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Université des Sciences et de la Technologie d'Oran - Mohamed Boudiaf

Faculté de Génie Mécanique

Département de Génie Mécanique

AAnnaallyyssee

NN uu mm rr ii qq uu ee RR ee cc uu ee ii ll dd EE xx ee rr cc ii cc ee ss CC oo rr rr ii gg ss

CCaallccuull eett PPrroogg

rr aa mm mm aa tt ii oo nn Conformément au programme du module de Math5 de 2

ème année LMD ST

Izidi Lahouari

2014
S

Soommmmaaiirree

1

Analyse numérique .................................................................................

01 2

Analyse de l'erreur dans le calcul numérique.....................................................05

3

Recherche des zéros d'une fonction à une seule variable.......................................12

3 1 Méthode de dichotomie (bissection).........................................................14 3 2 Méthode de Newton (Newton-Raphson)....................................................15 4

Dérivation numérique...............................................................................18

4 1

Schéma excentré avant.........................................................................20

4 2

Schéma excentré arrière........................................................................20

4 3

Schéma centré...................................................................................20

5

Intégration numérique...............................................................................21

5 1 Méthode des trapèzes...................................................... .....................21 5 2 Méthode de Simpson...........................................................................22 6 Interpolation numérique par le polynôme de Lagrange.........................................26 7

Résolution des équations différentielles..........................................................31

7 1 Méthode d'Euler................................................................................33 7 2 Méthode de Taylor..............................................................................34 7 3 Méthode Runge Kutta d'ordre 2..............................................................35 7 4 Méthode de Runge Kutta d'ordre 4..........................................................35 8

Résolution des systèmes d'équations linéaires...................................................38

9 Sujets d'examens...................................................... ...............................47 9 1

Sujets de contrôles continus avec corrigé type...............................................47

9 2 Sujet d'examen final avec corrigé type......................................................53 9 3 Sujet d'examen de rattrapage..................................................................57

AAnnaallyyssee NNuumméérriiqquuee

RReeccuueeiill dd''EExxeerrcciicceess CCoorrrriiggééss

CCaallccuull eett PPrrooggrraammmmaattiioonn

Conformément au programme

du module de Math5 de 2

ème

année LMD ST Ce document propose un recueil d"exercices corrigés d"analyse numérique. Le contenu est adapté au programme du module de math5 de 2

ème

année LMD ST. Les techniques de calcul avec les différentes méthodes numériques sont présentées ainsi que les formulations et les algorithmes de chaque méthode. Il fournit aussi aux étudiants des programmes de calcul typiques des méthodes sous le langage de programmation Fortran . Ces programmes pourront facilement être implémentés sur ordinateur. Enfin, Des sujets d"examens sont présentés avec les corrigés type. J"espère que les étudiants trouveront dans cet ouvrage un support pour maitriser les fondements des méthodes numériques et de leur programmation. I zidi Lahouari

Avant propos

Ce document propose un recueil d'exercices corrigés d'analyse numérique. Le contenu est adapté au programme du module de math5 de 2

ème

année LMD ST. Les techniques de calcul avec les différentes méthodes numériques sont présentées ainsi que les formulations et les algorithmes de chaque méthode. Il fournit aussi aux étudiants des programmes de calcul typiques des méthodes sous le langage de programmation Fortran. Ces programmes pourront facilement être implémentés sur ordinateur. Enfin, Des sujets d'examens sont présentés avec les corrigés type. J'espère que les étudiants trouveront dans cet ouvrage un support pour maitriser les fondements des méthodes numériques et de leur programmation. I zidi Lahouari

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Caallccuull eett PPrrooggrraammmmaattiioonn

Conformément au programme du module de Math5 de 2

ème

année LMD ST I zidi Lahouari

USTO-MB 2014

A

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CCoonnffoorrmméémmeenntt aauu pprrooggrraammmmee dduu mmoodduullee ddee MMaatthh55 ddee 22èèmmee aannnnééee LLMMDD SSTT

Par

Izidi Lahouari

Maître de conférences à l"USTO-MB

Analyse Numérique L. Izidi

Analyse Numériques

1

Définition de l"analyse numérique

Le domaine

de l'analyse numérique est une branche qui regroupe deux grands domaines de la science de l'ingénieur : mathématique et informatique.

