[PDF] Mathématiques 16‏/04‏/2018 9. ANNALES

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Mathématiques

Option Technologique

Lundi 16 avril 2018 de 8h00 à 12h00

Durée

: 4 heures

Candidats bénékciant de la mesure "

Tiers-temps

8h00 - 13h20

L"énoncé comporte 4 pages. CONCOURS D"ADMISSION 2018

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3

CONSIGNES

Aucun document n"est permis, aucun instrument de calcul n"est autorisé.

Conformément au règlement du concours, l"usage d"appareils communiquants ou connectés est formellement interdit durant l"épreuve.Les candidats sont invités à soigner la présentation de leur copie, à mettre en évidence les principaux résultats, à respecter les notations de

l"énoncé et à donner des démonstrations complètes - mais brèves - de leurs afrmations.

Si, au cours de l"épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d"énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en

expliquant les raisons des initiatives qu"il est amené à prendre.

Ce document est la propriété d"ECRICOME, le candidat est autorisé à le conserver à l"issue de l"épreuve.

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Le concours ECRICOME PRÉPA est une marque déposée. Toute reproduction du sujet est interdite. Copyright ©ECRICOME - Tous droits réservés

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n - 5 - 2018

VOIE ECONOMIQUE ET

COMMERCIALE

VOIE

TECHNOLOGIQUE

*'00(45 ,1/3),1/(-.)6!

ESPRITDELÕ

EPREUVE

¥V"eriÞerchezlescandidatsl Õexistenced esbasesn"e cessairespourdes"etude ssup"erieuresdemanagement.

¥Appr"ecierlÕaptitude`alireet comprendreun"enonc"e,choisiru noutilad apt"eetlÕappl iquer( th"eor`eme).

¥Appr"ecierlebonsensdescandidat setla rigueur duraisonnement . SUJET ¥Troisexercic esind"ependantsportantsurlest roisdomainesduprogramme.

EVALUATION

¥Exercicesdevaleursensibleme nt"egal e.

EPREUVE

Aucundocument etinstrumentdecalculnÕe stauto ris"e. Lescand idatssontinvit"es`asoign erlapr"es entationdeleurcopie,`amett reen"e videncelesprin cipaux r"esultats,`arespecterlesnotation sdelÕ" enonc"e,et`adonnerdesd"emonst rationscompl `etes(mais br`eves)deleursa rmations.

ANNALESDUCONCOURSECRIC OMEPRE PA2018

EPREUVEMATHEMATIQUESOPT IONTECHNOLOGIQUE-PAGE2

Þnscommercialess ansunaccordpr" ealabledÕECRICOME .

CORRIG

E

EXERCICE1

1.Lesvect eursV

1 ,V 2 ,V 3 sontnonnuls etv"er iÞent: MV 1 =V 1 ,MV 2 =6V 2 ,MV 3 =!2V 3

Cesontb iendesvec teurspropres ,V

1 estassoci "e`alavaleurpropre1,V 2 estassoci "e`alavaleurpropre6, V 3 estassoci "e`alavaleurpropre!2. 2.M"M 3 (R)et admett roisvaleursprop resdistinct es,doncMestdiagonali sable.Enposant P= 1!1!1 1!10 01!1 ,la matrice Pestinvers ibleetonaM=PDP !1 ,aut rementditMP=PD.

3.(a)P

2 0!10 00!1 1!21 ,P 3 !110 0!11 !12!2 .On obtient P 3 +P 2 +I 3 =0,d oncX 3 +X 2 +1 (b)Onen d"eduitque, !P 3 !P 2 =I 3 =#P(!P 2 !P)=I 3 ,don cPestinver sibleet: P !1 =!P 2 !P= !121 !111 !110

4.(a)Y

2 =(P !1 XP)(P !1 XP)=P !1 X(PP !1 )XP=P !1 X 2 P. (b) X 2 !4X+I=M$#P !1 (X 2 !4X+I)P=P !1 MP $#(P !1 X 2

P)!4(P

!1

XP)+(P

!1 P)=(P !1 MP) $#Y 2 !4Y+I 3 =D

5.(a)SoitY=

a00 0b0 00c unematrice diagonale.AlorsY 2 a 2 00 0b 2 0 00c 2 .Ona: Y 2 !4Y+I=D$# a 2 !4a+10 0 0b 2 !4b+10 00c 2 !4c+1 100
060
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