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République Algérienne Démocratique et Populaire UniǀersitĠ des Sciences et de la Technologie d'Oran Mohamed BOUDIAF

Faculté des Mathématiques et Informatique

Département de mathématiques

Notes de Cours et exercices corrigés

d'Analyse numérique I

Présentée par

Dr. Nassima KHALDI

U.S.T.O 2018/2019

Table des matières

Introduction 3

1 Notions d"erreurs 4

1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2 Erreurs absolue et relative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2.1 Erreur absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2.2 Erreur relative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2.3 Majoration des erreurs absolue et relative . . . . . . . .

5

1.3 Chiffres significatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.4 Arrondissement et représentation des nombres . . . . . . . . . .

9

1.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.6 Corrigés des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

2 Interpolation polynomiale 14

2.1 Existence du polynôme d"interpolation . . . . . . . . . . . . . .

14

2.2 Erreur d"interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

2.3 Interpolation de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.4 Interpolation de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.4.1 Relation entre différence divisées et les dérivées . . . . .

23

2.4.2 Erreur d"interpolation de Newtom . . . . . . . . . . . .

23

2.4.3 Interpolation de Newton dans le cas équidistant . . . . .

24

2.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

2.6 Corrigés des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

3 Dérivation et intégration numérique 33

3.1 Dérivation numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

3.1.1 Utilisation de la formule de Taylor . . . . . . . . . . . .

33

3.1.2 Utilisation des formules d"interpolation . . . . . . . . .

35

3.2 Erreur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

3.2.1 Dérivée premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

3.2.2 Dérivée second d"ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

3.3 Integration numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39
1

3.3.1 Méthodes des rectangles . . . . . . . . . . . . . . . . . .40

3.3.2 Méthode des Trapèzes . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

3.3.3 Méthode de Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

3.3.4 Erreurs de quadrature . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

3.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

3.5 Corrigés des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

4 Résolution d"équations algébriques 51

4.1 Méthode de Dichotomie (ou bissection) . . . . . . . . . . . . .

51

4.1.1 Etude de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

4.2 Méthode de Newton-Raphson . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54

4.2.1 Etude de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55

4.3 Méthode de point fixe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57

4.4 Exercies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61

4.5 Corrigés des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

62

Bibliographie 66

2

Introduction

Ce document notes de cours d"analyse numérique avec exercices corrigés re- couvre le programme d"analyse numérique I de la deuxième année universitaire

L.M.D.

Le lecteur trouvera une partie cours et à la fin de chaque chapitre une partie exercices corrigés. Il est destiné principalement aux étudiants de la 2 ème année L.M.D. L"objectif de l"analyse numérique est de concevoir et d"étudier des méthodes de résolution de certains problèmes mathématiques (en général issus et de la modé- lisation de problèmes réels), a titre d"exemples : commande optimale, structure (pneus, carrosserie, ...), biologie mathématique : propagation d"épidémie ..., modèle mathématique en médecine : cardiologie, cancer ..., et bien d"autres ap- plications. En pratique, l"analyse numérique se propose d"étudier les propriétés mathéma- tiques des algorithmes et leur mise en oeuvre (programmation). Ce polycopie se décompose en quatre chapitres :

Le premier chapitre : Notions d"erreurs.

Le deuxième chapitre : Interpolation polynomiale. Le troisième chapitre : dérivation et intégration numérique. Le dernier chapitre : résolution d"équations algébriques. 3

Chapitre 1

Notions d"erreurs

1.1 Introduction

L"analyse numérique se distingue des autres champs plus classiques des ma- thématiques. En effet, pour un problème donné, il est possible d"utiliser plu- sieurs techniques de résolution qui résultent en différents algorithmes. Ces al- gorithmes dépendent de certains paramètres qui influent sur la précision du ré- sultat. De plus, on utilise en cours de calcul des approximations plus ou moins précises. Par exemple, on peut remplacer une dérivée par une différence finie de façon à transformer une équation différentielle en une équation algébrique. Le résultat final et son ordre de précision dépendent des choix que l"on fait. Une partie importante de l"analyse numérique consiste donc à étudier et évaluer les erreurs pour les réduire.

