[PDF] [PDF] LES MIROIRS 29 fév 2012 · Si

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Cours d'Optique (31-104) Page 1 sur 13 JN Beury

n

45° LES MIROIRS

I. MIROIR

. Il réfléchit toutes les longueurs d'onde du visible de la même façon.

Au bout d'un certain temps, il finit par s'oxyder. Il doit être métallisé. Les miroirs usuels sont réalisés par un dépôt

d'aluminium sur du verre I.2 Cas particulier d'un prisme à réflexion totale. Calculons la condition sur l'indice n du prisme pour avoir une réflexion totale.

L'angle d'incidence vaut 45°. Soit i

2 l'angle de réfraction.

Les lois de Descartes s'écrivent :

2 sin45 sinni.

Pour avoir une réflexion totale, on doit avoir

sin45 1n, soit n. Application : Le LIDAR - télémétrie Terre-Lune

Sur la lune, lors des missions Apollo, les cosmonautes ont déposé des coins de cube qui permettent de réfléchir les

rayons laser venus de la Terre. On peut aujourd'hui mesurer la distance Terre-Lune à quelques millimètres près.

II. MIROIR PLAN

D'après les lois de Descartes de la réflexion, l'angle de réflexion est égal à l'opposé

de l'angle d'incidence. Quelque soit le rayon issu de A, il semble après réflexion provenir d'une source virtuelle A' située derrière le miroir à une position symétrique de A par rapport au plan du miroir. Sur le schéma, A est un objet réel et A' est une image virtuelle. Quand on se regarde dans un miroir, l'oeil voit A' mais on ne peut pas la projeter sur un écran. On ne peut pas " la saisir » avec la main !!! A A' avec A' symétrique de A par rapport au plan du miroir. 'HAHA. On oriente arbitrairement l'axe AA'. H est le projeté orthogonal

A sur le miroir plan.

A se réfléchit sur le miroir

A'. H

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II.2 Image d'un objet - Le miroir plan est aplanétique

AB A'B'.

On en déduit

HAHA et HBHB.

Pour un objet perpendiculaire à l'axe optique, on définit le grandissement transversal AB ''1AB AB Le miroir plan est donc rigoureusement aplanétique. II.3 Déplacement de l'image du double par translation du miroir Si on translate parallèlement au miroir, il ne se passe rien. L'image ne bouge pas. Si on translate perpendiculairement au miroir, on observe un déplacement de l'image.

Miroir position 1 : A

A 1

Miroir position 2 : A A

2 Il suffit d'appliquer la relation de Chasles en passant par le point A pour déterminer AA.

AAAAAA HAAH HH

On retient que l'image s'est déplacée du double du déplacement du miroir. II.4 Déplacement de l'image du double par rotation du miroir

Miroir position 1 : A

A 1

Miroir position 2 : A A

2 Il suffit d'appliquer la relation de Chasles en passant par A pour déterminer l'angle 12 ,OA OA

12 1 2

,,,2,2,OA OA OA OA OA OA OI OA OA OJ G Soit 12 ,2,2OA OA OI OJ On retient que l'image a tourné du double de l'angle de rotation du

II.5 Réflexion sur deux miroirs

On considère la réflexion d'un rayon sur deux miroirs faisant un angle Pour calculer une déviation quand il y a plusieurs réflexions 12

22'222'DDD i i i i

A H 1 A 1 A H 2 A A 1 A I J D O

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CS lumière

Miroir concave

CS lumière

Miroir convexe

Dans le triangle IJK, on a : '22ii

SDS

On a donc

'ii.

D'où

22 2D .

On retient que le rayon lumineux a été dévié d'un angle double de l'angle entre les deux

Application : Si l'angle entre les deux miroirs vaut 90°, la déviation vaut 180°. On retrouve le

coin de cube étudié dans le paragraphe I. L'angle

III. MIROIRS SPHÉRIQUES

C = centre du miroir (centre de courbure de la surface réfléchissante) S = sommet (point de symétrie de la calotte sphérique)

R = rayon de la sphère

r = rayon du cercle de base

2r = diamètre d'ouverture

2C) Axe optique = axe de symétrie de la calotte sphérique (passe par le centre C et le sommet S).

