtriques simplesens Õai dantducercletrigonomtrique. FormulesdÕadditioncos(a±b),sin(a±b).Cas particulier desfor mulesdeduplication:cos(2a),sin(2a). Onprsente unejustiÞcationgomtriquedel Õunede cesfo rmules.Lestudiantsdoivent savoir retrouverrapi- dementlesfor mules donnantcos(a)cos(b),cos(a)sin(b), sin(a)sin(b). Fonctionscirculairescosinusetsinu s.OnjustiÞeles formulesdonnan tlesfonctionsdr ivesde sinusetc osi nusvuesenclassedeterminale.

Pourx"R,in galit|sin(x)|&|x|.

Fonctiontangente.Notationtan.D rive,variations,reprsent ationgra- phique. Tangentede"±x.Tan gentedesanglesusuels.In terprt ationsur lecercletrigonomtrique.

FormuledÕadditiontan(a±b).

MathmatiquesPCSI

8/32

Nombrescomplexes

LÕobjectifdecettesection,que lÕonillustrer apardenombreuses Þgures,estdedonner unesolidepratique desnombres

complexes,traverslesaspects suivants : ÐlÕtudealgbriquedel ÕensembleCetla notiond Õquationalgbrique;

ÐlÕinterprtationgomtriquedesnombrescomple xesetlÕutili sationdesnombrescomplexes engomtrieplane ;

ÐlÕexponentiellecomplexeetsesapplications latrigonomtrie.

CONTENUSCAPACITS&COMMENTAIRES

a)Nombre scomplexes Partiesrelleetimaginair e.Laconstructionde Cesthorspr og ramme.

Oprationssurlesnombrescomplexes .

n k=0 x k ,dela factor isation dea n b n ,del aformule dubinme. Pointduplanassoci unnombrecomplexe, afÞxed Õun point,afÞxed Õunvecteur . normdirect(Ç plancomplexeÈ). b)Co njugaisonetmodule Conjugaison,compatibi litaveclesoprations.Imageduconjugudansleplancompl exe.

Module.Interprtationgomtriquede|z z

|,ce rclesetdisques.

Relation|z|

2 =zz,module dÕunprod uit,dÕunquotient. Ingalittriangulaire, casdÕgalit. c)Nombres complexesdemodule1ettr igonomtrie IdentiÞcationducercletrigon omtrique etdelÕensemble desnombres complexesdemodule1. DÞnition dee it pourt"R.

NotationU.

ExponentielledÕunesomme.

FormulesdÕEuler.Te chniquedelÕanglemoiti:factor isa- tionde1±e itquotesdbs_dbs43.pdfusesText_43

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Classes préparatoires aux grandes écoles

Filière scientifique

Voie Physique, chimie et sciences de

Annexe 1

Programme de mathématiques

Classepr paratoirePCSI

Programmedemathmatiques

Prambule2

Premiersemestre6

MathmatiquesPCSI

Prambule

Objectifsdeformation

la ralit, levalider,lecritiqu er;

Chercher

Modliser

MathmatiquesPCSI

Reprsenter

Raisonner,argumenter

CommuniquerlÕc rite tlÕoral

Unitdelafor mation scientiÞque

MathmatiquesPCSI

Architectureetcontenuduprogramm e

Organisationdutexte

MathmatiquesPCSI

MathmatiquesPCSI

Premiersemestre

Lepr emiersemestrevisedeuxobject ifsmajeurs.

Raisonnementetvocabulairee nsembliste

CONTENUSCAPACITS&COMMENTAIRES

Modesderaisonnement :pardisj onctiondescas,par

Ensemble,appartenance.Ensem blevide.

Inclusion.Partie(ousous-en semble).

NotationA\Bpourladi ffr enceetE\A,AetA

EnsembledespartiesdÕ unensemble .NotationP(E).

Recouvrementdisjoint,partition.

MathmatiquesPCSI

CONTENUSCAPACITS&COMMENTAIRES

AlgorithmedÕEuclide.

Nombrepremier.

LÕensembledesno mbres premiersestinÞni.

Ladmonstrationest horsprogramme.

ApplicationaucalculduPGCDetduPPCM.

ApplicationdÕunensembledansu nensemble.

GraphedÕuneapplication.

Leprogramm enedistinguepaslesnotionsdefonction

NotationsF(E,F)et F

FamilledÕlmentsdÕun ensemble.

Restrictionetprolongement.N otationf|

Imagedirecte .Notationf(A).

Imagerciproque. Notationf

Composition.

Notationf

MathmatiquesPCSI

CONTENUSCAPACITS&COMMENTAIRES

ExpressionssimpliÞesde

Factorisationdea

FormuledubinmedansR.

Convention

lmentaires.

NotationsL

IntervallesdeR.

Exemplesdemajoration etdem inorationdesommes,de

Majorant,minorant;maximum,minimum.

Cosinusetsi nus de"±x,de

±x.

Cosinusetsi nus desanglesusuels.

Pourx"R,in galit|sin(x)|&|x|.

FormuledÕadditiontan(a±b).

MathmatiquesPCSI

Nombrescomplexes

CONTENUSCAPACITS&COMMENTAIRES

Oprationssurlesnombrescomplexes .

Module.Interprtationgomtriquede|z z

Relation|z|

NotationU.

ExponentielledÕunesomme.

Classepr paratoirePCSI

Programmedemathmatiques

Prambule2

MathmatiquesPCSI

Prambule

la ralit, levalider,lecritiqu er;

Modliser

MathmatiquesPCSI

Reprsenter

CommuniquerlÕc rite tlÕoral

Unitdelafor mation scientiÞque

MathmatiquesPCSI

MathmatiquesPCSI

MathmatiquesPCSI

CONTENUSCAPACITS&COMMENTAIRES

NotationA\Bpourladi ffr enceetE\A,AetA

MathmatiquesPCSI

CONTENUSCAPACITS&COMMENTAIRES

Ladmonstrationest horsprogramme.

FamilledÕlmentsdÕun ensemble.

Imagerciproque. Notationf

MathmatiquesPCSI

CONTENUSCAPACITS&COMMENTAIRES

ExpressionssimpliÞesde

FormuledubinmedansR.

lmentaires.

Pourx"R,in galit|sin(x)|&|x|.

MathmatiquesPCSI

CONTENUSCAPACITS&COMMENTAIRES

Oprationssurlesnombrescomplexes .

Module.Interprtationgomtriquede|z z