13 Les miroirs spheriques.pdf
6 Ce type de schéma a déjà été utilisé pour les lentilles sphériques minces chapitre VII. Page 5. Chapitre XIII page XIII-5. D. Relations de conjugaison
Miroirs sphériques et lentilles minces dans lapproximation de Gauss
d'o`u la relation de conjugaison (indépendante du rayon considéré). 1. SA. +. 1. SA. = 2. SC. On parle de stigmatisme approché. A miroir spherique. -----------
Chap.4 – Miroirs sphériques
Relation de conjugaison - Formules de Descartes. 5.3. Expressions du grandissement. 5.4. Comment retenir toutes ces formules ? 6. Retour sur le miroir plan : un
Exercice 1 :
1) Montrons qu'un miroir sphérique concave donne toujours une image réelle d'un objet virtuel. La relation de conjugaison d'un miroir sphérique avec origine au
Cours Optique géométrique
Relations de conjugaison : Avec le même raisonnement que le miroir sphérique on trouve la relation de conjugaison du dioptre sphérique : Page 30. 30. Dr. Sid
Cours doptique géométrique – femto-physique.fr
La relation de conjugaison est la relation mathématique qui relie la de miroirs sphériques : le miroir concave est un miroir sphérique tel que SC < 0.
Chapitre IV : Miroirs et dioptres sphériques
1-2 Relation de conjugaison d'un miroir sphérique a-Origine au sommet. La relation de conjugaison est la relation qui lie le point A1 (objet) et le point A2
Éléments Optique Géométrique Matricielle V17.11 - Dioptres et Miroirs
4 nov. 2017 dans un dioptre sphérique. 4.1.1 Relation de conjugaison avec origine au sommet. Ai. •. Ao. •.
PH612 : Optique géométrique
19 janv. 2010 Les relations de conjugaison et la formule du grandissement sont algébriques et valables que le miroir sphérique soit convexe ou concave tant ...
cours de PHYS 101
2.10: Relations de conjugaison d'un miroir concave avec origine au sommet. Page 9. 1. Miroirs sphériques. 31. 1. $1. $2.
Relation de conjugaison pour un miroir sphérique concave
en utilisant les relations de conjugaison. 2 Matériel et mesures : On dispose sur un banc d'optique : - un miroir sphérique concave de
13 Les miroirs spheriques.pdf
6 Ce type de schéma a déjà été utilisé pour les lentilles sphériques minces chapitre VII. Page 5. Chapitre XIII page XIII-5. D. Relations de conjugaison
Démonstration de la formule de conjugaison pour les miroirs
Soit le miroir sphérique représenté sur la figure n°1. On regarde un rayon particulier issus du (c'est la relation de conjugaison du miroir sphérique).
Miroirs sphériques et lentilles minces dans lapproximation de Gauss
1.6 Relations de conjugaison et grandissement . . . . . . . . . . . . . . 4. 1.7 Le miroir plan (vu comme un limite du miroir sphérique) . . . . . 4.
Clemenceau
Réaliser des images avec des miroirs sphériques (concaves ou Relation de conjugaison (avec origine au sommet) pour un miroir concave :.
FORMATION DES IMAGES MIROIR ET DIOPTRE PLAN MIROIR
Dans le cas du miroir la relation de conjugaison est évidente à l'aide de la Par exemple
Chapitre 2: Optique géométrique Chapitre 2: Optique géométrique
Représentation symbolique des miroirs sphériques La relation de conjugaison du miroir sphérique ... La distance focale f d'un miroir sphérique:.
Cours doptique géométrique – femto-physique.fr
2.12 Construction de l'image donnée par un miroir sphérique . . . . . . . . . . 14 Relation de conjugaison – Lorsqu'un système donne d'un point objet.
Chapitre 6 Miroirs sphériques
3 nov. 2011 Relation de conjugaison avec origine au sommet: Foyer et distance focale. Pour un objet A situé en F (FPO). Pour un objet A situé à l'?.
