Première S 2011-2012 Exercices : vecteurs et variations des
Première S. 2011-2012. Exercices : vecteurs et variations des fonctions associées. 1. Exercice 1 : vecteurs et alignement de points. ABC est un triangle.
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Première S. 2011-2012. Exercices : vecteurs et variations des fonctions associées. 1. Exercice 1 : vecteurs et alignement de points. ABC est un triangle.
Exercices de mathématiques - Exo7
Soit E le sous-espace vectoriel de R3 engendré par les vecteurs v1 = (23
Fiche dexercices corrigés – Vecteurs Exercice 1 : On se place dans
Seconde : Chapitre IV : Exercices corrigés sur Les vecteurs. Fiche d'exercices corrigés – (-4) – (-2) × 3 = -6 + 6 = 0. ... La première égalité donne :.
Espaces vectoriels
Si ces vecteurs sont dépendants en extraire au moins une famille libre engendrant le même sous-espace. Allez à : Correction exercice 6. Exercice 7.
Polycopié dexercices et examens résolus: Mécanique du point
Exercices et examens résolus: Mécanique du point matériel. M. BOURICH. 6. Exercice 1. 1- Déterminer une base orthonormale directe dont le premier vecteur
Exercices de mathématiques - Exo7
les composantes du vecteur w = (11
Cinématique et dynamique du point matériel (Cours et exercices
Composantes d'un vecteur suivant les coordonnées cartésiennes. Il s'agit d'étudier le mouvement des corps matériels en fonction du.
ANALYSE MATRICIELLE ET ALGÈBRE LINÉAIRE APPLIQUÉE
Matrices diagonalisables : premières applications . Exercice 1. ... Les éléments d'un espace vectoriel E sont appelés vecteurs et les éléments du corps ...
Exercices et Contrôles Corrigés de Mécanique du Point Matériel
1.1.6 Opérations sur les vecteurs : une autre approche Le premier terme représente le produit scalaire entre les vecteurs v1 et v2 il.
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Exercices : vecteurs et variations des fonctions associées 1Exercice 1 : vecteurs et alignement de points
ABC est un triangle. Le plan est muni du repère (A; AB,AC) et on considère les
points R(-1;0) et Q(0;a) où a est un nombre réel différent de -1. 1) a) Prouver que les droites (BC) et (RQ) sont sécantes. b) Démontrer que les coordonnées de leur point d'intersection P sont 1 + a ; 2a1 + a.
2) M et N sont les points tels que QCBM et ACPN soient des
parallélogrammes. a) Calculer les coordonnées des points M et N. b) Démontrer que les points R, M et N sont alignés.Exercice 2 :
1) Question de cours
Dans un repère, d et d' sont les droites d'équations cartésiennes respectives : ax + by + c = 0 avec (a ;b)¹ (0 ;0)
et a'x + b'y + c' = 0 avec (a' ;b')¹ (0 ;0)
Démontrer que d et d' sont sécantes si, et seulement si, ab' - ba'¹ 0.
2)Application
Dans un repère, on donne les points A(4 ;2), B(-2 ;4) et C(7 ;9) a) Démontrer que les droites d et d' d'équations respectives : x - y + 2 = 0 et -1,5x + 7,5y - 33 = 0 sont deux médianes du triangle ABC. b)Vérifier que d et d' sont sécantes.
c) Calculer les coordonnées du centre de gravité du triangle ABC.Première S 2011-2012
Exercices : vecteurs et variations des fonctions associées 2 Exercice 3 : variations des fonctions associées : distance d'un point à une droite Dans un repère orthonormé, on considère les points A(0;1) et M(x;y). M est un point de la droite d d'équation y = x - 4. L'objectif est d'étudier les variations de la distance Am lorsque M parcourt la droite d, et en particulier de déterminer la distance AM minimale. 1)Exprimer la distance AM en fonction de x.
2) L'objectif est donc maintenant d'étudier les variations de la fonction : f : x® 2x² - 10x + 25
a) Justifier que f(x) existe quel que soit le nombre x. b) Etablir le tableau de variation de la fonction u définie sur Y par : u : x® 2x² - 10x + 25.
c) Enoncer le théorème qui permet de déduire des variations de u celles de f. d) En déduire la valeur minimale de la distance AM. Exercice 4 : variations des fonctions associées [AB] est un segment de longueur 8 cm et M est un point de ce segment distinct des extrémités A et B.On pose AM = x avec 0 < x < 8.
