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Mathématiques

Option Technologique

Mercredi 15 avril 2020 de 8h00 à 12h00

Durée

: 4 heures

Candidats bénéficiant de la mesure "

Tiers-temps

8h00 - 13h20

L'énoncé comporte 6 pages. CONCOURS D'ADMISSION 2020

Tournez la page s.v.p.

Tous les feuillets doivent être identifiables et paginés par le candidat.

Aucun document n'est permis, aucun instrument de calcul n'est autorisé.Conformément au règlement du concours, l"usage d"appareils communiquants ou connectés est formellement interdit durant l"épreuve.

Les candidats sont invités à soigner la présentation de leur copie, à mettre en évidence les principaux résultats, à respecter les notations de

l"énoncé et à donner des démonstrations complètes - mais brèves - de leurs afrmations.

Si, au cours de l"épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d"énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en

expliquant les raisons des initiatives qu"il est amené à prendre.

Ce document est la propriété d"ECRICOME, le candidat est autorisé à le conserver à l"issue de l"épreuve.

Le concours ECRICOME PRÉPA est une marque déposée. Toute reproduction du sujet est interdite. Copyright ©ECRICOME - Tous droits réservés

VoieT -Sujet 20.1

VoieT-Sujet 1

EXERCICE1

PartieA

On consid`erelasuite(u

n n?N d´efiniepar: u 0 =0,u 1 =1,et?n?N ,u n+1 =7u n +8u n-1

1. Recopiere tcompl ´eterlestroislignesincompl`etes duscript Scilabci-dess ousp ourqu"ilcalculeu

n pournentiernat urelent r´eparl"utilisateur: n=input("Entrern :" )

2. Montrerquelasuite( s

n n?N d´efiniepars n =u n+1 +u n est unes uiteg´eom´ etriquederaison8.

En d´eduirel"expression des

n en fonctionde n.

3. Onp osepourto utentiernaturel n:

v n =(-1) n u n ett n =v n -v n+1 (a)Expr imert n en fonctionde s n pourtout entier natureln. (b) End ´eduirequepourtout n?0,onat n =(-8) n

4. Soitnun entiernaturel nonnul.

(a)Ca lculerlasomme n-1 i=0 (-8) i (b) Justifierque : n-1 i=0 (v i -v i+1 )=-v n (c) End ´eduirel"expressionde v n en fonctionde n, puisv ´erifierque: ?n?N,u n =(-1) n+1 +8 n 9. 1/6 - 2 -

VoieT -Sujet 20.1

PartieB

On consid`erelesmatrices carr´ees d"ordre3suivantes : M=( (233 323
332)
etI=(( 100
010 001)

1. Montrerquelepo lynˆo meQ(X)=X

2 -7X-8 estun polynˆ omeannulateurdeM.

2. End ´eduirequeMest inversibleete xprimerM

1 en fonctionde Met deI.

3.(a)Onp os e:a

0 = 0et b 0 = 1.V´ erifierque:M 0 =a 0 M+b 0 I. (b) D´eterminerdeuxr´eelsa 1 etb 1 tels que: M 1 =a 1 M+b 1 I. (c) Soitn?N. Onsuppose qu"ilexistedeuxr ´ee lsa n etb n tels que: M n =a n M+b n

I. Prouver

alorsque : M n+1 =a n (7

M+8I)+b

n M

En d´eduiredeuxr´ eels a

n+1 etb n+1 en fonctionde a n etb n tels queM n+1 =a n+1 M+b n+1 I. (d) Montrerparr´ec urrenc eque: n?N,a n =u n o `u( u n ) estla suited ´efinie danslaPartieA.

PartieC

SoientXetYdeux variablesal´ea toirespourlesquellesonsuppose quelaloi ducouple (X,Y) estdonn´ ee

par let ableausuivan t: XY 1

β3β3β

2β2β3β

3β3β2β

1. D´eterminerlavaleurdur´e elβpourque cet ableaurepr ´esente effectivementlaloidu couple(X,Y).

2. Reconnaˆıtrelesloismargina les deXetY. End ´eduirelesesp´ era ncesE(X) etE(Y).

3.(a)V´ erifierquelacov aria ncede XetYest donn´eepar:

Cov(X,Y)=-1

(b) Lesv ariablesal´eatoires XetYsont-ellesind ´ependantes? 2/6 - 3 -

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VoieT -Sujet 20.1

EXERCICE2

PartieA

1. Justifierque l"´ equationx

2 +x+ 1= 0, d"inconnue r´eellex, n"admeta ucunesolution. On consid`erealorslafonction fd´efiniesurRpar : ?x?R,f(x)=x 1+ x+x 2

On note(C

f ) laco urberepr´esen tativedef.

2. D´eterminerleslimitesdefen +∞et en-∞.

3. Dresser,en lejustifia nt, letableaudevariatio nsde f.

On remarqueraenparticulierque fest croissantesurl"in tervalle [-1,1].

4.(a)D´ eterminerune´equatio nde latangente(T) `alacour be (C

f ) aup ointd"abscisse0.quotesdbs_dbs1.pdfusesText_1

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