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16 jan. 2009 Recueil d'exercices de Commande Optimale. Programmation Non Linéaire. Programmation Dynamique. Principe du Maximum. Version 1.0.

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Recueil d'exercices de Commande Optimale

Programmation Non Linéaire

Programmation Dynamique

Principe du Maximum

Version 1.0

16 janvier 2009

Michel Llibre - Michel Corrège - Jacques Delmas

Ref. DCSD-2009_008-NOT-002-1.0

Table des matières

1 Enoncés5

1.1 Programmation non linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.1 PNL1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.2 PNL2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.3 PNL3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.4 PNL4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.5 PNL5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.6 PNL6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.7 PNL7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2 Programmation dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.1 PD1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.2 PD2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3 Principe du maximum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3.1 PM1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3.2 PM2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3.3 PM3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3.4 PM4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3.5 PM5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3.6 PM6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3.7 PM7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3.8 PM8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3.9 PM9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3.10 PM10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3.11 PM11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2 Solutions17

2.1 Programmation non linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.1.1 PNL1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.1.2 PNL2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.1.3 PNL3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.1.4 PNL4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.1.5 PNL5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.1.6 PNL6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

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4TABLE DES MATIÈRES

2.1.7 PNL7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.2 Programmation dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.2.1 PD1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.2.2 PD2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.3 Principe du maximum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.3.1 PM1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.3.2 PM2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.3.3 PM3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.3.4 PM4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.3.5 PM5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.3.6 PM6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.3.7 PM7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.3.8 PM8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.3.9 PM9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.3.10 PM10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.3.11 PM11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

Bibliographie58

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Chapitre 1

Enoncés

1.1 Programmation non linéaire

1.1.1 PNL1

Soit le processus discret du premier ordre défini par l'équation récurrente: x n+1=xn+un le critère suivant:

C=∑N¡1n=0(xn+1

2 u2n)

(afin d'atteindrexN=0par valeurs inférieures dexn, tout en minimisant l'énergie dépensée par la

commande). 1

±) Ecrire le lagrangien de ce problème.

±) Ecrire les équations d'optimalité.

3 ψ0 (ou de

ψ1).

4 ±) Exploiter la condition de transversalité terminale pour établir la relation qui lie 5 ±) Donner la commande optimale en boucle fermée.

1.1.2 PNL2

Soit le système discret du deuxième ordre d'équation d'état: {xn+1=xn+yn y n+1=yn+un

que l'on veut amener en N étapes d'un état initial quelconquedonné(x0,y0)à l'état final origine

(xN=0,yN=0)en minimisant la fonction coût:

C=N¡1∑

n=01 2 u2n

1. Vérifier que le système est commandable.

2. Résoudre le problème par la P.N.L.

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61. ENONCÉS

(a) Ecrire le LagrangienL (b) Ecrire les conditions de stationnarité du 1er ordreLun=0,LXn=0(conditions de transver- salité pourn=0etn=N). Pour cela, on notera ϕn+1le paramètre de Lagrange associé à x n+yn¡xn+1=0et ψn+1le paramètre de Lagrange associé àyn+un¡yn+1=0. (c) Vérifier que le système adjoint s'intègre facilement en fonction des inconnues

ϕ0etψ0

introduites en remplacement des paramètres de Lagrange associés aux conditions initiales. (d) Eliminerundes équations d'état et les intégrer en fonction des inconnues

ϕ0etψ0.

(e) Utiliser les conditions finales pour calculer

ϕ0etψ0en fonction dex0ety0.

(f) Calculer la commandeu0. En déduire l'expression de la commande en boucle fermée.

3. Résoudre le même problème quand l'état terminal est partiellement contraint par la condition

terminale parxN+yN=0. Donner l'expression de la commande en boucle fermée.

4. Résoudre le même problème quand l'état initial est partiellement contraint par la condition initiale

parx0+y0=1: (a) avec les conditions terminalesxN=0,yN=0, (b) avec la condition terminalexN+yN=0.

Calculer, dans les deux cas, le meilleur point de départ(ˆx0,ˆy0). Que devient l'expression de la

commande optimale en boucle fermée.

1.1.3 PNL3

Soit le système discret représenté par l'équation récurrente: x n+1=axn+un aveca6=0eta6=1. Sur l'horizon imposé[0,N]on désire maximiser l'état finalxNà partir de

l'état initial donnéx0, en consommant toute l'énergiey0disponible à l'instant initial. Plus précisément

on impose la contrainte: 1 2 ∑N¡1n=0u2n=y0(1.1)

1. Ecrire le lagrangien et les conditions d'optimalité.

2. Intégrer le système adjoint à rebours

1et déduire la commande optimale en boucle ouverte du

respect de la contrainte (1.1).