On note f la fonction définie par f(x) = 1
AM + 1 BM. a) Démontrer que pour tout x de l'intervalle ]0;8[, f(x) = 816 - (x - 4)².
b)Etudier le sens de variation de f sur ]0;8[.
c) Déterminer la position du point M pour laquelle f(x) est minimale. Exercice 5 : variations des fonctions associées f est la fonction définie sur l'intervalle [-1;+ ¥[ par f(x) = 1 + x.On a construit ci-dessous la courbe C
f représentative de f.Première S 2011-2012
Exercices : vecteurs et variations des fonctions associées 3 1) a) Sur l'intervalle [-1;+ ¥[ comparer les nombres 1 + x et 1 + x 2. b) Pour quelle valeur de x obtient-on :1 + x = 1 + x
2 ? 2) a) Représenter sur le même graphique Cf et la droite d'équation y = 1 + x 2 Exercice 6 : variations des fonctions associées1) Etudier les variations de la fonction f définie sur Y par f(x) = 2x² + 2x -
4. 2) Etudier le signe de f(x) suivant les valeurs de x. 3) Représenter la fonction f et en déduire la représentation graphique de la fonction g définie pour tout nombre x par g(x) = |2x² + 2x - 4|Première S 2011-2012
Exercices : vecteurs et variations des fonctions associéesCORRECTION
4Exercice 1
1) a) Dans le repère (A;
AB,AC) on a : B(1;0) C(0;1) R(-1;0) et Q(0;a).
BC
1 - 0 =
1RQ
a - 0 = aLes vecteurs
BC et
RQ ne sont pas colinéaires si -1´a - 1´1 ¹ 0Soit si a
¹ -1.
Comme a
¹ -1 alors les vecteurs
BC et
RQ ne sont pas colinéaires.
Donc les droites (BC) et (RQ) ne sont pas parallèles : elles sont donc sécantes. b) P(x;y)Î (BC) donc les vecteurs
BP et
BC sont colinéaires.
BP
y - 0 etBC
1La colinéarité des vecteurs
BP et
BC se traduit par :
x - 1 + y = 0 x + y = 1P(x;y)
Î (RQ) donc les vecteurs
PR et
RQ sont colinéaires.
PR
0 - y et
RQ
aLa colinéarité des vecteurs
PR et
RQ se traduit par :
(-1 - x)´a - 1´(-y) = 0 -ax + y = a
On a donc le système suivant :
x + y = 1-ax + y = a x + ax = 1 - a y = 1 - x x = 1 - a 1 + a y = 1 - 1 - a 1 + a x = 1 - a 1 + a y = 1 + a - 1 + a 1 + a x = 1 - a 1 + a y = 2a 1 + aDonc P a bien pour coordonnées
1 + a ; 2a 1 + a 2) a) QCBM est un parallélogramme donc BM = CQ.Soit M(x;y)
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Exercices : vecteurs et variations des fonctions associéesCORRECTION
5BM
y etCQ
1 - a BM =CQ x = 1 et y = 1 - a
Les coordonnées de M sont donc (1; 1 - a).
ACPN est un parallélogramme donc
PN = CA.Soit N(x;y)
PN x - 1 - a 1 + a y - 2a 1 + aCA
-1 PN =CA x = 1 - a
1 + a et y = 2a
1 + a - 1 = 2a - 1 - a
1 + a = a - 1
1 + aLes coordonnées de N sont donc
1 + a ; a - 11 + a.
b)RM
1 - a et
RN 1 - a1 + a + 1
a - 1 1 + a 2 1 + a a - 1 1 + a 2´a - 1
1 + a - (1 - a)´2
1 + a = 0
Donc les vecteurs
RM etRN sont colinéaires.
Donc les points R, M et N sont colinéaires.
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6Exercice 2 :
1) Question de cours
Un vecteur directeur
v de la droite d a pour coordonnées (-b ;a).Un vecteur directeur
v' de la droite d' a pour coordonnées (-b' ;a'). Les droites d et d' sont sécantes si et seulement si les vecteurs v et v' ne sont pas colinéaires c'est-à-dire si et seulement si -ba' - (-ab')¹ 0
Soit si et seulement si ab' - ba'
¹ 0.
2)Application
a) Les coordonnées du milieu C' de [AB] sont : 2;2+4 2Soit C' (1 ;3)
xC' - yC' + 2 = 1 - 3 + 2 = 0 ; donc C' Î (d).
xC - yC + 2 = 7 - 9 + 2 = 0 ; donc C Î (d)
Donc d est la médiane issue de C du triangle ABC. Les coordonnées du milieu B' de [AC] sont : 2 ;2 + 9 2Soit B'
2 ;11 2 -1,5xB' + 7,5yB' - 33 = -1,5´11
2 + 7,5´11
2 - 33 = 11
2´6 - 33 = 33 - 33 = 0
Donc B'
Î (d').