[PDF] Miroirs sphériques et lentilles minces dans lapproximation de Gauss
1 5 Modélisation du miroir sphérique et constructions géométriques 2 1 5 1 Modélisation 1 6 Relations de conjugaison et grandissement
[PDF] LES MIROIRS SPHERIQUES
l'aplanétisme les définitions des relations de conjugaison et de grandissement la définition des foyers et des plans focaux les notions de réalité et de
[PDF] Chapitre 23 – Les miroirs sphériques - Physique
Un miroir sphérique est un miroir courbé tel que tout élément de surface du miroir est à une distance R du centre de courbure C Le miroir sphérique
[PDF] Relation de conjugaison pour un miroir sphérique concave
Relation de conjugaison pour un miroir sphérique concave 1 Rappels : - A l'aide d'un schéma rappeler la géométrie d'un miroir concave
[PDF] Miroirs et Dioptres sphériques : Corrigé
3- La relation de conjugaison du miroir sphérique: = où représente la distance algébrique entre le sommet S et la position de l'objet
[PDF] Miroirs sphériques - LAPP
2 11: Relations de conjugaison d'un miroir convexe avec origine au sommet 1 9 Relation de conjugaison avec origine au centre Il existe une relation analogue
[PDF] miroirspdf - Olivier GRANIER
Relation de conjugaison (avec origine au sommet) pour un miroir concave : On veut déterminer une relation entre et SA ' SA )'( ' ' SA SI HA
[PDF] Surface sphérique : Miroir dioptre et lentille
Pour obtenir la relation de conjugaison conjugaison il suffit de considérer considérer les points situés sur l'axe principal principal optique ? du miroir
[PDF] TP N07 Les miroirs sphériques convergents ou concaves
Vérification des relations de conjugaison et grandissement détermination du rayon de courbure et de la distance focale d'un miroir
[PDF] Chapitre IV : Miroirs et dioptres sphériques
concave est appelé aussi miroir convergent et un miroir convexe est dit divergent Miroir concave (R0) 1-2 Relation de conjugaison
Quelle est la relation de conjugaison de ce miroir plan ?
Le miroir plan est donc rigoureusement stigmatique. La relation de conjugaison qui lie la position de l'objet A à celle de l'image associée A' s'écrit ¯¯¯¯¯¯¯¯AH=¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯HA'(3) (3) AH ¯ = HA' ¯ où H est le projeté orthogonal de A sur le miroir : L'image de A est le symétrique orthogonal de A.Comment calculer la distance focale d'un miroir sphérique ?
Figure 1 La distance focale f d'un miroir sphérique est égale à la moitié du rayon de courbure R. Si la surface réfléchissante se retrouve à l'intérieur de la section sphérique, il s'agit d'un miroir concave.Comment savoir si le miroir sphérique est convergente ?
Miroir concave (convergent)
1Lorsque le rayon incident est dirigé parallèlement à l'axe principal, il est réfléchi sur le foyer. 2Lorsque le rayon incident passe par le foyer principal, il est réfléchi parallèlement à l'axe principal. 3Lorsque le rayon incident passe par le centre de courbure, il est réfléchi sur lui-même.- Le foyer d'un miroir sphérique est un point situé sur l'axe optique où est dévié un ensemble de rayons voyageant parallèlement à l'axe optique. De plus, un ensemble de rayons passant par ce foyer avant de réfléchir sur le miroir seront redirigés avec une orientation parallèle à l'axe optique.
