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Exercice1

1)jeus ousfor meextensive(`a gauche)et formenormale(`adroite):

Nature

Joueur2

Joueur1

0.50.5

NoireRouge

CDCD cdcd (1;-1)(2;-2)(1;-1)(-2;2) (-1;1)(-1;1) ensembled'info cd C R C N (-1;1)(-1;1) C R D N (0;0)(-1.5;1.5) D R C N (0;0)(0.5;-0.5) D R D N (1;-1)(0;0) Danslejeusous formenormal e,lanot ationdel astrat´egieC R D N signifiequelejoueur1 apr`esavoirvuun ecarteRouge(indi ceR)ch oisitdeseCoucher(C)etap r`es avoirvuune carteNoire(in diceN)ch oisitdeDoublersamise(D). Lepai ement(-1.5;1.5)estobtenu enremarquantqu'avecp robab ilit´e0.5lacart eest Rouge,doncl ejoueur1 secoucheest lepaiementest(-1;1)et av ecpr obabilit´e0.5la carte estNoire,lejoueu r1Doublesamise,lejoueu r2au ssi,doncl epaiement est(-2;2). L'esp´erancedupaiementestdonc0 .5?(-1,1)+0 .5?(-2;2)=(-1.5,1.5). Vuqu'i lestsp´ecifi´equelejeu est` asommenulle,onauraitpu´ecrir euniquementl es paiementsdujoueur1(aul ieuducoup ledespaiements). 2)

EquilibresdeNashetstrat´egiesop timales:

a)Dan sunjeu`ad euxjoueur s`asommenu lle,uncou pledestrat ´egiesoptimalesest un´equi libredeNash.R´eciproquement,tout´equ ilibre deNashestun coupledestrat´egies optimales. b)Lepaiemen td' un´equilibred eNashestdonc´egal`al avaleurdujeu`asommenulle.

3)Str at´egiesdomin´ees

Lesstr at´egiesC

R C N etC R D N sontstrict ementdomin´eesparlastrat´egieD R D N .Il n'yapasd'au tres strat´egies faiblementoustrictementdomin´ ees.Onpeutremarquerque C R D N estaussi faiblement domin´eeparD R C N 1

4)Valeu rdujeuetstrat´ egiesoptimalesApr`es´elimination desstrat´egiesstrictement

domin´ees,lejeuseram`en e`a: cd D R C N (0;0)(0.5;-0.5) D R D N (1;-1)(0;0) Iln' yapasd'´eq uili bresenstr at´egiespures,onvadoncchercherun´equilib red eNash (d'apr`eslaquestionpr´ec´eden te,´equ ilibredeNashetstrat´egies optimalescoincident)en strat´egiemixte. Lastr at´egiemixte(x,1-x)du joueur1r endlejoueur2ind iff´erententrecetd`ala conditionque:x?0+( 1-x)?-1=x?-0.5+( 1-x)?0don csix=2/3.D elamˆeme fa¸conlastrat´egi emix te(y,1-y)du joueur2r endlejoueur1in diff´erententreD R C N et D R D N siy?0+( 1-y)?0.5=y?1+( 1-y)?0don csiy=1/3.

Lesstr at´egiesoptimalessontdonc

2 3 D R C N 1 3 D R D N pourlejoueur1 et 1 3 c+ 2 3 dpourle joueur2.Lavaleurdu jeuest obten ueencalculantlep aiementduj oueur1`a cet´ equilibre, quiest´egal`a1 /3?0+2 /3?0.5=1 /3.

Exercice2

Eliminerdesstrat´ egiesfaiblementdomin ´eespeut´eliminerdes´equilib res:

Danslejeu

H(0;0)(0;0)

B(0;0)(1;0)

(H,G)estu n´eq uilibr edeNash,maislastrat´egieH

estfai blementdomin´eeparlastrat´ egieB.L'´ eliminationdesstrat´egiesfaiblementdomin´ee

´eliminedonccet´equilib re.

Exercice3

1)Exis tenced'unestrat´egiegagn ante:

G 1 n estun jeusousfor meextensiv e,fini,` ainformation parfaite(chaquejoueursait toujours`aquelnoeudde l'arbrel ejeusetrouv e),sanshasard,etqui setermine toujours parlavi ctoired' undesjoueurs(pasforc´emen ttoujourslemˆeme, peuimport e).Onsaitqu'il existealorsunestr at´egiegagnantep ourundesjou eurs.Onpeutd'ailleurslacon struire grˆace`aunei nduction amont(aussiappel ´ee`arebours).

2)Exemp ledestrat´egiesgagn antes:

Lejou eur1aunestrat´ egiegagnan ted ansG

1 1 ,G 1 4 etG 1 5 .Dan sG 1 2 etG 1 3 c'estlejou eur2. DansG 1 4 ,le joueur1 choisit`alapremi `ere ´etapedefaire2paque tsde2al lumettes. Quelquesoitl echoixdupaq uetduj oueur2,ced ernierseraoblig´e defaire 2paquetsde1 allumetteetlejoueur1n'` apl usqu'` achoisirn'impor teq uelpaquetde1allu mette.

3)D´ eterminationdeN

etN a)L'´ enonc´epr´eciseque,pard´efini tiondujeu,lejoueur igagnedansl ejeuG i 1 ,don c 1?N .Soi tn≥2fi x´e.

Supposonsqu'ilexisten

1 1 1 ?N etn-n 1 ?N .Alor sdans lesdeuxjeu xG 1 n 1 etG 1 n-n 1 lejoueur 2aunestrat´ egiegagn ante. Parsym´etr ieentreles 2 joueurs,lejoueur1aun estrat´egi egagnantedanslesd euxj euxG 2 n 1 etG 2 n-n 1 .Reven ons aujeu G 1 n ,il su ffi tdon caujoueur1dec hoi sir`alapremi`ere ´etap en 1 .En e ff et,lejou eur2 aalor slechoixent relejeu G 2quotesdbs_dbs4.pdfusesText_8

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