1.2 Erreurs absolue et relative

Les quantités10,p2; eet13

sont exactes. Maisp2 = 1:414; e= 1:71et 13 = 0:333sont des quantités approximatives. Puisqu"il y a toujours un ecart entre la valeur exacte et la valeur approchée donc il y a une erreur.

1.2.1 Erreur absolue

Définition 1.1Soitxune quantité à calculer etxla valeur calculée ( la valeur approchée dex). L"erreur absolue dex(surx), est définie par : E a(x) =jxxj:(1.1) Exemple 1.1On suppose que la valeur exacte estx= 17;001et que les va- leurs mesurées sont : x

1= 16;01,x2= 18;01etx3= 17. Alors, on a

E a1(x) =jxx1j= 0:991 4 E a2(x) =jxx2j= 1:009 E a3(x) =jxx3j= 0;001: Comme l"erreur absolueEa3(x)est la plus petite alorsx3= 17est la valeur la plus proche dex. Ainsi la valeur approchéexest plus précise lorsque l"erreur absolue dexest plus petite.

1.2.2 Erreur relative

Définition 1.2Soitxune quantité à calculer etxla valeur calculée ( la valeur approchée dex). L"erreur relative est définie par : E r(x) =Ea(x)jxj:(1.2) Généralement, on donne l"erreur relative sous la forme de pourcentage tel qu"on multiplieEr(x)par100%. Exemple 1.2On reprend l"exemple précédentx= 17valeur approchée dex, alors E r(x) =Ea(x)jxj=0;001j17;001j=10317001103=117001

AlorsEr(x)'6103%:

1.2.3 Majoration des erreurs absolue et relative

En pratique, il est difficile d"évaluer les erreurs absolue et relative, car on ne connaît généralement pas la valeur exacte dexet l"on n"a quex. Pour les apprécier on introduit la notion de majorant de l"erreur absolue et de l"erreur relative. Définition 1.3On définit un majorant de l"erreur absoluexd"une valeur approchéexpar : E a(x) =jxxj x,xxxx+ x tel quexest un nombre réel positif. Définition 1.4On définit un majorant de l"erreur relativexd"une valeur approchéexpar : E r(x) =Ea(x)jxjx(1.3) tel quexest un nombre réel positif 5 Par suite le majorant de l"erreur relative àxest défini par x=xjxj:(1.4) Dans le cas de quantités mesurées expérimentalement dont on ne connaît que la valeur approximative, on dispose souvent d"une borne supérieure pour l"erreur absolue qui dépend de la précision des instruments de mesure utilisés. Remarque 1.1Soitxun nombre tel quex1xx2alorsx=x1+x22 est une approximation dexavec une majoration de l"erreur absoluex=x2x12 Exemple 1.3Une surface est donné parx= 60m22%:L"erreur relative à la valeur approchéex= 60m2estx= 0;02. Alors l"erreur absolue est : x=xx= 600;02 = 1;2m2: D"où, la surface exacte estx2[xx; x+ x] = [58:8;61:2]: Proposition 1.1(Addition) Soientx,ydeux valeurs positives,xetydeux valeurs approchées dexetyrespectivement. Alors on a

1.(x+y) = x+ y;

2.(x+y)max(x;y):

Preuve.

1.

