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Mathématiques 3
CHAPITRE 1 – CALCUL NUMÉRIQUE. © Hachette Livre 2012
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Thème 1: Calcul numérique
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24 jui 2009 · Exercices : Dans les exercices qui suivent le détail des opérations est exigé 1 Suites d'opérations : Calculer A = 7 - 2 - 3 = ;
Comment faire un calcul numérique ?
Priorités de calcul : Les calculs se font dans l'ordre des priorités suivant : 1/ Les calculs entre parenthèses 2/ Les puissances 3/ La multiplication et la division 4/ L'addition et la soustraction 5/ En cas d'opérations de mêmes priorités, de gauche à droite.Quelles sont les règles de calcul ?
On calcule la valeur d'une expression littérale lorsque l'on attribue une valeur aux lettres contenues dans l'expression. Si une même lettre est utilisée plusieurs fois, on lui attribue le même nombre à chaque fois. Exemple 1 : Calculer l'expression A = 5 × ( 6 ? x ) + 3 x ? 7 y lorsque et .Comment faire un calcul littéral 3ème ?
Deux règles de priorité
Quand il y a des parenthèses, on effectue en premier les calculs entre parenthèses. Quand il y a plusieurs signes opératoires, on effectue les multiplications et les divisions avant les additions et les soustractions.
3ème Cours calcul numérique
1I Ecritures fractionnaires
a) Quotients égaux - égalité des produits en croixQuotients égaux
Propriété :
On ne change pas un quotient en multipliant ou en divisant son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul.Exemples :
4374,07,3
-=- 6 5 767)5( 42
35-=´
Egalité des produits en croix
Propriété :
Si a, b, c et d désignent des nombres relatifs avec b ¹ 0 et d ¹ 0, dire que a b = c d revient à dire que a´d = b´c. b) Addition et soustractionLes dénominateurs sont les mêmes.
Pour additionner (ou soustraire) deux nombres relatifs en écriture fractionnaire de même dénominateur, on additionne (ou soustrait) les numérateurs et on garde le même dénominateur. si k¹0, on a donc : k ba k b k a+=+ et k ba k b b a-=- exemple : 3 5,6 3 5,6 3 5,07 3 5,0 37-=-=+-=+-
x 10 x 10 : 7 : 73ème Cours calcul numérique
2Les dénominateurs sont différents
Pour additionner (ou soustraire) deux nombres relatifs en écriture fractionnaire de dénominateurs différents, on les réduit au même dénominateur en utilisant la propriété des quotients égaux. exemples : 6 13 6 15 6 2 2 5 31=+-=+-
(on remplace chaque quotient par un quotient égal de dénominateur 6) c) Multiplication Pour multiplier deux nombres relatifs en écriture fractionnaire, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.Si a, b, c, d désignent des nombres (b
¹0 et d ¹0), alors : a c a c
b d b dExemple :
7 8 7 8 7 4 2 14
4 3 4 3 4 3 3
Il faut penser à simplifier avant d'effectuer les produits. d) Nombres inverses - DivisionNombres inverses
Définition et propriétés :
Deux nombres sont inverses si leur produit est égal à 1. ( 2 et 0,5 ; 10 et 0,1 ; 3 et 13 ; -5 et -0,2 .....)
L'inverse d'un nombre relatif a non nul ( ¹ 0) est le nombre 1 a.On le note aussi a-1.
3ème Cours calcul numérique
3 a et b désignant des nombres relatifs non nuls, l'inverse de a b est b a.Exemples :
L'inverse de 10 est 1
10 ( soit 0,1) ; l'inverse de -6 est 1
-6 ou -16 .( en effet -6 ´ -
1 6 = -6-6 = 1 .)L'inverse de
3 7 ; est 7 3 . On peut noter 7 -1 = 7 3 On peut calculer la valeur approchée de l'inverse d'un nombre avec la calculatrice en utilisant la touche x -1 ou 1/x Attention : Il ne faut pas confondre inverse et opposé : l'inverse de 4 est 1 4 ; son opposé est - 4.Division
Pour diviser par d
c (avec c¹0 et d¹0) on multiplie par son inverse c d .On a donc :
a b c d =a b´d c avec b¹0, c¹0 et d¹0.Exemples :
· 21
20 3 4 7 5 4 3: 75-=´-=-.
· 2 7 2 3 6
5 3 5 7 35
3ème Cours calcul numérique
4 e) Méthode : Conduire un calculExemple :Calculer B = 5 1 3 124 8 8 2
3ème Cours calcul numérique
5II Puissances d'un nombre relatif
a) DéfinitionSoit a un nombre non nul et n un entier positif :
on note " a exposant n" le nombre noté a n égal à : an = a ´ a ´ a ´ ....... ´ a n fois n s'appelle l'exposant.Exemples : 6
3 = 6 ´ 6 ´ 6 = 216
(-2)4 = (-2) ´ (-2) ´ (-2) ´ (-2) = 16.
b) Puissance et calculatrice Les puissances de nombres peuvent se calculer à la machine ; il suffit d'utiliser la touche ou ou ou c) Cas particuliersOn admet les propriétés suivantes :
a0 = 1, a1 = a , a-n = 1
an exemples : 30 = 1 ; 171 = 17 ; 6-2 = 1 6² xy yx ^3ème Cours calcul numérique
6 d) Règles sur les puissancesRègle Exemples
a m ´´´´ an = am + n 33 ´ 34 = 33+4 = 37
2²´ 33 : la règle ne s'applique pas
a m an = am - n 4 345 = 43-5 = 4-2
6 26-5 = 62-(-5) = 67
( ) am n = am ´´´´ n (23)5 = 23´5 = 215
( a´´´´ b)n = an ´´´´ bn
( 5 ´ 7)4 = 54 ´ 74 b n = a n bn 5 7 = 2 7 57e) Ecriture scientifique
Définition
Mettre un nombre sous forme scientifique, c'est l'écrire sous la forme a´ 10n
ou -a´ 10n , avec
1£ a < 10 et n entier relatif.
Exemples : 4503 = 4,503
´ 103
0,081 = 8,1
´ 10-2
182 = 1,82
´ 10²
-0,00023 = -2,3´ 10-4
Application :
Mettre sous forme scientifique les nombres suivants :433219 = 4,33219 x 10
5;50000 = 5 x 10
4; 0,06´ 103 = 6 x 101;
405´ 10-10 = 4,05 x 10-8
3ème Cours calcul numérique
7 f) Ordre de grandeurExemple :
La France a environ 60 000 000 d'habitants ; 60 000 000 = 6 x 10 7 La population de la France se compte en dizaines de millions d'habitants ; 107 est l'ordre de grandeur de cette population.
g) Préfixes & puissances de 10Puissance
préfixe symbole exemple103 kilo- K kilogramme
106 méga- M mégatonne ; mégaoctet
109 giga- G gigawatt
1012 téra- T térawatt ( puissance centrale nucléaire )
1015 péta- P
1018 exa- E
1021 zetta-
1024 yotta- masse Neptune » 1026 Kg
10-3 milli- m millilitre
10-6 micro- mmmm microgramme
10-9 nano- n nanomètre ( taille des virus )
10-12 pico- p picomètre ( atomes )
10-15 femto- f femtomètre
10-18 atto- a structure de la matière: ex : masse électron : 9,1
´ 10-31 Kg
............ 10-21 zepto-10-24 yocto-
cas particulier : l'angstrom : Ă ( 10 -10 mètre )quotesdbs_dbs22.pdfusesText_28[PDF] cours méthodes numériques pour l'ingénieur+pdf
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