[PDF] cours de PHYS 101 2.10: Relations de conjugaison

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Miroirssph´eriques-Dioptres sph´eriques

Nousal lonsmaintenantaborderdessy st`emesoptiques unpeupluscomplexes,cou ramment utilis´espour

produiredesimages.Nousallonsc ommencerp ar´etudier unmiroirsph´eri quedefa¸conrigou reuse,sansfaire

d'approximation,maisassezrapidement nousseronsamen´es `ar estreindrelesr ayonsi ncidents`a ceuxposs´edant

certainescaract´ eristiques.Nousd´efinironsalorslesconditions deGauss etnousnousplaceronsdanslecadre

del'opt iqueparaxiale(nousd´efin ironscestermesplusl oin).

1Mir oirssph´eriques

1.1Intr oduction:focaliserlalumi`e re

Nousav onsmentionn´eplushau tquedanslesdispositifsfocalisants,un ensembledemiroi rsplanspeu tˆe tre

remplac´eparunmiroir courb e.La formeoptimalepourfocaliserdes rayonsparall`elesenunpointes tlapar abole

(c'estlaformed esan tennes quipermettentd ecapterlessignauxTV ´emisparles satellites).

Toutefois,ilestbeaucoupplussim plee npratique,etmoinson ´ereux,defabriquerdesmiroirssph´eriques,

quipermette ntfinalementd'arriveraumˆemer´esultat ,commenousallonslevoirdans cechapitre.

Unmiroir sph´erique estunesurfacer´efl´echissantecon stitu´eed'u neportionde sph`ere.On enrencontredeux

types,lesmiroirsconcavespourlesquelslar ´efl exionalieus url'int´erieurdelasph`ere,etlesmiroirsconvexes

pourlesquel slar´eflexionalieusurl'ext ´erieur delasph`ere.Cesmiroirspr´esententunint´ erˆ etpartic ulier,carla

sph`ereestunesu rfacerelativement facile`a usineravecpr´ ecision.

1.2Miroir concaves- faisceauparall`ele

Onconsid` ereunmiroirsph´eriqu edece ntreCetde rayonR,et onconsid`erepour commencer unensemble

dera yonsincidentsparall`e les.Lafiguresuivanteindiquelamar ched'undecesrayons.Parsym´et rie,tou sles

rayonsincidentscor respondant`alamˆemedistanc eh(ilssontr´ epartissur uncylindre)sontr´efl´e chisversle

mˆemepointAsurl'axe.Calcul onslap ositiondecep ointA.Lanor maleau miroirestconfondueave cler ayon 1 c'estunepropr i´et´e dessph`eres.D'apr`eslaloidelar´eflexion,lesangles CMAet

ACMsont´egaux, sibienque

1

Onveut iciparlerdu rayon delasph`ere .Pour´eviterto uteconfusionentrela notiond eray onlumineuxetcellederayondela

sph`ere,nousutiliseronsplutˆ otleterm e"normale»danslesecondca s. 23

24Chapitre2.Miroi rssph´ eriques-Dioptressp h´eriques

Fig.2.1:Un exemplede r´eflexionsurun miroirsph ´erique. C M N i i i A S Fig.2.2:Marche d'unrayoninci dent,avant etapr`esr´eflexion surunmiroirsph´erique convexe. letrian gleCAMestisoc`ele enA.Dansle triangleCAB,onv oitimm´ ediatement que CA= R 2cosi

Lap ositiondupoint Ad´ependdoncdesrayonsconsid´er´es,d el'angle i,oude fa¸c on´equi valentedelahauteur

h.Lesyst `e menefaitpasconverge rl'ensem blederay onsparall` elesversunpointbiend´efini.Iln'es tpas

stigmatique.Cependant, lorsquel'onconsid`eredesrayonslumineuxpro chesdel'axeoptique,l'angle iestfaible

etona cosi≈1soit

CA≈

R 2

Demani` erepluspr´ecise,onpeu tutiliserlesd ´eveloppementslimit´eset´ecrir e,lor squeiestpetit,

cosx≈1- x 2 2! x 4 4!

