ISCID-CO - PRÉPA 2ème année DIAGONALISATION Université du PDF

Exercices de mathématiques - Exo7

Déterminer les valeurs propres de M. 2. Montrer que M est diagonalisable. 3. Déterminer une base de vecteurs propres et P la matrice de passage. 4

Série dexercices no4/6 Recherche de valeurs propres Résolution

Exercice 2. Méthode de la puissance a) Calculer les valeurs propres et les vecteurs propres de. A = ✓. 10 0. 9 1 ◇ . b) Que donne la méthode de la puissance

CORRECTION DU TD 3 Exercice 1

Pour conclure on étudie le sous-espace propre associé à la valeur propre en résolvant l'équation matricielle : . On a : Par conséquent

Exercices du chapitre 4 avec corrigé succinct

– Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres d'une matrice diagonale. 3. Montrer que : A non inversible ⇐⇒ 0 est valeur propre de A. Solution : 1.

Valeurs propres et vecteurs propres

Une telle solution est alors appelée vecteur propre associé à la valeur propre λ. Exercice. Montrer que 4 est une valeur propre de A = (. 0. −2.

Correction détaillée des exercices 12

https://licence-math.univ-lyon1.fr/lib/exe/fetch.php?media=a19:math3:correction-ex-3-4-maths3-2019.pdf

Exercice 1 Soit A = −1 2 3 0 −2 0 1 2 1 ∈ M3×3(R). Calculer le

Calculer les valeurs propres de T et donner une base de chaque espace propre. L'applica- tion T est-elle diagonalisable ? Corrigé. La première chose à faire

Leçon 05 – Exercices

A a trois valeurs propres distinctes donc A (ou f) est diagonalisable. V2 = (xy

Exercices de mathématiques - Exo7

Démontrer que 1 et 2 sont des valeurs propres de f. 2. Déterminer les vecteurs propres de f. 3. Soitu un vecteur propre de f pour la valeur propre 2. Trouver

Chapitre 9 — réduction des matrices et des endomorphismes

Soit λ une éventuelle valeur propre non nulle de f. Montrer alors l'égalité Eλ(f)=Eλ( ˜f). Solution de l'exercice 3. Corrigé en classe.

Exercices de mathématiques - Exo7

Déterminer les valeurs propres de M. 2. Montrer que M est diagonalisable. 3. Déterminer une base de vecteurs propres et P la matrice de passage. 4

Valeurs propres et vecteurs propres

appelée vecteur propre associé à la valeur propre ?. Exercice. Montrer que 4 est une valeur propre de A = (. 0. ?2. ?4. 2. ) et trouver les vecteurs.

Série dexercices no4/6 Recherche de valeurs propres Résolution

ATTENTION : une matrice réelle peut avoir des valeurs propres complexes. 4. Deux matrices A et B sont dites semblables s'il existe une matrice inversible P

Exercice 1 Soit A = ?1 2 3 0 ?2 0 1 2 1 ? M3×3(R). Calculer le

Calculer les valeurs propres de T et donner une base de chaque espace propre. L'applica- tion T est-elle diagonalisable ? Corrigé. La première chose à faire

Exercices du chapitre 4 avec corrigé succinct

– Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres d'une matrice diagonale. 3. Montrer que : A non inversible ?? 0 est valeur propre de A. Solution : 1.

Exercices de mathématiques - Exo7

Montrer que A et B n'ont pas de valeurs propres communes si et seulement si la matrice ?A(B) est inversible. Correction ?. [005678]. Exercice 29 **. Soit f un

Partiel Corrigé

7 nov. 2015 Correction: (exercice I) 1) Le polynome caractéristique vaut PA(x)=(x ... 2-iii) On a deux valeurs propres distinctes ±i en dimension 2 ...

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3.5.4 Exercice récapitulatif (corrigé) . Cet exemple illustre un principe général concernant les valeurs propres d'une matrice diagonale.

Exercices de mathématiques - Exo7

Exercice 5. Soit A la matrice suivante. A = (1 1. 2 1. ) 1. Calculer le polynôme caractéristique et déterminer les valeurs propres de A.