Miroir concave : c'est un miroir creux. Le centre est dans le milieu de propagation de la lumière.

Miroir convexe : c'est un miroir bombé. Le centre n'est pas dans le milieu de propagation de la lumière.

a) Astigmatisme du miroir sphérique Soit une source ponctuelle se réfléchissant sur un miroir sphérique concave. Les rayons issus de la source ponctuelle A ne convergent pas en un même point. Pour un objet quelconque, l'image d'un point n'est pas un point. On dit que le miroir sphérique est astigmatique. CS 2r

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CS i b) Stigmatisme rigoureux au centre et au sommet

Tous les rayons qui proviennent de C repassent par C après s'être réfléchis sur le miroir puisqu'ils arrivent avec une

incidence nulle sur le miroir.

De même, tous les rayons issus de S (ou de tout point appartenant à la surface du miroir) et émis en direction du

miroir s'y réfléchissent comme sur un miroir plan et semblent être issus de la source elle-même.

C C S S

III.3 Stigmatisme approché sur l'axe optique

a) Formule de conjugaison au sommet On considère un rayon lumineux issu de A émis en direction du miroir en passant par S, il se réfléchit sur lui- même. On considère un autre rayon lumineux issu de A qui se réfléchit en I sur le miroir. L'angle d'incidence est égal à i.

Dans le triangle ACI, on a :

i , soit

0i (eq. 1)

Dans le triangle A'CI , on a :

'i , soit '0i (eq. 2)

On élimine i en faisant (1) - (2) :

'2 (eq. 3)

On se place dans les conditions de Gauss (rayons paraxiaux). On peut donc faire un développement limité.

IS SA IS SA et IS SC . On assimile l'arc de cercle au plan tangent. Les triangles ASI, A'SI et CSI sont considérés dans cette approximation comme rectangles en S. Les angles sont orientés. On vérifie les signes : 0 ; 0IS0SA

On réinjecte dans l'équation (3) :

ISIS IS

SA SA SC

. On en déduit :

SA SA SC

Cette relation est indépendante de l'angle d'incidence i. Elle est donc valable pour tous les rayons issus de A et se

réfléchissant sur le miroir à condition d'être dans les conditions de Gauss. L'image d'un point est un point. Il s'agit

en fait d'un stigmatisme approché car la relation ci-dessus résulte d'un développement limité !

Dans les conditions de Gauss, le miroir sphérique est approximativement stigmatique. 'AA 11 2 'SA SA SC b) Formule de conjugaison au centre On pourrait démontrer de même une autre formule de conjugaison du miroir sphérique :

CA CA CS

c) Cas particuliers Si A = C. Quelle est l'image du centre ? On écrit : C C'.

SC SC SC. On en déduit immédiatement que

SC SC. On retrouve que l'image du centre est le centre. Si A = S Quelle est l'image du sommet ? On écrit : S S'.

CS CS CS. On en déduit immédiatement que

CS CS. On retrouve que l'image du sommet est le

sommet.

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d) Définition du foyer principal objet ou foyer objet Un foyer principal objet, appelé foyer objet et noté F

F (ou semblent passer par

F), se réfléchissent sur le miroir et sont parallèles à F. Remarque : Cette définition s'applique à tout système optique. On définit F 1 un foyer objet pour le système optique n°1, un foyer objet F 2 pour le système optique n°2 et même F pour le système optique constitué du système 1 et du système 2 (voir TD).

On applique une des formules de conjugaison :

SF SC , d'où SCSF e) Définition du foyer principal image ou foyer image Un foyer principal image, appelé foyer image et noté F'

F'. Tous les rayons qui viennent

F' (ou semblent passer par F').

'F. Remarque : Cette définition s'applique à tout système optique.