Onobtien talors,`al'ordre2e ni,

CA≈

R 2(1-i 2 /2) R 2 1-i 2 /2 -1 R 2 Ri 2 4

Lorsquel'onconsid`ere des rayonslumin euxprochesdel'axe optique,l'angleiestfaibleetl esrayon sparall `eles

convergenttousversununiquepointF ,qui constituepard ´efinitionlefoyerimage CF R 2

1.Miroirs sph´erique s25

C C SF

Fig.2.3:marc hedesrayonsr´efl ´ech isetleursprolongements(` adroite,zoomsurlesrayonsd'inclinaisonrelativement

faible).Mettreune photodec austiquevuedans unetassed ecaf´eouunealliancedor´ ee+mˆeme figurepourlemiroi rconvexe .

Onpe utdoncutiliserunmiroirsph´ eriquepourconce ntrerlalumi`ere d'unfaisce auparall`elee nunpoint,pourvu

qu'onnel'utili sequ'auvois inagedel'axeoptique.On peutpourcel autiliserdesdiaphragmes,qui permetten t

debloquer lesrayonsind´ esirable s. Dela mˆemefa¸ con,enutilisantlaloidure tourinverse,ontrouvequelesra yons issusdupointF sont

r´efl´echisenunfaisceauparall`elepar lemiroir. Cettepropri´ et´ed´efinitlefoyerobjet,qu'onn oteg´ en´erale ment

F.Dansle casdumir oirsp h´eriq ueconv exe,lefoye robjetetlefoyerimagesontconfond us,F=F

1.3Miroir concave-fais ceauparall`eleinclin´e

Consid´eronsmaintenantunfaisceauconstitu´ ederayonsvenan td edeuxdir ectionsdiff´erentes(on´etendra

facilementlesr´ esultats`auncasencorep lusg´en´eral).Onrajout epourcelaau xray onspr ´ec´ edentsd'autres

rayons,inclin´esd'unangleα.En tra¸cantun nouvelaxe,inclin´ed'unangleαparrapp ortaupremieretpas sant

parC,ons eretrou veexacteme ntdanslasituationpr´ ec´edente,etl'onsaitquecesray onsinclin´ esvon tconverger

enunp ointF 2 situ´eaumilieudu ray oncorrespondant,p ourvuqu 'ilssoientassezpro chesdel'axe.

CF'CF'

2

Lesco ordonn´eesdecepointF

2 s'´ecrivent,dansunrep`ered'origineC, x= R 2

×cosαety=

R 2

×sinα

Lorsquelesra yonssont peuinclin´esparrapport`a l'axeoptique,l'angleαestpetitet onpeutremplace rles

fonctionstrigonom´etriquespar leurd´eveloppementlimit´eaupre mierordre enα,c' est-`a-dire

x≈ R 2 ety≈ R 2

26Chapitre2.Miroi rssph´ eriques-Dioptressp h´eriques

Lesray onsvontdoncconvergersur lepland'´e quationx=R/2.Ce plan,perp endiculaire`al' axeoptiqueet

passantparle foyerimage,es tappel´eplanfocal image.On d´efinit demˆemeleplanfocal objet.Cesdeux plans

sontconfondus danslecasdumiroirsph´erique. Latail lede l'imagedans lepl anfocalestdonn ´eepar: A B =f Rα 2 (2.1)

Parexempl e,laplan`eteJupiter(α≈3×10

-4 rad)vue`a traversle miroirdut´ elescopeHubble(R≂60m) donnedanslep lanfoc alune imagede9mmd ehaut.

1.4Miroir convexes

CAMihiHiS

Fig.2.4:Notati onsutilis´eesdansl ecasdumiroirconvexe. Onpe utreprendrel'ensem bledecequipr´ec`ede, danslecasd'unmiroirconvexe.Ensebasantsurlafigur e pr´ec´edente,ontrouvedenouveauque CA= R 2cosi

Ladis tanceCAestlamˆem e,maisle pointAsetrouv emaintenant`a gauchedeC,alors qu'il´etait `adroitede

Adanslecasd umiroirconca ve.

Grˆaceauxdistancesalg´ebriq ues,onpeu tdi ff´erencierentrelesdeuxtypesdemiroird'apr`esle signedeCS.

Unmiroir estconcave siCS>0et convexes iCS<0.