Correction détaillée des exercices 12

http://licence-math.univ-lyon1.fr/lib/exe/fetch.php?media=a19:math3:correction-ex-3-4-maths3-2019.pdf

(3 1 11 3 11 1 3) ?0 00 1? ???-1 0 0 0? ??? ??????? ??????? ??A? D? -1 1? ????? ??? ????? ? ?? ????? ????1/4 3/4

2/3 1/3?

M? det(A-λI) = 0????? det(A-λI) = det?a11-λ a12 a

21a22-λ?

=λ2-(a11+a22)λ+ (a11a22-a12a21) ??det(A-λI) = 0? ??(A-λI)x= 0???? ?? ??????? ??? ??? ??Ax=λ???? ?? ??????? ??? ???x? ?????? ?? ??????? ?????? ??A??????? ? ?? ?????? ??????λ? 2 0? -1-λ3

2-λ=λ(λ+ 1)-6 =λ2+λ-6 = (λ+ 3)(λ-2)?

(A-(-3)I)x=?2 32 3??

x1 x 2? =?0 0? ??2x1+ 3x2= 0

2x1+ 3x2= 0?

-2? -2/3? ?-3 2?

2x2??x2=-23x1? ???? ?? ???????

????x= (x1,x2) = (x1,-2

3x1) =x1(1,-23)?? ???? ?? ???????x= (x1,x2) = (-32x2,x2) =x2(-32,1)?

(A-2I)x=?-3 3

2-2?? x1 x 2? =?0 0? ??-3x1+ 3x2= 0

2x1-2x2= 0?

?1 1? ??????? ? ?? ?? ?????(A-2I)x= 0?x= (x1,x1) =x1(1,1)??x= (x2,x2) =x2(1,1)? ???? ??? ???? (1 0 20 5 03 0 2) det(B-λI) = (5-λ)(λ-4)(λ+ 1)?Sp(B) ={-1,4,5}? ?? ???? ?? ??????? ??????? ???v1= (0,1,0) ??? ?? ??????? ?????? ??????? ?λ= 5?v2= (2,0,3)?? ??????? ?????? ??????? ?λ= 4??v3= (1,0,-1)?? ??????? ?????? ??????? ?λ=-1? y n+1=ayn????? y n=any0? y n+t

100yn=?

1 +t100?

y n??t ?????? ???y4= (1,05)4×1000 = 1215,5?????? ?xn+1=axn+byn y n+1=cxn+dyn????? ?xn+1=qxn+pyn y n+1= (1-q)xn+ (1-p)yn z n+1=?xn+1 y n+1? =?a b c d?? xn y n? =Azn.????? z n=Anz0 ?Av1=λ1v1 Av

2=λ2v2

?[Av1Av2] = [λ1v1λ2v2] ?A[v1v2] = [v1v2]?λ10

0λ2?

?? ??????[v1v2] =P??D=?λ10

0λ2?

AP=PD

A=PDP-1

A n=PDnP-1 v P -1AP=(

10... ...0

0λ20...0

0...0λk-10

0... ...0λk)

)=D? v z n+1=Azn??? z n= (Z0)1? c 1λ n

1v1+ (Z0)2????

c 2λ n

2v2+...+ (Z0)k????

c kλ n kvk ??Z0= ((Z0)1...(Z0)k)t=P-1z0? ?zn= [v1...vk]( n 10

0λn

k) )Z0=c1λn

1v1+c2λn

2v2+...+ckλn

kvk? p(λ) = det(A-λI)? ?? ????A=?-4 2 -1-1? ?pA(λ) =λ2+ 5λ+ 6?Sp(A) ={-3,-2}? ?? ????B=( (4 0-2 0 3 0

3 0-1)

)?pB(λ) = (3-λ)(λ2-3λ+ 2)?Sp(B) ={1,2,3}? ?? ????C=?4 1 -1 2? ?? ????D=?0 2 -1 2? ?pD(λ) =λ2-2λ+ 2?Sp(D) ={1 +i,1-i}? ?? ????E=( (1 3 40 2-1

0 1 2)