Miroirssph´eriques-Dioptres sph´eriques
Nousal lonsmaintenantaborderdessy st`emesoptiques unpeupluscomplexes,cou ramment utilis´espourproduiredesimages.Nousallonsc ommencerp ar´etudier unmiroirsph´eri quedefa¸conrigou reuse,sansfaire
d'approximation,maisassezrapidement nousseronsamen´es `ar estreindrelesr ayonsi ncidents`a ceuxposs´edant
certainescaract´ eristiques.Nousd´efinironsalorslesconditions deGauss etnousnousplaceronsdanslecadre
del'opt iqueparaxiale(nousd´efin ironscestermesplusl oin).1Mir oirssph´eriques
1.1Intr oduction:focaliserlalumi`e re
Nousav onsmentionn´eplushau tquedanslesdispositifsfocalisants,un ensembledemiroi rsplanspeu tˆe tre
remplac´eparunmiroir courb e.La formeoptimalepourfocaliserdes rayonsparall`elesenunpointes tlapar abole
(c'estlaformed esan tennes quipermettentd ecapterlessignauxTV ´emisparles satellites).Toutefois,ilestbeaucoupplussim plee npratique,etmoinson ´ereux,defabriquerdesmiroirssph´eriques,
quipermette ntfinalementd'arriveraumˆemer´esultat ,commenousallonslevoirdans cechapitre.Unmiroir sph´erique estunesurfacer´efl´echissantecon stitu´eed'u neportionde sph`ere.On enrencontredeux
types,lesmiroirsconcavespourlesquelslar ´efl exionalieus url'int´erieurdelasph`ere,etlesmiroirsconvexes
pourlesquel slar´eflexionalieusurl'ext ´erieur delasph`ere.Cesmiroirspr´esententunint´ erˆ etpartic ulier,carla
sph`ereestunesu rfacerelativement facile`a usineravecpr´ ecision.1.2Miroir concaves- faisceauparall`ele
Onconsid` ereunmiroirsph´eriqu edece ntreCetde rayonR,et onconsid`erepour commencer unensembledera yonsincidentsparall`e les.Lafiguresuivanteindiquelamar ched'undecesrayons.Parsym´et rie,tou sles
rayonsincidentscor respondant`alamˆemedistanc eh(ilssontr´ epartissur uncylindre)sontr´efl´e chisversle
mˆemepointAsurl'axe.Calcul onslap ositiondecep ointA.Lanor maleau miroirestconfondueave cler ayon 1 c'estunepropr i´et´e dessph`eres.D'apr`eslaloidelar´eflexion,lesangles CMAetACMsont´egaux, sibienque
1Onveut iciparlerdu rayon delasph`ere .Pour´eviterto uteconfusionentrela notiond eray onlumineuxetcellederayondela
sph`ere,nousutiliseronsplutˆ otleterm e"normale»danslesecondca s. 2324Chapitre2.Miroi rssph´ eriques-Dioptressp h´eriques
Fig.2.1:Un exemplede r´eflexionsurun miroirsph ´erique. C M N i i i A S Fig.2.2:Marche d'unrayoninci dent,avant etapr`esr´eflexion surunmiroirsph´erique convexe. letrian gleCAMestisoc`ele enA.Dansle triangleCAB,onv oitimm´ ediatement que CA= R 2cosiLap ositiondupoint Ad´ependdoncdesrayonsconsid´er´es,d el'angle i,oude fa¸c on´equi valentedelahauteur
h.Lesyst `e menefaitpasconverge rl'ensem blederay onsparall` elesversunpointbiend´efini.Iln'es tpas
stigmatique.Cependant, lorsquel'onconsid`eredesrayonslumineuxpro chesdel'axeoptique,l'angle iestfaible
etona cosi≈1soitCA≈
R 2Demani` erepluspr´ecise,onpeu tutiliserlesd ´eveloppementslimit´eset´ecrir e,lor squeiestpetit,
cosx≈1- x 2 2! x 4 4!Onobtien talors,`al'ordre2e ni,