On applique une des formules de conjugaison :

SF SC , d'où SCSF

Pour un miroir sphérique, les foyers objet et image sont confondus. Ils sont situés au milieu du segment CS

F. f) Distance focale du miroir

La distance focale du miroir est

2RSF . On la note f. On ne précise pas comme pour les lentilles distance

F et F' sont confondus.

On se place dans les conditions de Gauss. Soit un petit objet AB perpendiculaire à l'axe optique. On confond l'arc de cercle CA avec le plan tangent. 'AA. On a alors :

CA CA CS

Soit S' l'intersection de la droite CB avec le miroir sphérique. 'BB. On a alors :

CB CB CS

Or 'CS CS ; CB CA. D'après les deux formules de conjugaison, on a donc ''CB CA. On trace un cercle de centre

C et passant par A'. L'intersection avec la droite CB donne le point B'. Dans les conditions de Gauss, on confond l'arc

de cercle avec le plan tangent, l'image d'un petit objet AB perpendiculaire à l'axe optique est une petite image A'B'

perpendiculaire à l'axe optique.

Le miroir sphérique est donc approximativement aplanétique pour des petits objets perpendiculaires à l'axe optique.

On définit le grandissement transversal

'' 'ABCA . L'objet AB est perpendiculaire à l'axe optique.

0, l'image est droite. Si 0, l'image est renversée.

CS

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lumière

Miroir concave

Miroir convexe

CSFCSF

III.5 Tracé de rayons lumineux

a) Convention de représentation du miroir sphérique

On utilisera par la suite la représentation conventionnelle du miroir dans les conditions de Gauss : on

S. On rajoute deux petits traits pour indiquer le sens de

F et C.

Avec cette représentation, tous les rayons passant par un point passeront par un point après réflexion sur le miroir. Il ne faut pas en déduire que le miroir sphérique est rigoureusement stigmatique. L'approximation est dans la représentation !!! Le gros avantage est que tous les rayons lumineux se croiseront en un seul point. Cela facilitera les schémas !!! On ne s'intéressa plus dans les schémas aux angles d'incidence qui sont de toute façon difficiles à représenter précisément. La face métallisée est représentée de façon explicite par des hachures.

Avec cette représentation, on peut représenter des objets plus grands pour la clarté du schéma.

Un rayon passant par le centre n'est pas dévié. Un rayon passant par le sommet est réfléchi symétriquement. Un rayon passant par F est réfléchi parallèlement à l'axe optique. Un rayon arrivant parallèlement à l'axe optique est réfléchi et passe par F. F », il faut comprendre " passe par F ou semble passer par F ». tan).

Dans le paragraphe suivant, on va

représenter le tracé des rayons lumineux dans différentes configurations. Ces schémas seront

à refaire dans les exercices.

b) Miroir concave b1) Objet situé avant C ''ABAB

L'objet est réel. L'image est

réelle, renversée et plus petite que l'objet.

Deux rayons suffisent pour

représenter l'image du point B. b2) Objet situé entre C et F On a un objet réel. L'image est réelle, renversée, plus grande que l'objet. On demande parfois de représenter un faisceau lumineux : tous les rayons lumineux passant par B, se réfléchissent sur le miroir et passent par B'. ''ABAB

Astuce : ne pas placer A

trop près de F sinon l'image A' sort de votre feuille !!!

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CSF

On remarque que cette figure et la figure du paragraphe précédent se ressemblent !!! C'est prévisible d'après le

principe de retour inverse de la lumière b3) Objet situé en F

On a un objet réel. L'image est à

l'infini. On dit qu'elle est virtuelle car on ne peut pas la projeter sur un

écran. Par contre, l'oeil peut

visualiser cette image. On verra que l'oeil n'a besoin d'accommoder (voir chapitre sur le principe de fonctionnement de l'oeil). On a une observation sans fatigue. image à l'infini vue sous un angle AB b4) Objet situé entre F et S On a un objet réel. L'image est virtuelle, droite et plus grande que l'objet. ''ABAB

Quand on se regarde dans un miroir concave (objet situé entre F et S), on observe bien une image droite

b5) Objet virtuel (situé après S) B. Le miroir concave intercepte les rayons lumineux et les dévie pour donner une image B'.

