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BTS CPRPGroupement BStatistiques descriptivesAnnée AcadémiqueSTATISTIQUES

Table des matières

1 Étude de séries statistiques à une variable

2

1.1 Regroupements par classe, diagrammes statistiques

2

1.2 Caractéristiques de position et de dispersion

2

2 Exemples d"étude de séries statistiques à deux variables

5

2.1 Exemple d"utilisation d"une méthode graphique

5

2.2 Exemple d"utilisation d"une méthode des moindres carrés

6

2.3 Exemple d"ajustement se ramenant à un ajustement affine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3 Annales de BTS groupements B, C, D

8 -1-

BTS CPRPGroupement BStatistiques descriptivesAnnée AcadémiqueExercices : Statistiques Descriptives

Étude de séries statistiques à une variable

Regroupements par classe, diagrammes statistiques

.Exercice 1

Diagramme en bâton

On considère un lot de barres de métal à la sortie d"un machine. On effectue une série de 30 mesures de

longueur et on obtient les résultats suivants en centimètre :

92;3 92;6 92;3 92;6 92;4 92;5

92;5 92;7 92;5 92;2 92;8 92;1

92;4 92;3 92;6 92;5 92;1 92;4

92;8 92;1 92;3 92;4 92;2 92;3

92;2 92;4 92;7 92;3 92;5 92;2

1.

Regrouper cette série en rem plissantle tablea usuiv antoù les nombres xisont les différentes lon-

gueurs placées par ordre croissant et le nombreniles effectifs correspondants.Longueur :xi92,1............

Effectif :ni3............

2. C onstruirele diagr ammeen bâ tonscorrespondan ten plaçan tles v aleursde xien abscisse et les valeurs dnien ordonnée.

Caractéristiques de position et de dispersion

.Exercice 2

Un magasin bien approvisionné

Le 31 décembre dernier, le directeur d"un grand magasin d"informatique a enregistré le montant des

ventes et le nombre d"articles vendus, selon le tableau suivant , oùnidésigne le nombre des articles ven-

dus dont le prix exprimé en euros est situé dans l"intervalle correspondant : -2-

BTS CPRPGroupement BStatistiques descriptivesAnnée AcadémiqueClasse des prixEffectifs :ni[50;150[80

[150;250[160 [250;350[720 [350;450[1 680 [450;550[2 720 [550;650[1760 [650;750[640 [750;850[160 [850;950[801.Donner une v aleurapprochée de l" étendue. 2.

Quelle est la classe modale ?

3. C onstruirel"histogr ammedes e ffectifs cumulés croissants. 4. On f aitl"h ypothèseque les prix son trépar - tis uniformément dans chaque classe. On peut alors remplacer l"histogramme par la ligne bri- sée par l"origine (0;0) et chacun des sommets supérieurs droits des rectangles. Tracer cette ligne brisée. Déterminer alors la valeur approchée à un euro près de la médiane de cette série statistique.

Que représente cette médiane?

.Exercice 3

Le bon réglage

On mesure en millimètre le diamètre de 100

pièces prises au hasard dans la production d"une machine. On obtient les résultats ci- contre. Soitl"écart-type de cette série statistique. dès que >0;13. Faut-il régler la machine?Diamètre en mm :xiEffectifs :ni80,3623

80,3719

80,3821

80,3912

80,4010

80,4110

80,425

.Exercice 4

Longueurs de tiges d"acier

On a mesuré les longueurs en millimètre d"un échantillon de 100 tiges d"acier à la sortie d"un machine

automatique On a trouvé les résultats suivants :Longueur en mmEffectifs :ni[120;125[10 [125;130[20 [130;135[38 [135;140[25 [140;145[71.C onstruirel"histogr ammedes e ffectifs. 2. On suppose que les tig esson tdéf ectueusessi leur longueur est strictement inférieure à 125 mm ou su- périeure ou égale à 140 mm. Quel est le pourcentage de pièces acceptables? 3. On suppose que, dans chaque classe, tous les élé- ments sont situés au centre. Calculer la moyenne et la valeur approchée décimale arrondie à 10 2de l"écart-type de la série statistique ainsi définie. .Exercice 5 Détermination de la médiane par interpolation affine

Le centre de formation d"un groupe industriel confie la frappe de ses manuscrits à une entreprise exté-

rieure spécialisée dans la saisie informatique. Cette entreprise effectue une "première saisie" du manuscrit

qui est envoyé à l"auteur pour correction des fautes de frappe. On s"intéresse à la population constituée

d"un grand nombre de parties, toutes du même nombre de signes, de la "première saisie" du document.

