[PDF] Modèle mathématique. savoir calculer la raison d'

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Secteur Mathématiques

213.03 : Les Suites - Evolution Cours 1/7

Algèbre

Leçon N°3 :

Les Suites - Evolution

Introduction

premiers termes au moyen de l'edžemple bien connu du chąteau de carte. Puis nous Ġtudierons les formules permettant ă la fois de calculer

Les objectifs sont les suivants :

- connaître le vocabulaire relatif aux suites arithmétiques et géométriques, géométrique,

- Savoir utiliser la formule de la somme pour une suite arithmétique et une suite géoémtrique.

1- Les suites arithmétiques

A Document N°1 : Approche

On construit un château de carte comme le montre la photo suivante :

1. Déterminer le nombre de carte constituant le niveau le plus

haut, le niveau se situant juste au dessous puis le troisième niveau. (on obtient alors une suite de trois nombres)

2. Quelle opération permet de calculer :

- le deuxième nombre à partir du premier ? - le troisième nombre à partir du second ?

3. Si on désire construire un château de carte de 5 niveaux,

combien de cartes seront nécessaires pour construire le niveau de base ?

9 Réponses :

1. 1ier niveau : 2 cartes, niveau 2 : 5 cartes, niveau 3 : 8

cartes

2. pour le deuxième à partir du premier et les autres il faut ajouter 3.

3. niveau 4 : niveau 3 + 3 = 8 + 3 = 11 niveau 4 : 11 + 3 = 14

9 Sur notre exemple :

Si on appelle Un le terme de la suite de niveau n alors on a :

U1 U2 U3 U4 U5

2 5 8 11 14

donc on a U2 = U1 + 3

U3 = U2 + 3

U4 = U3 + 3

Plus généralement, on a Un = Un-1 + 3

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213.03 : Les Suites - Evolution Cours 2/7

Définition :

On appelle SUITE ARITHMETIQUE de raison r toute suite de nombre de la forme :

Un = Un-1 + r avec r la raison

A Document N°2 : Exemples de suites

9 Sur notre exemple :

U1 U2 U3 U4 U5

2 5 8 11 14

donc on a U2 = U1 + 3

U3 = U2 + 3 = U1 + 3 + 3 = U1 +2 × 3

U4 = U1 + 3 × 3

Plus généralement, on a Un = U1 + (n-1) × 3

Propriété : Calcul du nième terme

Un = U1 + (n-1) × r avec r la raison

9 Sur notre exemple :

U1 U2 U3 U4 U5

2 5 8 11 14

Il faut maintenant calculer le pour le 10ième niveau le nombre de carte : Si on applique directement la formule on en arrive à :

U10 = U1 + (10 - 1) × r

= 2 + 9 × 3 = 29

A Document N°3 : Applications

Exercices 1:

Soit une suite arithmétique Un définie par U1 = 3 et r = 4

1. Ecrire les 6 premiers termes

2. Calculer le 27ième terme

Réponses

1. les 6 premiers termes sont :

U1 = 3, U2 = 7, U3 = 11, U4 = 15, U5 = 19, U6 = 23

2. le 27ième terme :

U27 = U1 + (27-1) × r = 3 + 26 × 4 =107

Exercices 2:

a. 3,1 ; 1,6 ; 0,1 ; -1,4 ; -2,9 b. 3 ; 5 ; 8 ; 10 ; 15 c. 2 ; 4 ; 6 ; 8 ; 10

Réponses

a. oui r = -1,5 b. non c. oui r = 2 http://ducros.prof.free.fr

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213.03 : Les Suites - Evolution Cours 3/7

Exercices 3:

Soit une suite arithmétique de premier terme u1 = 1 et de raison r = 7.

1. Ecrire les quatre premiers termes de la suite.

2. Calculez le terme de rang 100.

Réponses

a. u1 = 1 ; u2 = 8 ; u3 = 15 ; u4 = 22. b. u100 = u1 + (100 - 1). r = 694

Exercices 4:

Application de la relation un = u1 + (n-1)

r

2. Une suite arithmétique a pour premier terme 40 et pour septième terme -20. Déterminer sa raison.

Exercices 5:

Soit une suite arithmétique Un définie par U6 = 32 et U9 = 50

Réponses

Aǀec les donnĠes de l'ĠnoncĠ on peut Ġcrire

32 = x + 5× y (1)

50 = x + 8× y (2)

Soit aussi

32 = x + 31 × y (1)

18 = 3 × y (2-1)

On trouve alors

x = 2 y = 6 Le premier terme de la suite est U1 = 2 et la raison de cette suite est r = 6.