)?pE(λ) = (1-λ)(λ2-4λ+ 5)?Sp(E) ={1,2 +i,2-i}? ??λ1+λ2+...+λk=k? i=1λ i=tr(A)? ??λ1×λ2×...×λk=k? i=1λ i= det(A) (4 1 1 11 4 1 11 1 4 11 1 1 4) )? ? ??? ??? ?????? ?????? ??B? ????v= (a,b,c,d)?? ??????? ?????? ??????? ?λ= 3????? (B-3I)v=( (4-3 1 1 1

1 4-3 1 1

1 1 4-3 1

1 1 1 4-3)

(a b c d) (a+b+c+d a+b+c+d a+b+c+d a+b+c+d) (0 0 0 0) (1 0 0 -1) (0 1 0 -1) (0 0 1 -1) -1 2? ??B=?3 00 3? ?????? ?????? ??????λ= 3? (A-3I)v=?1 1 -1-1?? v1 v 2? =?0 0? ?v1 v 2? -1? ? ????B?(B-λI)v=?0 00 0?? v1 v 2? -1 2? -1? v (A-3I)v2=v1??1 1 -1-1?? x y? =?1 -1? ??x y? =?1 0? ?? ?? ?????P= [v1v2] =?1 1 -1 0? P -1AP=?0-1 1 1?? 4 1 -1 2?? 1 1 -1 0? =?3 10 3? ?I? v

2??? ???(A-λ?I)v2=v1? ??P= [v1v2]?????

P -1AP=?λ?1

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(4 2-4 1 4-3

1 1 0)

(A-2I)v=( (2 2-4 1 2-3

1 1-2)

(x y z) (0 0 0) (1 1 1) (A-3I)v=( (1 2-4 1 1-3

1 1-3)

(x y z) (0 0 0) (2 1 1) v 2?( (1 2-4 1 1-3

1 1-3)

(x y z) (2 1 1) )? ?? ???? ????? ???????v3=( (0 1 0) )????P=( (1 2 01 1 11 1 0) )??P-1AP= (2 0 00 3 10 0 3) (A-λ?I)v2=v1??(A-λ?I)v3=v2? ??P= [v1v2v3]?????P-1AP=( (λ?1 0

0λ?1

0 0λ?)

(3 1 11 2 1 -1-1 1) )? ????? ??????? ?????λ= 2????? ?????? ?????? ??????? (A-2I)v2=v1 (A-2I)v3=v2? ?????? ????P= [v1v2v3]?P-1BP=( (2 1 00 2 10 0 2)

0λ??

Z n+1=?Xn+1 Y n+1? =?λ1

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Xn Y n?

Xn+1=λXn+Yn??????

Y n+1=λYn?????? X 0=c0 X

1=λX0+c1λ0=λc0+c1

2=λX1+c1λ1=λ(λc0+c1) +c1λ=λ2c0+ 2c1λ

3=λ3c0+ 3c1λ2

4=λ4c0+ 3c1λ2

X n=λnc0+nc1λn-1 X n+1=λ(c0λn+nc1λn-1) +c1λn=c0λn+1+ (n+ 1)c1λn=λXn+Yn. ?Xn Y n? =?c0λn+nc1λn-1 c

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z n=PZn= [v1v2]?c0rn+nc1rn-1 c 1rn? ?zn= (c0rn+nc1rn-1)v1+c1rnv2.????? ??????? ??????? ???????A=?4 1 -1 2? -1? y n+1=-xn+ 2yn? ?xn=c03n+c1(n3n-1+ 3n) y n=-c0-c1n3n-1? W n+1=( (X n+1 Y n+1 Z n+1) )= (P-1AP)Wn=TWn? ?? ????? ??wn+1=( (x n+1 y n+1 z n+1) )? ?? ?wn+1=Awn?PWn+1= APW n?Wn+1=P-1APWn ?Wn+1=( 11 0

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0 0λ2)

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1=λ1c0+λ0

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[PDF] ISCID-CO - PRÉPA 2ème année DIAGONALISATION Université du

2/3 1/3?

21a22-λ?

2-λ=λ(λ+ 1)-6 =λ2+λ-6 = (λ+ 3)(λ-2)?

(A-(-3)I)x=?2 32 3??

2x1+ 3x2= 0?

2x2??x2=-23x1? ???? ?? ???????

3x1) =x1(1,-23)?? ???? ?? ???????x= (x1,x2) = (-32x2,x2) =x2(-32,1)?

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