Commande optimale Examen (CC) PDF Exam CC. Commande optimale. Examen (

Commande Optimale

¢ Exercice : en appliquant le principe du mamimum de Pontriaguine démontrez l'équation d'Euler-Lagrange d dt. ∂L. ∂ ˙q. −. ∂L. ∂q. = 0. E. Laroche. ENSPS

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8 sept. 2017 Application: Exercices. •. Exercice 1: On considère le système. •. Aide : on pose l'Hamiltonien. •. Avec les conditions x. H δ δ. -. = λ . 0 u.

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8 sept. 2017 commande obtenue minimise un critère énergétique … ... L'objectif est de déterminer le gain optimal K tel que la ... Suite de l'exercice.

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Duree 2H. Tous les exercices sont independants. Le bareme pre- visionnel est indique pour chaque exercice. Documents autorises. BExercice 1(10 points).On considere le probleme de temps minimal pour q(t) =u(t);ju(t)j 1; t2[0;tf]; ouqetusont a valeurs dansR, sous les conditions aux limitesq(0) =q0, _q(0) = _q0(q0et _q0xes), _q(tf) = 0 etq(tf) libre.

1.1.Mettre la dynamique sous la forme _x(t) =f(x(t);u(t)) en posantx(t) =

(q(t);_q(t)), avecfune fonction que l'on precisera. f(x;u) = (x2;u) 1.2.

Ecrire le hamiltonien du probleme.

H(x;p;u) =p0+p1x2+p2u

1.3. Ecrire le systeme dierentiel verie par l'etat adjointp= (p1;p2). _p1(t) = 0, _p2(t) =p1(t) 1.4.

Ecrire les conditions de transversalite.

p1(tf) = 0

1.5.Montrer que (p1;p2) ne s'annule jamais.

Sips'annule en un instant, il est nul partout (linearite de l'equation adjointe en temps minimum). Mais alorsH= 0 implique aussip0= 0, ce qui est impossible.

1.6.Montrer qu'un contr^ole optimal doit ^etre constant.

Par maximisation, presque partoutu(t) = sgn(p2(t)) sip2(t)6= 0. Comme p

2est constant et non nul (carp1est constant et deja nul), on auconstant

egal a1. 1 Commande optimaleExam CCFigure1 { Trajectoires temps minimales vers la cible _q= 0.

1.7.On admet l'existence de solution, en deduire l'expression du contr^ole

en fonction de (q0;_q0). Comme _q(t) = _q0+utavecu=1, pour que _qpuisse s'annuler entfil faut prendreu=sgn(_q0). (On suppose _q06= 0, sinon le temps minimum est nul.)

1.8.En deduire l'expression du temps minimal en fonction de (q0;_q0).

tf=j_q0j

1.9.Montrer que, dans le plan (x1;x2) = (q;_q), les trajectoires optimales

sont des arcs de parabole. En integrant la dynamique on voit que _q2=2q= cte quandu= 1, et que _q2=2 +q= cte quandu=1.

1.10.Donner l'allure de la synthese dans le plan (q;_q). [Dessiner approxi-

mativement les trajectoires temps minimales.]

Voir Figure 1.

2 Commande optimaleExam CCBExercice 2(10 points).On considere le probleme de temps minimal de

Zermelo-Markov-Dubins,

_x(t) =w+ cos(t);_y(t) = sin(t);_(t) =u(t); t2[0;tf]; ou le vecteur position (x(t);y(t)) appartient aR2, l'argument de la vitesse (t) aR, et ouw2Rest une constante xee. On ajoute la contrainte ju(t)j 1 ainsi que des conditions aux limites : (x(0);y(0);(0)) = (x0;y0;0);(x(tf);y(tf);(tf)) = (xf;yf;f):

2.1.Montrer que sijwj 1, le probleme n'admet pas necessairement de

solution. Prenons par exemplew= 1,x0= 0 etxf=1; comme _x(t) est toujours positif, on ne pourra pas atteindrexfet l'ensemble des contraintes est vide. On suppose desormaisw2[0;1[, et on notep= (px;py;p) l'etat adjoint. 2.2.

Ecrire le hamiltonien du probleme.

H=p0+px(w+ cos) +pysin+pu

2.3. Ecrire le systeme dierentiel verie par l'etat adjoint et montrer que p xetpysont constants. On a _px(t) = 0;_py(t) = 0;_p(t) =px(t)sin(t)py(t)cos(t); d'ou la constance depxetpy.

2.4.Appliquer la condition de maximisation pour determiner les contr^oles

optimaux.

On a presque partoutu(t) = sgn(p(t)) sip(t)6= 0.

2.5.En deduire que, le long d'une extremale optimale, on a

0 =p0+pxw+pxcos(t) +pysin(t) +jp(t)j; t2[0;tf]:

Comme on est en temps min,H= 0 le long d'une extremale et, par maximisation,p(t)u(t) =jp(t)j. On suppose desormais (px;py)6= (0;0) et on pose (px;py) = (cos ;sin ).

2.6.Montrer que

jp(t)j =cos((t) );_p(t) = sin((t) ); ou est une constante que l'on precisera. 3

Commande optimaleExam CCu =-npie

C u--Agnihotri poto Etude selony :A u--tr7 Bt mis -a) y 1 :I l7 PO -rat r r PO o ⇒ u = tr,I Oi =u> o3O 9 ,d 'ni le say devatican rn les eelesHot -y = -asCO -t Ef .pie = asco -47 .G Lpi = sin co -t 7 pie lieu ni uglier b) y=r :-r F- I BSB ...Turnpike I po T T L pie c) J C- To ,nE :y R y 13+13 -/13 -Be ...-"ry 7 Po lion tad) V --o :J 13+13 -l B -Bf ...°r=o 7/70 T e) YET -1,0C :htt Dex -I B -Dt ...j j spo Mance 18 Diam breed 8 Exoquotesdbs_dbs7.pdfusesText_5

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Examen (CC)

1.1.Mettre la dynamique sous la forme _x(t) =f(x(t);u(t)) en posantx(t) =

Ecrire le hamiltonien du probleme.

H(x;p;u) =p0+p1x2+p2u

Ecrire les conditions de transversalite.

1.5.Montrer que (p1;p2) ne s'annule jamais.

1.6.Montrer qu'un contr^ole optimal doit ^etre constant.

2est constant et non nul (carp1est constant et deja nul), on auconstant

1.7.On admet l'existence de solution, en deduire l'expression du contr^ole

1.8.En deduire l'expression du temps minimal en fonction de (q0;_q0).

1.9.Montrer que, dans le plan (x1;x2) = (q;_q), les trajectoires optimales

1.10.Donner l'allure de la synthese dans le plan (q;_q). [Dessiner approxi-

Voir Figure 1.

Zermelo-Markov-Dubins,

2.1.Montrer que sijwj 1, le probleme n'admet pas necessairement de

Ecrire le hamiltonien du probleme.

H=p0+px(w+ cos) +pysin+pu

2.4.Appliquer la condition de maximisation pour determiner les contr^oles

On a presque partoutu(t) = sgn(p(t)) sip(t)6= 0.

2.5.En deduire que, le long d'une extremale optimale, on a

0 =p0+pxw+pxcos(t) +pysin(t) +jp(t)j; t2[0;tf]:

2.6.Montrer que

Commande optimaleExam CCu =-npie