On a xxxx+ xetyyyy+ y. Alors

(x+y)(x+ y)x+y(x+y) + x+ y Ainsix+ yest un majorant de l"erreur absolue dex+y, donc (x+y) = x+ y: 2. On a (x+y) =(x+y)jx+yj=x+ yx +y=xx x jx+yj+yy y jx+yj =x1+y2où1=xjx+yj>0; 2=yjx+yj>0et1+2= 1

max(x;y)1+max(x;y)2= (1+2)max(x;y) = max(x;y):Proposition 1.2(Soustraction) Soientx,ydeux valeurs positives,xety

deux valeurs approchées dexetyrespectivement. Alors on a 6

1.(xy) = x+ y;

2.(xy)x+yx

ymax(x;y):

Preuve.

1.

On a xxxx+ xetyyyy+ y. Alors

(xy)(x+ y)xy(xy) + x+ y Ainsix+yest un majorant de l"erreur absolue dexy, et par suite (xy) = x+ y: 2. On a (xy) =(xy)x y=x+ yx y xx x x +yx +yx y+yy y x +yx +yx y = [x1+y2]x+yx y [max(x;y)1+ max(x;y)2]x+yx y (1+2)max(x;y)x+yx y x+yx ymax(x;y) avec1=xjx+yj>0; 2=yjx+yj>0et1+2= 1:Exemple 1.4Soinentx= 34217ety= 34213avecx= 0;1%ety=

0;01%. On a

x=xjxj= 0;00134217 = 34;217 y=yjyj= 0;000134213 = 3;4213:

D"où

(xy) = x+ y= 37;6383'38:

Alorsxy= (xy)(xy) = 437;6383Et

(xy) =(xy)x y= 9;409575'941%: Proposition 1.3(Multiplication) Soientx,ydeux valeurs positives,xet y deux valeurs approchées dexetyrespectivement. Alors on a 7

1.(xy) =xy+yx;

2.(xy) =x+y:

Preuve.

1.

On a xxxx+ xetyyyy+ y. En supposant

quexx >0etyy >0;donc (xy)(yy)xy(x+ x)(y+ y) ,xyxyyx+ xyxyxy+xy+yx+ xy Si on néglige l"erreur de second ordrexy, on obtient x yxyyxxyxy+xy+yx Ainsixy+yxest un majorant de l"erreur absolue dexy;donc (xy) =xy+yx: 2.

Pour l "erreurr elative,on a

(xy) =(xy)x y=xy+yxx y=xx +yy =x+y:Proposition 1.4(Division) Soientx,ydeux valeurs positives,xetydeux valeurs approchées dexetyrespectivement. Alors on a 1.(xy ) =xy+yxy 2; 2.(xy ) =x+y:

Preuve.Voir le corrigé de l"exercice 4.

1.3 Chiffres significatifs

Définition 1.5Un chiffre significatif d"un nombre approché est le seul chiffre qu"on doit garder, c"est à dire tout chiffre dans sa représentation décimale différent du zéro; et un zéro qui se trouve entre deux chiffres, ou il constitue un chiffre conservé. Exemple 1.5Une approximation à5décimales de0:02010est

0:02010les zéros soulignés ne sont pas significatifs car ils ne servent qu"à in-

diquer les ranges des autres chiffres.

0:02010Le zéro souligné étant placé entre les chiffres significatifs2et1, zéro

est lui même un chiffre significatif.

0:02010le zéro souligné traduit le fait que le nombre approché a conservé la

décimale105, c"est un chiffre significatif. 8 Définition 1.6Un chiffre significatif d"un nombre approchéxest dit exact (c s e) si l"erreur absolue dexvérifie : x0;510m avecmest le rang de ce chiffre significatif.

D"où

Si x0;510n;alors lenèmechiffre significatif après la virgule est exact Si : x0;510n1;alors lenèmechiffre significatif avant la virgule est exact.

Propriétés :

1. Si un chiffr esignific atifest exact, alors tous les chiffr esà sa gauche sont exacts. 2. Si un chiffr en "estp asexact, alors tous c euxà sa dr oitene le sont p as.

Exemple 1.61.On appr ochex=aux= 3;14. On a

(x) = 0;0015920;5102:quotesdbs_dbs28.pdfusesText_34

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