Onp eutsynth´ etiserlesdeuxr´esultatspr´ec´ edentssousuneformeuniqu e CA= CS 2cosi Onadon cdans lesdeux cas,pourla positiond ufoyerimage, CF CS 2

Danslecasdumir oircon vexe, l'imageform ´eepardes rayonsincidentsparall`el eest virtuelle,etsitu´eederri`ere

lemiroir.

1.5Les conditionsde Gaussetl'optiqueparaxiale

Lesdeux condi tionsquenousavonsinvo qu´ees,r ayonspro chesd'unmˆemeaxeetp euinclin´esparrapport`a

cetaxesont appel´ee sconditionsdeGauss,etce taxee stappel´e axeoptiq ue.Lesr ayons v´erifiantlesconditions

deGaussson tappe l´esrayonsparaxiaux.

1.Miroirs sph´erique s27

Unegrande partie-sinonla totalit´e-de l'optique g´eom ´etr iquequevous´etudier ezc etteann ´eeseplace

danslecadrede cescondition s.O npe uttrouver aga¸cantdecommenceruncoursense faisantdessimpli fica-

tionsdrastiques, etdouterquel'onobtiendra ainsi quoiquecesoitd'utile.Sitel estle cas,c'estune grosse

erreur!L'optiqueparaxiale estadapt´ ee`aungrand nombredesituations pratiques,etpermetde comprendre

lefonction nementetlespropri´et´es delaplupar tdesinstru mentsd'optique.

Deplus ,nousconnaissonse xactementleste rmesquenousavonsn´eglig´ es,ilssontd'ordre2enieten α.Il

esttoujoursp ossibledelesprendr eencomptepourcalculerlesd´ eviationsqu 'ilsdonn entparrapportaucas

paraxial. Danslecadrede cetteap prox imation,onpe utaussi consid´ererquel'ensembledumiroirestcontenu dans unplan contenantle sommet.Onrepr´esentealorsle sm iroirscommedesplansaux bordsarrondis, indiquant

sile miroire stconvexeou concave. Cen'estqu'unenotation,etil nefaut pasappliquerlesloisdelar´eflexion

surunm iroirpl an,maislesr`eglesdecon structiong´ eom´etriq ues´e nonc´eesplushaut. Danscequi suit,onvas' appuye rsuru nepropri ´et´etr `esimportantedessyst`emesoptiques:

Danslesconditions deGauss,le ssyst`emesop tiquesposs ´edantlasym´e trieder´evolution sontapproximativement

stigmatiques. C'estlecasnotam mentdes miroirs sph´eriquesconsid ´er ´esdanscechapitre.

1.6Objet` adis tancefinie-construct iong´eom´ etriquedesr ayon s

Enutilis antlapropri´et´edestigmatis meappr och´e,onpeutconstruirelesr ayonsde fa¸conpuremen tg´eom´etrique.

Onpeut seconten terpourcelad' utiliserdeuxdestroispropri ´et´es suivantes : -Lesray onspassantparlecen tredumiroirneson tpasd´evi ´es; -Lesray onsarrivantparall`eles` al'axeoptiqueconver gentverslefoyerimage ; -lesray onsissusdufoyerob jetrepartentparall`eles`a l'axeop tique. Pourtoutpointob jet,onconstr uitdeuxdecesrayons etonend´ eduit lapositiondel'image.Onend´eduit

CF'ABB'A'

(1)(2)(3)

CF'ABB'A'

Fig.2.5:Con structiong´eom´etriquedesrayonsdanslecas d'unmiroirconcaveetd'unmiroirconvexe.

laplupar tdespropri´et´es quis uivent.Danslescasrepr´esent´esic i,l'imageestr ´eelleetinvers´eepourlemir oir

concave,maisvirtuelleet droitepourlemiroircon vexe. Cen'e stpastoujoursle cas. Pourlemiroirconcave ,onp eut distinguerdeuxcas.Quand l'ob jetestsitu´eavantlef oyer,sonimageest

r´eelle,l'objetetl'image´etants itu´esdepartetd'autre ducen tre.Quand l'objetestsitu´eapr`es lefoyer,son

imageest virtuelleetsi tu´eederri` erelemiroir. Pourlemiroirconv exe,ondistin gueaussideuxcas. Quandl'objetestsitu´eav antle foyer,sonimage est

r´eelle,l'objetetl'image´etant situ´esdepartetd'autre ducen tre.Quan dl'objetestsitu´eapr`es lefoyer,son

