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eParisIXDauphine

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ematiquesdelad ecision

Notesdecours

ALGEBRE2

GuillaumeCARLIER

L1,ann

ee2006-2007 2 precedentes. 3 4

Tabledesmatieres

1Espacesvectoriels7

2Applicationslineaires14

3Representationmatricielle20

d'unvecteur........................24 5

4Determinants27

valeurspropres......................35 6

Chapitre1

Espacesvectoriels

similaire.

1.1Espacesvectoriels

{Eestunensemble, (elementneutre)90E2Eavec8x2E;x+0E=0E+x=x (oppose)8x2E;9(x)2Eavecx+(x)=(x)+x=0E (commutativite)8(x;y)2E2;x+y=y+x E 2, i)1:x=x ii):(x+y)=:x+:y iii):(:x)=():x iv)(+):x=:x+:x faconanalogue,enremplacantRparC.

Ilfautconna^trelesexemplessuivants

\produit"estencoreunespacevectoriel. 7 vectoriel.

1.2Sous-espacesvectoriels

Denition1.2Sous-espaceVectorielS.E.V.

FestunS.E.VdeE,02F

8(x;y)2F2;8(;)2R2;x+y2F

Remarque:

8(x;y)2F2;82R;x+y2F

ouencoreque

8(x;y)2F2;82R;x+y2F:

Vect(A).Onmontreque

Vect(A)=fx2Ejx=kX

i=1 iai;i2R;ai2Ag

1.3Basesd'unespacevectoriel

combinaisonlineaire(nie)d'elementsdeG.

GfamillegeneratricedeE,8

:8x2E;9(1;:::;p)2Rp;9(g1;:::;gp)2Gp avecx=pX i=1 igi: 8 libredeEsietseulementsi siPp i=1ixi=0;alors1==p=0: siBestlibreetgeneratrice. encoreunepartiegeneratrice.

Onalacaracterisationsuivantedesbases:

E,onalesequivalences:

{LestunebasedeE, {Lestunefamillelibremaximale, {Lestunefamillegeneratriceminimale. contenantunnombrenid'elements). (endimensionquelconque). queLBL[G. decardinaln. 9 tion,onposedim(f0g)=0. base. basesendimensionnie. lineairedesei: x=nX i=1 iei:

Sideplusdim(F)=dim(E),alorsF=E.

engendreparS: rang(S)=dimVect(S)

Propriete1.41.rang(S)p.

2.rang(S)=psietseulementsiSestlibre.

quel'onpeutextrairedeS.

4.siEestdedimensionnien,alorsrang(S)n.

generatrice. 10

1.4Sommedirectedesous-espacesvectoriels

Edenipar

F=fx1+x2jx12E1;x22E2g

OnnotecettesommeF=E1+E2.

Remarques:

{E1+f0Eg=E1etf0Eg+E2=E2. {E1+E2=E2+E1. appartientaE1ouaE2. E 1[E2: E

1+E2=Vect(E1[E2):

E deE1+E2. deuxsous-espacesvectorielsdeE.Alors dim(E1+E2)=dim(E1)+dim(E2)dim(E1\E2):

E.OnditquelasommedeE1etE2estdirectesi

E

1\E2=f0g

OnnotealorslasommedeE1etE2:E1E2.

11 yaequivalenceentre

1.LasommeE1+E2estdirecte.

3.B1\B2=;etB1[B2estunebasedeE1+E2.

4.dim(E1)+dim(E2)=dim(E1+E2).

EsontsupplementairesdansEsi

E

1E2=E:

Remarques:

etseulementsi, E

1\E2=f0getE1+E2=E:

alors dim(E1)+dim(E2)=dim(E): estunebasedeE. existeE2s.e.v.deEtelqueE=E1E2.

Notonspournirlacaracterisation:

E

1E2telquex=x1+x2.

12

1.5Sommedirectedeksous-espacesvecto-

riels E

1++Ek=fx1++xkou8i2f1;:::;kg;xi2Eig

E

1++Ek.

dim(E1++Ek)dim(E1)++dim(Ek):

Vect(E1[[Ek).

,xk2Ek,telsquex1++xk=0E,onax1==xk=0E.

Remarques:

E lesoit.

1.LasommeE1++Ekestdirecte.

2.dim(E1)++dim(Ek)=dim(E1++Ek).

pourquelasommeE1++Eksoitdirecte. x 13

Chapitre2

Applicationslineaires

DanscequisuitEetFdesignentdeuxR-e.v..

2.1Denitionsetvocabulaire

f:E!Fquiverie: {8(x1;x2)2EE;f(x1+x2)=f(x1)+f(x2) {82R;8x2E;f(x)=f(x) seulementsi

Denition2.2

phismedeEsurF. unendomorphismedeE.

L(E)estl'ensembledesendomorphismesdeE.

Exemples:

unendomorphismedeE. 14

8X2Mp;1(R);fA(X)=AX

estuneapplicationlineaire.

Proposition2.1

uneapplicationlineairedeEdansF:

8f2L(E;F);8g2L(E;F);f+g2L(E;F):

alorsfestuneapplicationlineairedeEdansF:

8f2L(E;F);82R;f2L(E;F):

8f2L(E;F);8g2L(F;G);gf2L(E;G):

uneapplicationlineairedeFdansE: pacevectorielsurR.

2.2Proprieteselementaires

lanotiond'applicationlineaire.

Proposition2.2

15

8(1;:::;k)2Rk;8(x1;:::;xk)2Ek;onaf(kX

i=1 ixi)=kX i=1 if(xi):

Enpratique:

assezfacile), i)onmontrequefverieladenition, composeed'applicationslineaires. i)soitquef(0E)6=0F, ii)soitqu'ilexistex2Etelquef(x)6=f(x),

2.3Imageetnoyaud'uneapplicationlineaire

dansF. deFdeniepar:

Im(f)=f(E)=fy2Ftelque9x2Eavecy=f(x)g:

par:

Ker(f)=f1(f0Fg)=fx2Etelquef(x)=0Fg:

Proposition2.3

deF. 16 rieldeE.

3.festinjectivessiKer(f)=f0g.

4.festsurjectivessiIm(f)=F.

2.4Casdeladimensionnie:letheoreme

durang

2.4.1Letheoremedurangetsesapplications

estunefamillegeneratricedeIm(f).

Remarques:

rangdelafamilleff(e1g;:::;f(ek)g: dim(Im(f))=rgff(e1g;:::;f(ek)g: dim(Im(f))+dim(Ker(f))=dim(E) l'imagedef.

Remarques:

17 deE. denition)estinferieureouegaleacelledeF.

Fsietseulementsidim(Im(f))=dim(F).

uneapplicationlineairedeEdansF.

Alorsona

dim(E)dim(F): dim(F)dim(E): dim(F)=dim(E):

2.4.2Letheoremedurangsidim(E)=dim(F)

onalesequivalencessuivantes: finjective,fsurjective,fbijective

2.5Projections

E 18 x

1.p2L(E),

2.Im(p)=E1etKer(p)=E2,

3.pp=p.

Onalaformedereciproquesuivanteaupoint3:

1.Ker(p)Im(p)=E

Ondenitalorssimplement:

19

Chapitre3

Representationmatricielle

parl'imaged'unebase uneapplicationlineaireparunematrice.

8j2f1;:::;ng;f(ej)=vj;

Remarques:

del'imaged'unebasequelconque.

L(E;F),alors

8i2f1;:::;ng;f(ei)=g(ei),f=g:

3.2Matricesetapplicationslineaires

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