CA≈
R 2(1-i 2 /2) R 2 1-i 2 /2 -1 R 2 Ri 2 4Lorsquel'onconsid`ere des rayonslumin euxprochesdel'axe optique,l'angleiestfaibleetl esrayon sparall `eles
convergenttousversununiquepointF ,qui constituepard ´efinitionlefoyerimage CF R 21.Miroirs sph´erique s25
C C SFFig.2.3:marc hedesrayonsr´efl ´ech isetleursprolongements(` adroite,zoomsurlesrayonsd'inclinaisonrelativement
faible).Mettreune photodec austiquevuedans unetassed ecaf´eouunealliancedor´ ee+mˆeme figurepourlemiroi rconvexe .Onpe utdoncutiliserunmiroirsph´ eriquepourconce ntrerlalumi`ere d'unfaisce auparall`elee nunpoint,pourvu
qu'onnel'utili sequ'auvois inagedel'axeoptique.On peutpourcel autiliserdesdiaphragmes,qui permetten t
debloquer lesrayonsind´ esirable s. Dela mˆemefa¸ con,enutilisantlaloidure tourinverse,ontrouvequelesra yons issusdupointF sontr´efl´echisenunfaisceauparall`elepar lemiroir. Cettepropri´ et´ed´efinitlefoyerobjet,qu'onn oteg´ en´erale ment
F.Dansle casdumir oirsp h´eriq ueconv exe,lefoye robjetetlefoyerimagesontconfond us,F=F1.3Miroir concave-fais ceauparall`eleinclin´e
Consid´eronsmaintenantunfaisceauconstitu´ ederayonsvenan td edeuxdir ectionsdiff´erentes(on´etendra
facilementlesr´ esultats`auncasencorep lusg´en´eral).Onrajout epourcelaau xray onspr ´ec´ edentsd'autres
rayons,inclin´esd'unangleα.En tra¸cantun nouvelaxe,inclin´ed'unangleαparrapp ortaupremieretpas sant
parC,ons eretrou veexacteme ntdanslasituationpr´ ec´edente,etl'onsaitquecesray onsinclin´ esvon tconverger
enunp ointF 2 situ´eaumilieudu ray oncorrespondant,p ourvuqu 'ilssoientassezpro chesdel'axe.CF'CF'
2Lesco ordonn´eesdecepointF
2 s'´ecrivent,dansunrep`ered'origineC, x= R 2×cosαety=
R 2×sinα
Lorsquelesra yonssont peuinclin´esparrapport`a l'axeoptique,l'angleαestpetitet onpeutremplace rles
fonctionstrigonom´etriquespar leurd´eveloppementlimit´eaupre mierordre enα,c' est-`a-dire
x≈ R 2 ety≈ R 226Chapitre2.Miroi rssph´ eriques-Dioptressp h´eriques
Lesray onsvontdoncconvergersur lepland'´e quationx=R/2.Ce plan,perp endiculaire`al' axeoptiqueetpassantparle foyerimage,es tappel´eplanfocal image.On d´efinit demˆemeleplanfocal objet.Cesdeux plans
sontconfondus danslecasdumiroirsph´erique. Latail lede l'imagedans lepl anfocalestdonn ´eepar: A B =f Rα 2 (2.1)Parexempl e,laplan`eteJupiter(α≈3×10
-4 rad)vue`a traversle miroirdut´ elescopeHubble(R≂60m) donnedanslep lanfoc alune imagede9mmd ehaut.1.4Miroir convexes
CAMihiHiS
Fig.2.4:Notati onsutilis´eesdansl ecasdumiroirconvexe. Onpe utreprendrel'ensem bledecequipr´ec`ede, danslecasd'unmiroirconvexe.Ensebasantsurlafigur e pr´ec´edente,ontrouvedenouveauque CA= R 2cosiLadis tanceCAestlamˆem e,maisle pointAsetrouv emaintenant`a gauchedeC,alors qu'il´etait `adroitede
Adanslecasd umiroirconca ve.
Grˆaceauxdistancesalg´ebriq ues,onpeu tdi ff´erencierentrelesdeuxtypesdemiroird'apr`esle signedeCS.
Unmiroir estconcave siCS>0et convexes iCS<0.