28Chapitre2.Miroi rssph´ eriques-Dioptressp h´eriques

CSF'CSF'

Fig.2.6:Sil' objet estavantlefoy er(figurede gauche),l'imageestr ´eelleetin vers´ee.Sil'objet esten trele foyeretle

sommet,l'imageest virtuelle,droite,etsitu´ eederri` erel'image. imageest virtuelleets itu´eederri `erelemir oir.

CSF'AA'CSF'AA'

Fig.2.7:Sil' objetAestavant lesommet(figuredegauche),l'imag eA estvirtuelleet situ´eeentrel esommet etlefoyer.

Sil'o bjetestvirtueletsitu´eent relesomm etetlefoy er,(toujours figuredegauche,o`ucettefoisc'est A

qui

jouel erˆoled'objet),l 'imageAestr´e elle,etsitu´eeavantlesomm et.Si l'objetestvirtueletderri`erelefo yer

(figurededroite) sommet,l' image estaussivirt uelle,invers´ee,etsitu ´eederri`ere lefoyer. Ace stade,ilest fortementrecommand´ ede semunird 'unecuill`ere.

1.7Exp ´eriencesimple

Seregarderdan sune cuill`ere `asoupe,du cˆot´econcaveetducˆot´econvexe ,etcommenter. ?Rep.6

1.8Relation deconjugaisonaveco rigineau sommet

Consid´eronsunensemble deray onslumineuxissusd'unpointAsitu´esurl'axeoptique, `aun edistance finie.

Onse place directementdanslesc onditionsdeGauss.Onaalors h=SAtan(θ-i)=SA tan(θ+i)=SCtanθ(2.2) Danslescondit ionsd eGauss,onpeutassim ilerles tangentes`aleur sargum ents,et h=SA×(θ-i)=SA

×(θ+i)=SC×θ(2.3)

1.Miroirs sph´erique s29

Fig.2.8:Agauc he,une cuill`erep ermetde formeruneimaged'unobjetlointain.A droite,unegrossecuill`ere,le miroir

dut´ elescopespatialHubble.

ChA'S Ai

!-i !+i Fig.2.9:notati onsutilis´ees danslecalculdelarelationdeconjugaison En´e liminantidesde uxpremi`eres´equations, onarrive`a h SA h SA (2.4) cequi s'´ec ritfinalement,enutilisantladerni `ere´equationde2.3souslaf ormeθ=h/SC, h SA h SA 2h SC (2.5)

Ons'ap er¸coit,etils'agitl`ad'une´etapecrucialedanslecalcul, quel' onpeutsimplifierparh.Cette remarque

d'ordremath´ematique exprimeenfaitlaconditiondestigmatisme:lavariabl equid´ecritl er ayon quel'on a

consid´er´edisparaˆıtducalcul,sibien quetouslesrayonsissusdeAvontconver gerverslemˆemepointA

(dans lesconditions deGauss).Ona donc 1 SA 1 SA 2 SC (2.6) Danslecasq uenous avon sconsid´er´e, lespointsA,A etCsonttousles troissit u´es`agauc hed eS,sibien que

SA=-SA,SA

=-SA etSC=-SC.Onob tientla relationde conjugaisonavecori gineausommet 1 SA 1 SA 2 SC 1 f (2.7)

Sil'ona vaitconsid ´er´eunesituation g´eom´etriquementdiff´erente,danslaquellelepointAest`adroite deS,

uncal culsimilairemontrequel'onob tientlamˆemerelationdeconjugaison. Celle-ciestdoncvalable defa¸con

g´en´erale.

30Chapitre2.Miroi rssph´ eriques-Dioptressp h´eriques

Remarques:

-pourA=C,ona A =C,lece ntre dumiroirestsapropreimage(il yad'ailleu rsstigmatismerigour eux danscecas); -cetterelationes tinvariantepar´ echangedeAetA .SiA estl'image deA,alorsAestl'image deA -Sil'obj etAestrenvo y´e`al'infini,1/SA→0etSA =SC/2=SF sibie nquel'imageestsitu ´eeaufo yer.