-1,5x B + 7,5yB - 33 = -1,5´(-2) + 7,5´4 - 33 = 3 + 33 - 33 = 0Donc B
Î (d')
Donc d' est la médiane issue de B du triangle ABC. b)Un vecteur directeur de d est
v (1 ;1) et un vecteur directeur de d' est v' (-7,5 ;-1,5). v et v' ne sont pas colinéaires ; donc les droites d et d' sont sécantes. c) G est le point d'intersection des médianes d et d' du triangle ABC.Première S 2011-2012
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7 Les coordonnées de G vérifient donc le système :x - y + 2 = 0-1,5x + 7,5y - 33 = 0 x = y - 2-1,5(y - 2) + 7,5y = 33
x = y - 26y = 33 - 3 y = 5 x = 3Les coordonnées de G sont donc (3 ;5)
Figure avec GeoGebra
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8 Exercice 3 : variations des fonctions associées : distance d'un point à une droite1) a) A(0;1) et M(x;x -4)
AM² = x² + (x - 4 - 1)² = x² + x² - 10x + 25 = 2x² - 10x + 25Donc AM =
2x² - 10x + 25
2) a) Le discriminant de l'équation du second degré 2x² - 10x + 25 est :D = (-10)² - 4´2´25 = 100 - 200 = -100
Donc 2x² - 10x + 25 > 0 pour tout x réel.
Donc la fonction f est bien définie sur Y.
b) 2x² - 10x + 25 = 2 2 = 2 2² - 25
4 + 25
22x² - 10x + 25 = 2
2² + 25
4 = 2
2² + 25
2 De cette forme canonique de u(x), on déduit le tableau de variations suivant : c) Les fonctions u et u varient dans le même sens sur Y. d) On en déduit que la distance minimale de AM est atteinte pour x = 5 2 et que sa valeur est 252 =52 =52
2.Vérification graphique :
52 » 3,54.
x f' f(x) 5/2 25/2Première S 2011-2012
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9Remarque :
On verra dans un autre chapitre que la distance d'un point A(xA;yA) à une droite d'équation ax + by + c = 0 est donnée par la formule : D = |axA + byA + c|
a² + b²Vérification avec l'exemple de l'exercice :
a = 1; b = -1; c = -4; xA =0 et yA = -1.
On a alors : D =
|1´0 - 1´1 - 4|
1² + (-1)² = 52
On retrouve bien la distance minimale du point A à la droite d trouvée dans l'exercice. Exercice 4 : variations des fonctions associées a) BM = 8 - x Donc f(x) = 1 x + 18 - x = 8 - x + x
x(8 - x) = 8 x(8 - x) Or 16 - (x - 4)² = (4 + x - 4)(4 - x + 4) = x(8 - x)Donc f(x) =
816 - (x - 4)²
b) La fonction x (x - 4)² est décroissante sur ]0;4] et croissante sur [4;0[. La fonction x 16 - (x - 4)² est croissante sur ]0;4] et décroissante sur [4;0[La fonction x 1
x est décroissante sur ]0;8[.Donc la fonction x 8
16 - (x - 4)²
décroissante sur ]0;4] et croissante sur [4;8[.Première S 2011-2012
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10 c) f admet un minimum sur ]0;8[ en x = 4 et ce minimum est égal à f(4) = 1 2 Exercice 5 : variations des fonctions associées1) a) Si x ³ -1 alors 1 + x
2 ³ 1 - 1
2 ³ 0
Pour comparer les nombres positifs
1 + x et 1 + x
2, on peut comparer leurs
carrés.1 + x)² = 1 + x
2² = 1 + x + x²
On a :
2 ² - (1 + x)² = x² ³ 0 (car un carré est toujours positif). Donc 2² ³ (1 + x)²
Comme la fonction carrée est croissante sur l'intervalle [0;+¥[, on en
déduit que 1 + x 2³ 1 + x
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11 b) Si1 + x = 1 + x
2 alors 1 + x =
2²D'où : 1 + x = 1 + x + x²
D'où x = 0
1 + x = 1 + x
2 pour x = 0.
2) a) b) Pour toutÎ [-1; + ¥[, 1 + x
2 ³ 1 + x et 1 + x
2 = 1 + x pour x = 0.
On en déduit que la droite d d'équation y = 1 + x 2 est toujours située au dessus de la courbe C f. Le point d'intersection de la droite d et de la courbe C f est le point (0;1).Première S 2011-2012
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12 Exercice 6 : variations des fonctions associées1) f(x) =2(x² + x - 2) = 2
2² - 1
4 - 2 = 2
2² - 9
4On en déduit les variations de f :
2) La forme factorisée de f est : f(x) = 2(x + 2)(x - 1) On a donc si x -2 ou x ³ 1 alors f(x) ³ 0 et si x Î [-2;1] alors f(x) 0. 3) x f' f(x) 1/2 -9/2quotesdbs_dbs19.pdfusesText_25[PDF] exercices verbes irréguliers anglais 4ème ? imprimer
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