-3-

BTS CPRPGroupement BStatistiques descriptivesAnnée AcadémiqueDe cette population, on extrait un échantillon de 315 parties et on compte sur chacune d"elles le

nombre de fautes de frappe. On a obtenu les résultats suivants, les pourcentages étant arrondis :Nombre de

fautes de frappeNombre de parties en %[75;80[5 [80;85[10 [85;90[20 [90;95[36 [95;100[15 [100;105[8 [105;110[61.C onstruirel"histogr ammedes fréquences de série sta tis- tique. Dans la suite, on admet que la répartition des fréquences est uniformément répartie à l"intérieur de chaque classe. 2. En utilisan tles fréquences cum uléescroissan testr acerle polygonedes fréquences cumulées croissantes. 3.

Déterminer la classe médiane.

Déterminer la médiane Méd.

Que représente Méd?

.Exercice 6

Fabrication mécanique et médiane

Une machine fabrique des tiges pour l"industrie automobile. On mesure la longueur de 100 tiges qui constituent un échantillon et on obtient les résultats suivants :Intervalle en mmCentre des classeEffectifsEffectif cumulé croissant[16;17[16,51... [17;18[17,55... [18;19[18,511... [19;20[19,556... [20;21[20,513... [21;22[21,511... [22;23[22,53... 1. C ompléteraprès l" avoirreprod uitle table auci-dessus. 2.

Déterminer la classe médiane.

On admet pour la suite que dans chaque classe, les éléments sont répartis de manière uniforme.

3. (a) Déterminer gr aphiquementune v aleurapprochée de la médiane. (b) Déterminer par le cal culla v aleurapprochée arrondie à 10

3de la médiane.

4.

On admet dans cette question que la moy ennede cette série sta tistiqueest x= 19;7 et que son écart-

type est= 1;1. Calculer le pourcentage des tiges de l"échantillon qui appartiennent à l"intervalle

[x;x+]. Exemples d"étude de séries statistiques à deux variables

Exemple d"utilisation d"une méthode graphique

.Exercice 7 -4- BTS CPRPGroupement BStatistiques descriptivesAnnée AcadémiqueContrôle de qualité

de 8 mm, elle se dérègle en cours d"utilisation. Le but de l"exercice est de déterminer le nombre de pièces

que l"on pourra produire avant que leur diamètre n"atteigne 8,1 mm. Afin de contrôler la fabrication et de

procéder aux réglages éventuellement nécessaires, on mesure le diamètre pièce dans chaque série de dix

pièces produites. Les résultats obtenus sont les suivants :Numéro de la pièce :xi102030405060708090100

Diamètre (en mm) :yi8,008,008,018,018,028,038,038,048,058,06 1.

Représen terle n uagede poin tsMi(xi;yi) associé à la série statistique précédente dans le plan muni

d"un repère orthogonal.

On prendra pour point d"intersection des axes tracés le point de coordonnées (0;8), pour unité, 1 cm

pour dix pièces en abscisses et 1 cm pour 0,01 mm en ordonnées. 2. C alculerles coordonnées d upoin tmoy enGdu nuage et placer le pointGsur la figure. 3. (a) C alculerles coordonnées d upoin tmoy enG1associé aux points du nuage ayant les cinq plus petites abscisses et les coordonnées du point moyenG2associé aux cinq autres points du nuage. (b) On prend la droite ( G1G2) comme droite d"ajustement et on la trace. (c) Déterminer une équa tionde ( G1G2) sous la formey=ax+b. 4.

Les pièces prod uitesdoiv enta voirun diamètre de 8 mm a vecune tolér ancede 0,01 mm. Déterminer

graphiquement le nombre de pièces que l"on pourra produire avant que le diamètre n"atteigne la

valeur de 8,01 mm, puis calculer ce nombre à l"aide de l"équation trouvée au3.(c)(On arrondira à

l"entier le plus proche). Exemple d"utilisation d"une méthode des moindres carrés .Exercice 8

Des essais de laboratoire

On teste en laboratoire la charge de rupture d"un acier en fonction de sa teneur en carbone.Teneur en carbone :xi70606864666462707462

Charge de rupture (en kg) :yi87717974798075869570

1. Représen tergr aphiquementle n uagede poin tsde coordonnées ( xi;yi).

On prendra en abscisse 1 cm pour une unité, en représentant les abscisses à partir de la valeur 60 et

1 cm pour 2 kg, en représentant les ordonnées à partir de 70.