Onre trouvedoncbienlesr´esultats pr´ec´eden ts(lecontrair eaurait´e t´einqui´etant).

-Laformul edeconjugaisonper metde calculerlapositiondel'imageenfonction decelledel'objet. Applicationbˆete :consid´eronsunobjetsitu ´e` a30cmavantlesommetd'unmiroirde10c mdera yonde courbure.OnadoncSA=-30cm.Calculonslap ositiondel'imagepour chaqu etyped emiroir.Pour unmiroir concave,onaSC=-10cmetdonc,en appliqu ant laformuled econjugaison, 1 SA 2 SC 1 SA 2 10cm 1 30cm
1 6cm (2.8) onad oncSA =-6cm,l'imagese trouve`a6cmdevan tlesom met.Pourunmir oirconvexe,on aSC=+10 cm etuncalcul similaire donneSA =(30/7)cm≈4,29cm,l'imagees tsitu´ee`a environ4,29cme narri`eredu sommet. Lafigure ??repr´esentelapositiondel'imageenfonctiond ecell edel'objet. O 1 1 1 2 2 2 3 3 3 SFCA A' SF CAA'

SFCAA'

Fig.2.10:Relations deconjugaisond'un miroirco ncaveavecorigine ausommet.

1.Miroirs sph´erique s31

O 1 1 1 2 2 2 3 3 3

SFCAA'

SFCAA'

SFCA A' Fig.2.11:Relations deconjugaisond'un miroirco nvexeavecorigine ausommet.

1.9Relation deconjugaisonaveco rigineau centre

Ilexisteun ere lationanalogue,dan slaquellelapositiondes pointsestrep´e r´eep arrapp ortauce ntreCau

lieud usommetS.Onp ourraitla d´emontrerenrempl a¸can tdanslapr´ec´eden teCAparCS+SA.

Onp eutaussid´em ontrerlarelat ionpr´ec´edenteenretardantle plusp ossiblelemomentdesepl acerdansles

conditionsdeGauss, ensebasantsur despropri´et´ esg´eom´ etriqu es.Onutilisep ource lala relationfondamentale

destriangl es sin A BC sin B AC sin C AB (2.9) o`ulesquantit´e s A, Bet Crepr´esententlesanglesayantpoursommetlepointcorres pondan t.Nou sallonsutiliser

cetterelationpour retrouverla formuledeconjugaison. Laprincipaledifficult´evientdufai tquelarelation2.9

faitinter venirdesdistances,alorsquelaformulefinalefaiti nter venirdesdistancesalg´ebriques. Lepassagede

l'un`al'autre n'estpascomp liqu´e,maisi lfaitinter venirplusie urscas,selonquelemiroirestconvexeou concav e,

etselon quelepoin tAest`adroi teou`agauch educentreC.Nous allonsnousconcen trersur unseulcas, celui d'unmiroircon vexe(CS> 0)et dupoint Asitu´eavantC(CA<0).

32Chapitre2.Miroi rssph´ eriques-Dioptressp h´eriques

CABÂ^B^C

Fig.2.12:D´ efinitiondesnotations

A, Bet Cintervenantdanslarelationfondam entaledes triangles. Danslafigure2.9,lesrelation s2.9appliqu´eesautriangleACMindiquentque sin(θ-i) R sin(i) CA Or,nouscon sid´er onslasituationo`uCA=-CAetR=CS,si bienque sin(θ-i) CS sin(i) CA (2.10)

Demˆ eme,dansletriangleCMA

,ona sin(θ+i) R sin(i) CA soit sin(θ+i) CS sin(i) CA (2.11) puisquecettefois lepointA setrouv en´ecessairemen t`adroitedeC,si bienqueCA =CA .End ´ev eloppant lessin usselon les´equati ons2.10et2.11ser´ e´ecrivent,apr`essimplificationparsini, sinθcotani CS cosθ CS 1 CA et sinθcotani CS cosθ CS 1 CA Ens oustrayantcesdeux´equations,onarrivefinalement` a 1 CA 1 CA

2cosθ

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