Exercices 6:

Pierre souhaite acheter un camĠscope d'une ǀaleur de 1 200 euros.

Fin janvier, il ne dispose que de 870 euros, mais en faisant des économies, cette somme évolue régulièrement à la fin de chaque mois selon

le tableau ci-dessous.

On note u1 la somme disponible fin janvier.

1. Reportez la valeur de u1 dans le tableau ci-dessous.

Mois Janvier Février Mars Avril Mai Juin

Somme disponible (euros) 870 940 1 010 1 080 1150 1220 un u1 u2 u3 u4 u5 u6 n (rang) 1 2 3 4 5 6

2. Calculez : u2 - u1 , u3 - u2 et u4 - u3. Que remarquez-vous ?

3. Quelle est la nature de cette suite ? Précisez son premier terme et sa raison.

4. Calculez la valeur de u5 et complĠtez l'aǀant-dernière colonne du tableau.

5. Compléter la dernière colonne du tableau en détaillant votre calcul de u6.

Cette somme est-elle suffisante pour acheter le caméscope ?

6. A partir de sa prise de décision (fin janvier), combien de mois Pierre devra-t-il attendre pour pouvoir réaliser son achat ?

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213.03 : Les Suites - Evolution Cours 4/7

Propriété : Calcul de la somme des n premiers termes. S = 2 )(1kUUku avec r la raison

A Document N°4 : Applications

Réponses :

Pour appliquer directement la formule avec k = 10 et U1 = 5, il faut calculer U10 soit ici :

U10 = U1 + 9r = 68

Puis on applique directement la formule précédente :

S = ଵ଴>:9>:<;

6

S = 365

A Document N°5 : Exercices

Exercices 7:

Calculer la somme des nombres impairs supérieurs à 20 et inférieurs à 80.

Exercices 8:

Une entreprise produisait 60 000 unités par an. La production baisse de 3 000 unités par an. Lorsque la production sera nulle, combien aura-t-elle produit d'unitĠs en tout ?

2- Les suites géométriques

A Document N°6 :

La population d'un canton situĠ en zone rurale Ġtait de 3600 habitants au premier janǀier 1996.

En 1996 et 1997, la population a diminué de 8 % par an.

9 Répondre aux questions suivantes :

1. Déterminer la population de ce canton au 31-12-1997 au 31-12-1998.

2. Calculer sur les trois années (1996 à 1998) le pourcentage moyen de diminution de la population.

Réponses :

1- Fin 1997, la population en nombre d'habitant Ġtait de

(3 600 0,92) 0,92 = 3 312 0,92 soit environ 3 047 habitants. Fin 1998, la population en nombre d'habitant Ġtait de (3312 0,94) = 2 864 soit environ 2 864 habitants.

2- Calcul du pourcentage moyen de diminution 1 864 3 600 = 0,796

Soit une diminution en pourcentage de 20,4 % sur 3 ans, soit en moyenne 6,8 % par an. http://ducros.prof.free.fr

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213.03 : Les Suites - Evolution Cours 5/7

A Document N°7 :

On constitue un tas de rondins de bois, en

disposant ces rondins de la façon suivante : Sur la première ligne 1 rondin, puis sur la 2ième 2 rondin, sur la 3ième 4 rondins, sur la 4ième 8

9 Question :

Déterminer le nombre de rondins constituant le

10ième rang.

9 Réponses :

Le nombre de rondin double à chaque rang ainsi on a :

5ième rang : 16 rondins, 6ième rang : 32 rondins, 7ième

rang : 64 rondins, 8ième rang : 128 rondins,

9ième rang : 256 rondins, 10ième rang : 512 rondins.

Dans ce cas, on définit une suite géométrique de raison 2

9 Sur notre exemple :

Si on appelle Un le terme de la suite de niveau n alors on a :

U1 U2 U3 U4 U5

1 2 4 8 16

donc on a U2 = U1 2

U3 = U2 2

U4 = U3 2

Plus généralement, on a Un = Un-1 2

Dans une suite géométrique chaque terme saut le premier se déduit du précédent par une multiplication par un même nombre appelé

raison.

Définition :

On appelle SUITE GEOMETRIQUE de raison q toute suite de nombre de la forme :

Un = Un-1 q avec q la raison

Dans une suite arithmétique, chaque terme, sauf le premier se dĠduit du prĠcĠdent par addition d'un mġme nombre appelĠ raison.