L'aspect mathématique

de l'analyse numérique consiste à modéliser une solution à un problème à travers des opérateurs de l'analyse mathématique ߲, , ,݁ݐܿ) ainsi que l'étude

des caractéristiques analytiques de ce procédé (convergence, unicité de solution ...etc.).

L'aspect algorithmique de l'analyse numérique consiste à approximer le modèle mathématique par un autre numérique définit seulement au moyen des opérateurs arithmétiques (+, -, /, *, , testes, répétitions ... etc.), qui peut être facilement implémenté par la suite sur un ordinateur à travers un langage de programmation. En bref, l'objectif de l'analyse numérique consiste à trouver des algorithmes informatiques implémentant ou approximant un modèle analytique résolvant un problème scientifique donné. Exemple : approximer l'opérateur analytique d'intégral par un opérateur arithmétique c'est-à-dire approximer la surface par une somme des surfaces des rectangles résultants de la discrétisation du domaine [a , b] e points. Une conséquence immédiate de l'approximation d'un modèle mathématique par un autre numérique, est l'écart entre la solution exacte qui résulte du modèle mathématique contre la solution approchée résultant du modèle numérique d'approximation. Cet écart est appelé erreur de troncature. 1

Analyse Numérique L. Izidi

2

Définition de l"erreur de troncature

C'est l'erreur qui résulte lorsqu'on passe d'un problème continu à un problème discret, générée lorsqu'on remplace une relation exacte par une autre, plus simple ou plus facilement manipulable. L'objectif de l'analyse numérique et de pouvoir toujours effectuer ce passage en minimisant cette erreur.

1.1. Mesures d'erreur

Soit A la solution exacte d'un problème donné et Aഥ sa solution approchée.

L'Erreur absolue est définit par A - Aഥ

L'Erreur relative est définit par

A െ Aഥ

A Une autre source d'erreur provient de l'outil utilisé pour implémenter les méthodes numériques qui est l'ordinateur. L'ordinateur puissant et rapide ne peut en aucun cas représenter fidèlement l'ensemble continu R des valeurs réelles. Un nombre réel est toujours stocker sur l'ordinateur avec une certaines perte d'information. Cette perte d'information est appelée erreur d'arrondi et tend à s'amplifier avec l'arithmétique de l'ordinateur.

3. Représentation d'un nombre réel :

Un nombre réel est stocker sous une forme exponentielle normalisée s*m*b e où : s : signe du nombre m : mantisse b : base de représentation e : exposant La mantisse et l'exposant sont toujours représentés dans la base b.

Si b = 10

Exemple

La forme normalisée de

52,2
est 0.52 *10 2

La forme normalisée de

0.003656

est

0.3656 *10

-2 2

Analyse Numérique L. Izidi

Si b = 2

Exemple

La forme

normalisée de

110.0110

est

0.110011*2

11 plus exacte : 0.11001 1 2 *10 2 11

0.110011

2 est la mantisse 10 2 = 2 10 est la base 1 1 2 =3 10 est l'exposant

0.000010111

2 est normalisé comme 0.10111 *10 2 -100

3.1. Précision de l'ordinateur :

Le nombre décimal le plus petit en valeur absolue représenté par un ordinateur et lorsqu'il est additionné à 1.0 produit un résultat décimal différent de 1.0 est appelé précision de la machine et est nommé (epsilon machine).

3.2. Chiffres significatifs :

La précision d'une valeur se mesure par le nombre de chiffres significatifs qu'il contient. 1

Un chiffre est significatif s'il est non nul

2 Un zéro est significatif s'il est entre 2 chiffres significatifs 3 Le zéro n'est jamais significatif s'il précède les chiffres significatifs non nuls

Exemple :

1,414 => 4 chif

fres significatifs, 0.000356 => 3 chiffres significatifs.

La valeur 13.2585

avec 6 chiffres significatifs est plus précise que 13.2500 avec 4 chiffres significatifs. La normalisation consiste à traduire un nombre réel en un nombre en forme exponentiellequotesdbs_dbs11.pdfusesText_17

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