Onp eutsynth´ etiserlesdeuxr´esultatspr´ec´ edentssousuneformeuniqu e CA= CS 2cosi Onadon cdans lesdeux cas,pourla positiond ufoyerimage, CF CS 2Danslecasdumir oircon vexe, l'imageform ´eepardes rayonsincidentsparall`el eest virtuelle,etsitu´eederri`ere
lemiroir.1.5Les conditionsde Gaussetl'optiqueparaxiale
Lesdeux condi tionsquenousavonsinvo qu´ees,r ayonspro chesd'unmˆemeaxeetp euinclin´esparrapport`a
cetaxesont appel´ee sconditionsdeGauss,etce taxee stappel´e axeoptiq ue.Lesr ayons v´erifiantlesconditions
deGaussson tappe l´esrayonsparaxiaux.1.Miroirs sph´erique s27
Unegrande partie-sinonla totalit´e-de l'optique g´eom ´etr iquequevous´etudier ezc etteann ´eeseplace
danslecadrede cescondition s.O npe uttrouver aga¸cantdecommenceruncoursense faisantdessimpli fica-
tionsdrastiques, etdouterquel'onobtiendra ainsi quoiquecesoitd'utile.Sitel estle cas,c'estune grosseerreur!L'optiqueparaxiale estadapt´ ee`aungrand nombredesituations pratiques,etpermetde comprendre
lefonction nementetlespropri´et´es delaplupar tdesinstru mentsd'optique.Deplus ,nousconnaissonse xactementleste rmesquenousavonsn´eglig´ es,ilssontd'ordre2enieten α.Il
esttoujoursp ossibledelesprendr eencomptepourcalculerlesd´ eviationsqu 'ilsdonn entparrapportaucas
paraxial. Danslecadrede cetteap prox imation,onpe utaussi consid´ererquel'ensembledumiroirestcontenu dans unplan contenantle sommet.Onrepr´esentealorsle sm iroirscommedesplansaux bordsarrondis, indiquantsile miroire stconvexeou concave. Cen'estqu'unenotation,etil nefaut pasappliquerlesloisdelar´eflexion
surunm iroirpl an,maislesr`eglesdecon structiong´ eom´etriq ues´e nonc´eesplushaut. Danscequi suit,onvas' appuye rsuru nepropri ´et´etr `esimportantedessyst`emesoptiques:Danslesconditions deGauss,le ssyst`emesop tiquesposs ´edantlasym´e trieder´evolution sontapproximativement
stigmatiques. C'estlecasnotam mentdes miroirs sph´eriquesconsid ´er ´esdanscechapitre.1.6Objet` adis tancefinie-construct iong´eom´ etriquedesr ayon s
Enutilis antlapropri´et´edestigmatis meappr och´e,onpeutconstruirelesr ayonsde fa¸conpuremen tg´eom´etrique.
Onpeut seconten terpourcelad' utiliserdeuxdestroispropri ´et´es suivantes : -Lesray onspassantparlecen tredumiroirneson tpasd´evi ´es; -Lesray onsarrivantparall`eles` al'axeoptiqueconver gentverslefoyerimage ; -lesray onsissusdufoyerob jetrepartentparall`eles`a l'axeop tique. Pourtoutpointob jet,onconstr uitdeuxdecesrayons etonend´ eduit lapositiondel'image.Onend´eduitCF'ABB'A'
(1)(2)(3)CF'ABB'A'
Fig.2.5:Con structiong´eom´etriquedesrayonsdanslecas d'unmiroirconcaveetd'unmiroirconvexe.laplupar tdespropri´et´es quis uivent.Danslescasrepr´esent´esic i,l'imageestr ´eelleetinvers´eepourlemir oir
concave,maisvirtuelleet droitepourlemiroircon vexe. Cen'e stpastoujoursle cas. Pourlemiroirconcave ,onp eut distinguerdeuxcas.Quand l'ob jetestsitu´eavantlef oyer,sonimageestr´eelle,l'objetetl'image´etants itu´esdepartetd'autre ducen tre.Quand l'objetestsitu´eapr`es lefoyer,son