2. C alculerles coordonnées d upoin tmoy ende ce n uage. 3. Déterminer la v aleurapprochée arrondie à 10

3du coefficient de corrélation linéaire de la série

statistique de variablexety. Interpréter ce résultat. -5-

BTS CPRPGroupement BStatistiques descriptivesAnnée Académique4.Déterminer une équa tionde la f ormey=ax+bde la droiteDde régression deyenxpar la méthode

des moindres carrés. On donnera les valeurs approchées des coefficientsaetbà 103.

Tracer la droiteDsur le graphique.

5. Un acier a une teneur de 77. Donner une estima tionde sa charg ede rupture. .Exercice 9

Ajustement affine et recherche d"un maximum

On indique dans le tableau suivant le prix de vente en euros d"une machine et le nombre d"exemplaires

vendus les quatre dernières années :Rang de l"année1234

Prix de vente (enAC) :xi2 0001 4001 8002 500

Nbre d"exemplaires vendus :

y i198240222160 1.

Représen terle n uagede poin tsMide coordonnées (xi;yi) dans un repère orthogonal où l"on prendra

comme point d"intersection des axes le point de coordonnées (1 400;160). Pour unités, 1 cm pour 100

AC en abscisse et 1 cm pour 10 unités en ordonnées. Vérifier qu"un ajustement affine paraît justifié.

2. Déterminer les coordonnées d upoin tmoy enGdu nuage et le placer. 3. (a) Déterminer une équa tionde la droite Dde régression deyenxpar la méthode des moindres carrés. Les coefficients seront arrondis à 103. (b) C onstruirela droite de régression sur le gr aphique. 4.

En quelle année a- t-oneu le chi ffre d"affairesxiyile plus élevé? Quel est ce chiffre d"affaire?

5. On suppose main tenantque chaque année, le nombre d" exemplairesv endusyet le prix de ventex suivent la relationy=0;08x+349. On noteS(x) le chiffre d"affaire réalisé en vendantymachines valant chacunexAC. (a)

Exprimer S(x) en fonction dex.

(b) Etudier les v ariationsde la f onctionSdéfinie sur [1400;2500] parx7!S(x). (c)

En déd uirele prix de v ented"une machine l" annéede r ang5 si l" onv eutque la somme encaissée

S(x) soit maximale. Quel sera le nombre d"exemplaires vendus à une unité près? Quelle sera la

somme encaissée? Exemple d"ajustement se ramenant à un ajustement affine .Exercice 10

Production automobile

-6-

BTS CPRPGroupement BStatistiques descriptivesAnnée AcadémiqueOn a relevé le nombre d"automobiles produites

par une grande firme européenne pendant huit années dans un pays à l"économie émergente. Les résultats figurent dans le tableau ci-contre : 1.

Représen terle n uagede poin tsM(xi;yi) dans

le plan muni d"un repère orthogonal. On prendra commepoint d"intersectiondes axes le point de coordonnées (0;50000) et pour unités, 2 cm pour une année sur l"axe des abscisses et 1 cm pour 10 000 automobiles sur l"axe des ordonnées.Rang de l"année : x iNbre d"automobiles produites :yi154 000

256 000

370 000

480 000

587 500

6112 922

7138 907

8149 675

2. Un ajustemen ta ffine n"étant pas adapté au nuage précédent, on posezi= lnyi. (a) Après l" avoirrecopié, com pléterle tablea usuiv ant.x i12345678 z i10.897 On fera figurer les valeurs décimales approchées deziarrondies à 103. (b) Ecrire une équa tionde la droite de régression de zenxsous la formez=mx+p. On donnera les valeurs décimales approchées demetparrondie à 103. (c) En déd uirequ"il existe deux nombres réels ettels quey=:xDonner les valeurs appro- chées décimales arrondies à 10

3deet.

(d) On admet que la tendance observ éependan tles huit années v ase poursuivre. Donner une estimation de la production au cours de l"année de rang 11. Donner le rang de l"année au cours de laquelle on peut estimer que la production dépassera 200 000 exemplaires.