9 Sur notre exemple :

U1 U2 U3 U4 U5

1 2 4 8 16

donc on a U2 = U1 2

U3 = U2 2 = U1 2 2 = U1 22

U4 = U1 × 23

Plus généralement, on a Un = U1 × 2 n-1

Propriété :

Le nième terme d'une suite arithmétique de raiso est donné par la formule :

Un = U1 q n-1 avec q la raison

9 Sur notre exemple :

U1 U2 U3 U4 U5

2 5 8 11 14

Il faut maintenant calculer le pour le 10ième niveau le nombre de carte : Si on applique directement la formule on en arrive à :

U10 = U1 × q10-1

= 1 × 2 9 = 512 http://ducros.prof.free.fr

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213.03 : Les Suites - Evolution Cours 6/7

A Document N°8 : Exercices

Exercices 9:

Soit une suite géométrique Un définie par U1 = 0,35 et q = 2 a. Ecrire les 6 premiers termes. b. Calculer le 27ième terme.

Réponses

a. les 6 premiers termes sont : U1 = 0,35, U2 = 0,7, U3 = 1,4, U4 = 2,8 , U5 = 5.6, U6 = 11,2 b. le 27ième terme :

U27 = U1 × q27 - 1 = 2,34 107

Exercices 10:

Soit une suite géométrique Un définie par U1 = 0,12 et q = 6 a. Ecrire les 6 premiers termes. b. Calculer le 12ième terme.

Réponses

a. les 6 premiers termes sont : U1 = 0,12, U2 = 0,72, U3 = 4,32, U4 = 25,92, U5 = 155,52, U6 = 1933,12 b. le 12ième terme :

U12 = U1 × q 12- 1 = 4,35 107

Exercices 11:

Soit une suite géométrique Un définie par U1 = 4,2 et U3 = 105 Calculer la raison de cette suite géométrique.

Réponses

U3 = U1 q2

105 = 4,2 q2

q2 = 25 soit aussi q = 5. Le premier terme de la suite est U1 = 4,2 et la raison de cette suite est q = 5.

Exercices 12:

Soit une suite géométrique Un définie par U3 = 0,75 et U6 = 0,09375 Calculer la raison et le premier terme de cette suite géométrique.

Réponses

U3 = U1 q2 (1)

U6 = U1 q4 (2)

(2) (1) : q6-3 = q3 = 0,09375 0,75

Soit enfin q = 0,5

U3 = U1 q2 (1)

U1 = U3 q2 = 0,75 0,52

Soit enfin U1 = 3

Exercices 13:

Au cours de l'annĠe 2000, la production a ĠtĠ de 25000 unitĠs.

1) On note P0 = 25000 et Pn la production prĠǀue au cours de l'annĠe (2000+n).

Montrer que (Pn) est une suite géométrique dont on donnera la raison.

2) Calculer la production de l'usine en 2005.

Réponses

1) On calcule les diffĠrentes ǀaleurs aǀec l' " ancienne méthode » ou la nouvelle (les coefficients)

PO = 25 000, P1 = 24 000, P2 = 23040, P4 = 22 118 (arrondi), P5 = 21 234 (arrondi) puis

P6 = 20 384 (correspondant ă l'annĠe 2005)

Exercices 14:

(Seulement pour les BAC PRO TERTIAIRE) On place un capital U0 = 1500 euros à 4,5 % par an avec intérêts simples. On note Un le capital obtenu au bout de n années. a) Donner la nature de la suite (Un) et exprimer Un en fonction de n. b) Calculer la valeur du capital au bout de 10 ans. c) Au bout de combien d'annĠes le capital initial aura t'il doublĠ ͍ http://ducros.prof.free.fr

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213.03 : Les Suites - Evolution Cours 7/7

Exercices 15:

(Seulement pour les BAC PRO TERTIAIRE) On place un capital U0 = 3500 euros à 3 % par an avec intérêts composés. On note Un le capital obtenu au bout de n années. a) Donner la nature de la suite (Un) et exprimer Un en fonction de n. b) Calculer la valeur du capital au bout de 10 ans. Propriété : Calcul de la somme des n premiers termes. S = 1 1 1 uq qU k avec q la raison

A Document N°9 : Application directe

Calculer la somme des 4 premiers termes de la suite géométrique de premier terme 0,12 et de raison q = 0,3

Réponse :

On applique directement la formule :

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