imageest virtuelleetsi tu´eederri` erelemiroir. Pourlemiroirconv exe,ondistin gueaussideuxcas. Quandl'objetestsitu´eav antle foyer,sonimage estr´eelle,l'objetetl'image´etant situ´esdepartetd'autre ducen tre.Quan dl'objetestsitu´eapr`es lefoyer,son
28Chapitre2.Miroi rssph´ eriques-Dioptressp h´eriques
CSF'CSF'
Fig.2.6:Sil' objet estavantlefoy er(figurede gauche),l'imageestr ´eelleetin vers´ee.Sil'objet esten trele foyeretle
sommet,l'imageest virtuelle,droite,etsitu´ eederri` erel'image. imageest virtuelleets itu´eederri `erelemir oir.CSF'AA'CSF'AA'
Fig.2.7:Sil' objetAestavant lesommet(figuredegauche),l'imag eA estvirtuelleet situ´eeentrel esommet etlefoyer.Sil'o bjetestvirtueletsitu´eent relesomm etetlefoy er,(toujours figuredegauche,o`ucettefoisc'est A
quijouel erˆoled'objet),l 'imageAestr´e elle,etsitu´eeavantlesomm et.Si l'objetestvirtueletderri`erelefo yer
(figurededroite) sommet,l' image estaussivirt uelle,invers´ee,etsitu ´eederri`ere lefoyer. Ace stade,ilest fortementrecommand´ ede semunird 'unecuill`ere.1.7Exp ´eriencesimple
Seregarderdan sune cuill`ere `asoupe,du cˆot´econcaveetducˆot´econvexe ,etcommenter. ?Rep.6
1.8Relation deconjugaisonaveco rigineau sommet
Consid´eronsunensemble deray onslumineuxissusd'unpointAsitu´esurl'axeoptique, `aun edistance finie.
Onse place directementdanslesc onditionsdeGauss.Onaalors h=SAtan(θ-i)=SA tan(θ+i)=SCtanθ(2.2) Danslescondit ionsd eGauss,onpeutassim ilerles tangentes`aleur sargum ents,et h=SA×(θ-i)=SA×(θ+i)=SC×θ(2.3)
1.Miroirs sph´erique s29
Fig.2.8:Agauc he,une cuill`erep ermetde formeruneimaged'unobjetlointain.A droite,unegrossecuill`ere,le miroir
dut´ elescopespatialHubble.ChA'S Ai
!-i !+i Fig.2.9:notati onsutilis´ees danslecalculdelarelationdeconjugaison En´e liminantidesde uxpremi`eres´equations, onarrive`a h SA h SA (2.4) cequi s'´ec ritfinalement,enutilisantladerni `ere´equationde2.3souslaf ormeθ=h/SC, h SA h SA 2h SC (2.5)Ons'ap er¸coit,etils'agitl`ad'une´etapecrucialedanslecalcul, quel' onpeutsimplifierparh.Cette remarque
d'ordremath´ematique exprimeenfaitlaconditiondestigmatisme:lavariabl equid´ecritl er ayon quel'on a
consid´er´edisparaˆıtducalcul,sibien quetouslesrayonsissusdeAvontconver gerverslemˆemepointA
(dans lesconditions deGauss).Ona donc 1 SA 1 SA 2 SC (2.6) Danslecasq uenous avon sconsid´er´e, lespointsA,A etCsonttousles troissit u´es`agauc hed eS,sibien queSA=-SA,SA
=-SA etSC=-SC.Onob tientla relationde conjugaisonavecori gineausommet 1 SA 1 SA 2 SC 1 f (2.7)Sil'ona vaitconsid ´er´eunesituation g´eom´etriquementdiff´erente,danslaquellelepointAest`adroite deS,
uncal culsimilairemontrequel'onob tientlamˆemerelationdeconjugaison. Celle-ciestdoncvalable defa¸con
g´en´erale.30Chapitre2.Miroi rssph´ eriques-Dioptressp h´eriques
Remarques:
-pourA=C,ona A =C,lece ntre dumiroirestsapropreimage(il yad'ailleu rsstigmatismerigour eux danscecas); -cetterelationes tinvariantepar´ echangedeAetA .SiA estl'image deA,alorsAestl'image deA -Sil'obj etAestrenvo y´e`al'infini,1/SA→0etSA =SC/2=SF sibie nquel'imageestsitu ´eeaufo yer.Onre trouvedoncbienlesr´esultats pr´ec´eden ts(lecontrair eaurait´e t´einqui´etant).