Annales de BTS groupements B, C, D

.Exercice 11

Problème de production

Un fabricant de produits manufacturés utilise un jeu de moules qui permet de fabriquer 10 000 pièces par

jour.

Avec un jeu de moules neufs, on obtient des pièces dont la masse est de 18kg. Cette masse augmente

avec l"usure des moules.

On considère toutefois que la production reste acceptable tant que la masse moyenne de pièces choisie

au hasard dans la production se situe dans l"intervalle [16;5;20].

Pour évaluer l"usure d"un jeu de moules au cours de la production, on prélève chaque quinzaine, au

hasard, une palette de pièces que l"on pèse. (La mesure de la masse est le seul contrôle de qualité que l"on

fait subir à la production de ces pièces).

En commençant avec un moule neuf à la date 0, on obtient ainsi la série de mesures suivantes :Numéro de quinzainexi0123456

Masse moyenneyi1818,118,218,418,518,718,9

-7-

BTS CPRPGroupement BStatistiques descriptivesAnnée Académique1.Représen terle n uagede poin tsNi(xi;yi) dans le plan muni d"un repère orthogonal. On prendra

comme point d"intersection des axes le point (0;18) et comme unités :

2 cm pour une quinzaine en abscisse.

4 cm pour 1 kg en ordonnée.

2.

A l" aidede la cal culatrice:

(a) Déterminer la v aleurapprochée arrondie à 10

3du coefficient de corrélation linéaire de la série

statistique double. (b) Déterminer une équa tionde la droite de régression Ddeyenxde la formey=mx+poùmet psont arrondis à 102. (c) Utiliser l" ajustementprécéden tpour estimer a ubout de combien de tem psle rem placementdes moules est nécessaire. .Exercice 12 Exemple d"ajustement après changement de variable

Pour un parc de véhicules d"un grand groupe industriel, on a relevé le nombre de sinistres par véhicule

pendant la première année de mise en service. Pour les véhicules ayant eu, au plus, quatre sinistres, on a obtenu :Nbre de sinistresxi01234

Effectif :ni1 3455082287835

1. C ompléter,après l" avoirreprod uit,le table ausuiv ant:

Nbre de sinistresxi01234

y

i= lnni2.Déterminer à l" aided"une cal culatrice,une équa tionde la droite de régression de yenxsous la forme

y=ax+b, oùaetbsont à arrondir à 102. 3.

A l" aidede l" équationprécéden te,estimer le nombre de v éhiculesa yanteu six sinistres pendan tla

première année de mise en circulation. .Exercice 13

Comparaison de deux ajustements

Tous les résultats numériques sont à arrondir à l"unité, sauf indication contraire.

Une machine est achetée 3 000AC, son prix de reventeyest exprimé en euros et est donné en fonction

dexle nombre d"année d"utilisation par le tableau suivant :x i012345 y i3 0002 4001 9201 3561 229983

1.Ajustement affine

(a) Représen terle n uagede poin ts( xi;yi) dans le plan muni d"un repère orthogonal. On prendra comme unités : -8-

BTS CPRPGroupement BStatistiques descriptivesAnnée Académique•2 cm pour une année en abscisse.

1 cm pour 200 AC en ordonnée.

(b)

C alculerle pourcen tagede déprécia tiond uprix de rev enteaprès les trois premières années

d"utilisation. (c)

Dans cette question, les cal culse ffectués à la calculatrice ne seront pas justifiés. Donner une

équation de la droite de régressionDdeyenxobtenue par la méthode des moindres carrés. Les coefficientsaetbsont à arrondir à l"unité.

ReprésenterDdans le repère précédent.

2.Ajustement exponentiel

On posez= lnyet on admet qu"une équation de la droite de régression dezenxest donnée par z=0;22x+8;01. (a) Déterminer une expression de yen fonction dexde la formey=AxBoùAest arrondi à 102 etBest un réel arrondi à l"unité. (b) En admettan tque y= 0;80x3 011, déterminer après combien d"année d"utilisation le prix de revente dévient inférieur ou égal à 500AC.

3.Comparaison des deux ajustements

Après 6 années d"utilisation, le prix de revente d"un machine est de 780AC.

Des deux ajustements précédents, quel est celui qui semble le mieux estimer le prix de revente après

6 années d"utilisation? Argumenter la réponse.

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