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1/5

1) L"expression du critère et du Hamiltonien sont donnés par :

0 2 2 0

0( ) ( ( ), ) ( ( ), ( ), )

T t x u

J t X T T L X t U t t dt

14243 1442443

2 2 T x x u

H X t U t t t L X t U t t f X t U t t

l l

1442443 1442443

2) Le Hamiltonien est donné par :

2 2

H x u u

3) Les conditions d"optimalités sont :

1 er condition : ( ( ), ( ), )H x f x t u t t u 2

ème

condition donne le système adjoint : 2 H x x l (a) 3

ème

condition de stationnarité : 0 2Hu u l (b) 4

ème

condition :

Le temps final est connu

1 T= et l"état final (1)x est libre d"où 0 dT et 0 dx , la condition (6) impose alors : {

0 00 0

0 T T T

X X t tdX H dT

f y u l f y u Soit ( ) (1) 0Tl l

4) Le système à résoudre est :

2 ( ) 2a xb x l l

1) C"est un problème de C.O linéaire quadratique à état final libre.

2) La représentation d"état du système est : ( ) ( ) ( )x t Ax t Bu t

avec : 0 1 0 0 0 1 A B Travaux dirigés de Commande optimale Mastère professionnelle

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2/5

3) Le critère est de la forme :

0 0

1 1( ) (3) (3) (3)2 2

TT T T

J t X S X X QX U RU dt

avec

11 12 11 12

21 22 21 22

(3) (3)

1, ,

(3) (3)

2q q s sR Q Sq q s s

4) On a :

11 12 12 2

1 2 1 2 1 2

21 22 2

2 4 2 T q q x

X QX x x x x x x

q q x( )( )= = + +( )( )( )( ) soit 11 22

21 12 12 21

2 4 2 1 q q q q q q=

2 11 4

Q est définit positive.

D"autre part on a :

11 12 1

1 2

21 22 2

2 2

1 2(3) (3) (3)

1 1(3) (3) (3) (3) (3)

(3) (3) (3) 2 2

1(3) 2 (3)2

T s s xX S X x xs s x x x( )( ) soit 11 22

12 21(3) 1

(3) 2(3) (3) 0 s s s s= 1 0 (3) 0 2 S est définit positive. 5) La résolution du problème de C.O linéaire quadratique à état final libre nécessite la détermination de l"équation de Ricatti suivant : 1 , 3 T T

S Q A S SA SBR B S t

p avec 11 12

21 22( ) ( )

( ) ( )s t s t S t s t s t( )=( )( ) d"où le système d"équations différentielle couplées suivant : 2 11 12

12 11 12 22

22 12 22

( ) 2 2 ( )( ) 1 ( ) 2 ( ) ( )( ) 4 2 ( ) 2 ( ) s t s ts t s t s t s ts t s t s t? avec les conditions terminales : 11 22

12 21(3) 1

(3) 2(3) (3) 0 s s s s=

6) Le gain de Kalman est alors :

11 121

12 22( ) ( )

( ) ( ) 2 0 1 T s t s t

G t R B S t

s t s t d"où 12 22 ( ) 2 ( ) ( )G t s t s t

A. Partie 1 :

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3/5

1) Il s"agit d"un problème de CO. Linéaire quadratique à état final

fixe.

2) On a :

00 1 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 T T T

H X Q X U RU AX BU

xux u x u l l l l l

3) Les conditions d"optimalités sont :

1 ère condition redonne les équations d"états du système. 1 2 1 2 2H x x HxH x u l l 2

ème

condition donne le système adjoint : T H A x l l soit : 1 12 1 2 0 H x H x ll l 3

ème

condition de stationnarité : 2 0 0 Huu l d"où la commande 2 ( ) ( )u t t l

4) La solution du système adjoint donne le vecteur adjoint suivant :

On a :

12 1 0 ll l?=? soit : 1 1

2 1 2( ) ( )( ) ( ) ( )t Tt T t T T

l l l l l NB :