Expliquons le tracé d'un rayon lumineux : un rayon qui semble passer par B et le foyer objet se réfléchit

parallèlement à l'axe. ''ABAB CSF image à l'infini

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C c1) Objet réel (situé avant S) ABAB

Cette méthode sera utilisée en TP pour reconnaître rapidement la nature d'un miroir. Un miroir convexe

c2) Objet virtuel situé entre S et F On a un objet virtuel. L'image est réelle, droite et plus grande que l'objet. ''ABAB c3) Objet virtuel situé entre F et C On a un objet virtuel. L'image est virtuelle, renversée et plus grande que l'objet.

Remarque : Suivant la position de A entre F et C, on peut avoir une image plus grande ou plus petite que

l'objet. ''ABAB

Un rayon parallèle à l'axe, semblant passer par B, se réfléchit sur le miroir en semblant provenir du foyer

image F.

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CSF image à l'infini CSF objet à l'infini vu sous un angle T

III.6 Définition du foyer secondaire objet, foyer secondaire image. Tracé d'un rayon quelconque

a) Foyer principal objet, foyer secondaire objet On a un objet AB situé dans le plan focal objet du miroir. Le point A ou F est appelé foyer principal objet. Par abus de langage, on dit foyer objet.

B est appelé foyer secondaire objet.

On a vu que l'image de F est l'infini. Plus précisément, tous les rayons passant par F et se réfléchissant sur

B est une image à l'infini vue sous un angle B

b) Foyer principal image, foyer secondaire image

Si on applique le principe de retour inverse de la lumière à la figure précédente, tous les rayons faisant un angle

B qui est appelé foyer secondaire

image correspondant à l'inclinaison

Le point B est donc l'intersection du rayon lumineux passant par le centre (qui n'est pas dévié) avec le plan

F est le foyer principal objet du miroir sphérique.

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CS F rayon 1 c) Tracé d'un rayon quelconque

Soit un rayon lumineux (noté 1) quelconque arrivant sur le miroir. Comment se réfléchit-il ?

Méthode pour tracer un RAYON LUMINEUX QUELCONQUE :

On trace un rayon lumineux (noté 2) parallèle à ce rayon 1 passant par le centre. Ce rayon est tracé

On cherche l'intersection du rayon 2 avec le plan focal image du miroir. Le point I est appelé foyer

Le rayon 1 se réfléchit sur le miroir en passant (ou semblant passer) par le foyer secondaire image.

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A CS B' CS F

III.7 Définition d'un objet à l'infini

On considère un objet AB éloigné du miroir. ''ABAB La formule de conjugaison avec l'origine au sommet s'écrit :

SA SA SC

Si on envisage le passage à la limite : SA. On obtient un objet réel situé à l'infini. On a alors : SCSA.

A' est alors en F, c'est le foyer principal image. Le point B est le foyer secondaire image. Comment en déduire graphiquement le point B' ? L'objet bien que très éloigne est situé à une distance

D du miroir. On le voit sous un angle

AB D

Notion d'objet à l'infini vu sous un angle

Quelle est l'image d'un objet à l'infini vu sous un angle On représente uniquement des rayons faisant un angle A'B' avec A' = F = foyer principal image et B' = foyer secondaire image.

B', il suffit de tracer un rayon faisant un angle

B' est l'intersection de ce rayon avec le plan focal image du

A'B' avec la relation :

AB AB

Il est très important de ne pas représenter un rayon parallèle à l'axe, sinon on est ramené à la situation

On a donc deux types d'objets pour les représentations sur les schémas : objet AB à distance finie et objet à l'infini

vu sous un angle

Remarque : On peut considérer un objet centré sur l'axe optique. Dans ce cas, on représente un rayon faisant un

angle 2 par rapport à l'horizontale.

On a alors :

''tan22 2AB f

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III.8 BILAN des formules de conjugaison des miroirs sphériquesquotesdbs_dbs16.pdfusesText_22

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