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Mathématiques

Option Technologique

Lundi 19 avril 2021 de 8h00 à 12h00

Durée

: 4 heures

Candidats bénéficiant de la mesure "

Tiers-temps

8h00 - 13h20

L'énoncé comporte 5 pages.

Tous les feuillets doivent être identifiables et numérotés par le candidat. Aucun document n'est permis, aucun instrument de calcul n'est autorisé.

Conformément au règlement du concours, l"usage d"appareils communiquants ou connectés est formellement interdit durant l"épreuve.

Les candidats sont invités à soigner la présentation de leur copie, à mettre en évidence les principaux résultats, à respecter les notations de l"énoncé et à donner des démonstrations complètes - mais brèves - de leurs afrmations.

Si, au cours de l"épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d"énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en

expliquant les raisons des initiatives qu"il est amené à prendre.

Ce document est la propriété d"ECRICOME, le candidat est autorisé à le conserver à l"issue de l"épreuve.Le concours ECRICOME PRÉPA est une marque déposée. Toute reproduction du sujet est interdite. Copyright ©ECRICOME - Tous droits réservés CONCOURS D'ADMISSION 2021

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Sujet 2T

EXERCICE1

On notedans M

3 (R) lesd euxmatricessuivante s: M=( (2-21 2-32 -120)) etI=( (100 010 001)

On consid`ere´egalementlesdeux suites(u

n n?N et (v n n?N d´efiniespar: u 0 =0,v 0 =1,et?n?N,?u n+1 =-2u n +v n v n+1 =3u n

1. (a)Calcul erlepro duitmatriciel( M-I)(M+3I).

(b) D´eterminerunpolynˆomePnon nul,annulateurde lamatriceM. (c) D´eterminerlesvaleurspropre spossib lesdeM.

2. (a)

`A l"aidedela question1.(a) ,d ´ete rminer l"expressiondeM 2 en fonctiondesmatric esMetI. (b) Montrerparr´ecurr en ceque:?n?N,M n =u n M+v n I.

3. (a)D ´eterminerlamatrice car r´eeAd"ordre2telle que: ?n?N,?u

n+1 v n+1 =A?u n v n (b) End ´eduireque:?n?N,?u n v n =A n ?0 1?

(c) Onc onsid`erelesdeuxscriptsincomp letsScilabci-dessous.Ad´esignelamatri ce AetCd´esignelamatri ce

colonne?u n v n Compl´etercesd euxscript spourqu"ilscalculentet affichen tles termesu n etv n pourune ntier natureln choisipar l"utilisate ur. //S cript1

4. Onc onsid`erelesmatricescolonnes V

1 =?1 3? etV 2 =?1 -1? (a) V´erifierqueV 1 etV 2 sontd esvecteurspr opresdelamatrice A. Pr´eciserpourch acunla valeurpropreassoci ´e e. (b) SoitQ=?11 3-1? la matricec arr´eed"ordre2dont lescolonnessont lesv ecteursV 1 etV 2

JustifierqueQestin versiblepuisd´ etermin erQ

1 (c) D´eterminerlamatriceDtelle queD=Q 1 AQ. (d) Montrerparr´ecurr en cequepourtoutentiernature ln,ona:A n =QD n Q 1 - 2 -

Sujet 2T

(e) End ´eduirequepourtout entiernaturel n: A n =-1 -1+(-3) n+1 -1+(-3) n -3-(-3) n+1 -3-(-3) n (f)D ´eterminerlesvaleursdeu n etv n en fonctionden.

5. (a)E xpliciter,pourtoutentier naturel n, lesneuf coe fficientsdelamatriceM

n

(b) Onsup poseavoirc ompl´et´e correctementl"undesdeuxscriptsScilabde laquestion3.(c )e tonrajou teles

lignessuivan tes:

M=[2,-2,1;2,-3,2;-1,2,0]

Queren voiecenouveau scrip tlorsqu"onchoisitun evaleurde l"entier natureln?

EXERCICE2

On consid`erelafonctionfd´efiniesur l"intervalle[ 1,+∞[ par: x?[1,+∞[,f(x)=ln(x) x.

On noteC

f la courbere pr´esentativedef.

1. (a)Don nerlaval eu rdelim

x f(x).In terpr´etergraphiquementvotr er´esultat. (b) Pourtoutr ´eel xsup´erieurou´ egal` a1,calcu lerf (x),et jus tifierquef (x) ale mˆ emesigneque1 -ln(x).

(c) Dresserle tableaudevariati onsd ela fonctionf, enfaisan tapparaˆıtrele svaleursdesextr emumset lalimite

en +∞.

2. (a)P ourtoutr ´eelxsup´erieurou´ egal` a1,calcu lerf

(x). (b) ´Etudierl aconv exit´edelafonctionfsur l"intervalle[1,+∞[. (c) Lac ourbeC f admet-elleun poin td"inflexion?

3. Onnote Mle pointd"absciss ee

3 2 deC f (a) D´eterminerlescoord onn´ eesdeM. (b) D´eterminerune´e quationdela tangente(T) `aC f au pointM. (c) Calculerlescoordon n´ eesdupointd"intersectionNde (T) avecl"axedes ordonn´e es. (d) Pr´eciserlapositionde C f par rapport`a (T) sur[ 1,+∞[.

4. Ondon ne

e≈2,72,1 e≈0,37,e 3 2 ≈4,48,f? e 3 2 ≈0,33,f (e 3 2 )≈-0,02,2 e 3 2 ≈0,45.

Tracerl"allure delacourb eC

f en pla¸cantsurle mˆemegraphiqu el epointM, lepoin tN, ainsique ladroite (T).

On pourraparexe mplechoisi runrep`er eo`ul"axe des abscissesapourunit´e1cm,e tl"axedesordon n´ee sapou r

unit´e4cm.

5. (a)P ourtoutr ´eelAsup´erieurou´ egal` a1,calcu lerl"int´ egraleI(A)=?

A 1 ln( x xdx. (b) ´Etudierl aconv ergencedel"int´egraleg´en´eral is´ ee? 1 ln( x xdx. - 3 -

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Sujet 2T

6. Pourtout r´eel Asup´erieurou´ egal` a1,onn oteJ(A)=?

A 1 ln( x x 2 d x (a) `A l"aided"une int´egration parparties,montrerque :

J(A)=-ln(A)

A-1A+1.

(b) D´eterminerlim

A→+∞

J(A).

7. Onc onsid`erelafonctiongd´efiniesur Rpar :

?x?R,g(x)=? ?0 six<1, ln( x xquotesdbs_dbs1.pdfusesText_1

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