2 1 2 1 2 1 2

T T t t t dt t dt t t t T T l l l l l l l

5) D"après la condition de stationnarité on a :

2 ( ) ( )u t t l

D"où la commande optimale

*( )u t est :

1 2( ) ( ) ( )u t T t T T

l l= - -

6) Les équations d"états sont données par :

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4/5 1 2 2 1 2 x xx T t T T l l=? avec

1 12 2(0)

(0)x x xx=

D"où :

2 2 1 20( ) (0) ( ) ( )

t x t x T t T T u dt l l

Soit :

* 22 1 1 2 2

1( ) ( ) ( ) ( )2

x t T t T Tt T t l l l x (1)

1 2 1 1 20

( ) (0) ( ) t x x x t x x t dt=

D"où :

* 3 2 21 1 1 2 2 1

1 1 1( ) ( ) ( ) ( )6 2 2

x t T t T Tt T t t l l l x x (2)

Sachant que :

1( ) 0x T

2( ) 0x T

, les conditions terminales 1( )T l et 2( )T l peuvent êtres déterminés à partir de (1) et (2) pour t T= 1 1 2

3 212 6

( )T T T l x x (3) 2 1 2 26 2
( )T T T l x x (4) En remplaçant (3) et (4) dans (1) et (2), on trouve

1( )x t

et 2( ) x t en fonction des conditions terminales.

B. Partie 2 :

1) Il s"agit d"un problème de C.O à temps final libre.

2) Le Hamiltonien est donné par :

H X t U t t t L X t U t t f X t U t t

l lquotesdbs_dbs6.pdfusesText_11

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1) L"expression du critère et du Hamiltonien sont donnés par :

0( ) ( ( ), ) ( ( ), ( ), )

J t X T T L X t U t t dt

14243 1442443

H X t U t t t L X t U t t f X t U t t

1442443 1442443

2) Le Hamiltonien est donné par :

H x u u

3) Les conditions d"optimalités sont :

ème

ème

ème

Le temps final est connu

0 00 0

X X t tdX H dT

4) Le système à résoudre est :

1) C"est un problème de C.O linéaire quadratique à état final libre.

2) La représentation d"état du système est : ( ) ( ) ( )x t Ax t Bu t

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3) Le critère est de la forme :

1 1( ) (3) (3) (3)2 2

TT T T

J t X S X X QX U RU dt

11 12 11 12

21 22 21 22

1, ,

2q q s sR Q Sq q s s

4) On a :

11 12 12 2

1 2 1 2 1 2

21 22 2

X QX x x x x x x

21 12 12 21

2 11 4

D"autre part on a :

11 12 1

21 22 2

1 2(3) (3) (3)

1 1(3) (3) (3) (3) (3)

1(3) 2 (3)2

12 21(3) 1

S Q A S SA SBR B S t

21 22( ) ( )

12 11 12 22

22 12 22

12 21(3) 1

6) Le gain de Kalman est alors :

11 121

12 22( ) ( )

G t R B S t

A. Partie 1 :

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1) Il s"agit d"un problème de CO. Linéaire quadratique à état final

2) On a :

H X Q X U RU AX BU

3) Les conditions d"optimalités sont :

ème

ème

4) La solution du système adjoint donne le vecteur adjoint suivant :

On a :

2 1 2( ) ( )( ) ( ) ( )t Tt T t T T

2 1 2 1 2 1 2

5) D"après la condition de stationnarité on a :

D"où la commande optimale

1 2( ) ( ) ( )u t T t T T

6) Les équations d"états sont données par :

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1 12 2(0)

D"où :

2 2 1 20( ) (0) ( ) ( )

Soit :

1( ) ( ) ( ) ( )2

1 2 1 1 20

D"où :

1 1 1( ) ( ) ( ) ( )6 2 2

Sachant que :

1( ) 0x T

2( ) 0x T