3. Calculer la valeur théorique duxNatteint avec cette commande optimale.

4. Donner l'expression de la commande optimale en boucle fermée.

1.1.4 PNL4

Soit le systèmeXn+1=[1 1

2 1] X n+(0 1) u nque l'on désire amener en trois étapes deX0= (x0 y 0) donné àX3=(0 0) tout en minimisant le critère: C=1 2 (u20+u21+u22)

1. On donne la relation:

N∑

n=1a2(N¡n)=N¡1∑ k=0a2k=1¡a2N

1¡a2

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1.1 PROGRAMMATION NON LINÉAIRE7

Trouver les commandes optimales par la programmation non linéaire:

1. Ecrire lagrangien, conditions d'optimalités et système adjoint.

2. Intégrer système et adjoint en fonction deX0et

ψ1.

3. Utiliser la condition terminale pour établir le relation qui donne

ψ1en fonction deX0. En déduire

ˆu0en fonction deX0.

4. Donner les expressions deˆu1etˆu2en boucle fermée.

Pour vous éviter trop de calculs numériques, nous vous conseillons d'intégrer le système adjoint

en fonction du vecteur ψ1(inutile de faire intervenir le vecteurψ0). Par ailleurs, on vous donne:

A=[1 1

2 1] A

¡1=[¡1 1

2¡1]

¡T=[¡1 2

1¡1]

2=[3 2

4 3] A

3=[7 5

10 7] A

¡2T=[3¡4

¡2 3]

et [1 1

¡1 5]

5 6 ¡1 6 1 6 1 6 =[1 0 0 1]

Remarque: Cet exercice est à rapprocher du même résolu bien plus simplement par la programma-

tion dynamique.

1.1.5 PNL5

Soit le processus discret du premier ordre défini par l'équation récurrente: x n+1=axn+un C=1 2

N¡1∑

n=0( cx2n+du2n)+x2N 2

1) Ecrire les conditions d'optimalité du premier ordre.

2) Donner le système d'équations récurrentes (d'ordre 2) dans le sens direct:xn+1et

ψn+1en

fonction dexnet

ψn.

3) Intégrer ce système dans le cas particuliera=1,c=0,d=1, en fonction du vecteur adjoint

initial inconnu.

4) Utiliser la condition finale de transversalité pour calculer ce terme inconnu. En déduire la com-

mande, et en particulier la commande en boucle fermée.

1.1.6 PNL6

Soit le processus discret du premier ordre défini par l'équation récurrente: x n+1=2xn+un

que l'on désire amener enNétapes d'un état initialx0donné à un état final voisin de zéro, en minimisant

l'énergie de la commande. Pour réaliser cet objectif, on considère le critère à minimiser:

C=1 2 x2N+∑N¡1n=01 2 u2n

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81. ENONCÉS

±) Ecrire le lagrangien de ce problème.

±) Ecrire les équations d'optimalité.

±) Intégrer les équations récurrentes du système adjoint et du processus en fonction dex0et de

quotesdbs_dbs8.pdfusesText_14

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Recueil d'exercices de Commande Optimale

Programmation Non Linéaire

Programmation Dynamique

Principe du Maximum

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Table des matières

1 Enoncés5

1.1 Programmation non linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.1 PNL1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.2 PNL2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.3 PNL3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.4 PNL4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.5 PNL5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.6 PNL6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.7 PNL7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2 Programmation dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.1 PD1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.2 PD2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3 Principe du maximum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3.1 PM1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3.2 PM2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3.3 PM3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3.4 PM4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3.5 PM5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3.6 PM6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3.7 PM7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3.8 PM8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3.9 PM9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3.10 PM10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3.11 PM11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2 Solutions17

2.1 Programmation non linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.1.1 PNL1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.1.2 PNL2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.1.3 PNL3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.1.4 PNL4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.1.5 PNL5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.1.6 PNL6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

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4TABLE DES MATIÈRES

2.1.7 PNL7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.2 Programmation dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.2.1 PD1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.2.2 PD2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.3 Principe du maximum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.3.1 PM1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.3.2 PM2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.3.3 PM3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.3.4 PM4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.3.5 PM5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.3.6 PM6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.3.7 PM7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.3.8 PM8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.3.9 PM9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.3.10 PM10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.3.11 PM11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

Bibliographie58

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Réf. DCSD-2009_008-NOT-002-1.0

Chapitre 1

Enoncés

1.1 Programmation non linéaire

1.1.1 PNL1

C=∑N¡1n=0(xn+1

±) Ecrire le lagrangien de ce problème.

±) Ecrire les équations d'optimalité.

ψ1).

1.1.2 PNL2

C=N¡1∑

1. Vérifier que le système est commandable.

2. Résoudre le problème par la P.N.L.

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61. ENONCÉS

ϕ0etψ0

ϕ0etψ0.