-Laformul edeconjugaisonper metde calculerlapositiondel'imageenfonction decelledel'objet. Applicationbˆete :consid´eronsunobjetsitu ´e` a30cmavantlesommetd'unmiroirde10c mdera yonde courbure.OnadoncSA=-30cm.Calculonslap ositiondel'imagepour chaqu etyped emiroir.Pour unmiroir concave,onaSC=-10cmetdonc,en appliqu ant laformuled econjugaison, 1 SA 2 SC 1 SA 2 10cm 1 30cm1 6cm (2.8) onad oncSA =-6cm,l'imagese trouve`a6cmdevan tlesom met.Pourunmir oirconvexe,on aSC=+10 cm etuncalcul similaire donneSA =(30/7)cm≈4,29cm,l'imagees tsitu´ee`a environ4,29cme narri`eredu sommet. Lafigure ??repr´esentelapositiondel'imageenfonctiond ecell edel'objet. O 1 1 1 2 2 2 3 3 3 SFCA A' SF CAA'
SFCAA'
Fig.2.10:Relations deconjugaisond'un miroirco ncaveavecorigine ausommet.1.Miroirs sph´erique s31
O 1 1 1 2 2 2 3 3 3SFCAA'
SFCAA'
SFCA A' Fig.2.11:Relations deconjugaisond'un miroirco nvexeavecorigine ausommet.1.9Relation deconjugaisonaveco rigineau centre
Ilexisteun ere lationanalogue,dan slaquellelapositiondes pointsestrep´e r´eep arrapp ortauce ntreCau
lieud usommetS.Onp ourraitla d´emontrerenrempl a¸can tdanslapr´ec´eden teCAparCS+SA.Onp eutaussid´em ontrerlarelat ionpr´ec´edenteenretardantle plusp ossiblelemomentdesepl acerdansles
conditionsdeGauss, ensebasantsur despropri´et´ esg´eom´ etriqu es.Onutilisep ource lala relationfondamentale
destriangl es sin A BC sin B AC sin C AB (2.9) o`ulesquantit´e s A, Bet Crepr´esententlesanglesayantpoursommetlepointcorres pondan t.Nou sallonsutilisercetterelationpour retrouverla formuledeconjugaison. Laprincipaledifficult´evientdufai tquelarelation2.9
faitinter venirdesdistances,alorsquelaformulefinalefaiti nter venirdesdistancesalg´ebriques. Lepassagede
l'un`al'autre n'estpascomp liqu´e,maisi lfaitinter venirplusie urscas,selonquelemiroirestconvexeou concav e,
etselon quelepoin tAest`adroi teou`agauch educentreC.Nous allonsnousconcen trersur unseulcas, celui d'unmiroircon vexe(CS> 0)et dupoint Asitu´eavantC(CA<0).32Chapitre2.Miroi rssph´ eriques-Dioptressp h´eriques
CABÂ^B^C
Fig.2.12:D´ efinitiondesnotations
A, Bet Cintervenantdanslarelationfondam entaledes triangles. Danslafigure2.9,lesrelation s2.9appliqu´eesautriangleACMindiquentque sin(θ-i) R sin(i) CA Or,nouscon sid´er onslasituationo`uCA=-CAetR=CS,si bienque sin(θ-i) CS sin(i) CA (2.10)Demˆ eme,dansletriangleCMA
,ona sin(θ+i) R sin(i) CA soit sin(θ+i) CS sin(i) CA (2.11) puisquecettefois lepointA setrouv en´ecessairemen t`adroitedeC,si bienqueCA =CA .End ´ev eloppant lessin usselon les´equati ons2.10et2.11ser´ e´ecrivent,apr`essimplificationparsini, sinθcotani CS cosθ CS 1 CA et sinθcotani CS cosθ CS 1 CA Ens oustrayantcesdeux´equations,onarrivefinalement` a 1 CA 1 CA2cosθ
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