[PDF] Exercices de mathématiques - Exo7

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Exo7

Espaces vectoriels

Fiche amendée par David Chataur et Arnaud Bodin.

1 Définition, sous-espaces

Exercice 1Montrer que les ensembles ci-dessous sont des espaces vectoriels (surR) :

•E1=f:[0;1]!R: l"ensemble des fonctions à valeurs réelles définies sur l"intervalle[0;1], muni de

l"additionf+gdes fonctions et de la multiplication par un nombre réellf. •E2=(un):N!R: l"ensembledessuitesréellesmunidel"additiondessuitesdéfiniepar(un)+(vn)= (un+vn)et de la multiplication par un nombre réell(un) = (lun).

•E3=P2R[x]jdegP6n: l"ensemble des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à

nmuni de l"additionP+Qdes polynômes et de la multiplication par un nombre réellP. Déterminer lesquels des ensemblesE1,E2,E3etE4sont des sous-espaces vectoriels deR3. E

1=f(x;y;z)2R3j3x7y=zg

E

2=f(x;y;z)2R3jx2z2=0g

E

3=f(x;y;z)2R3jx+yz=x+y+z=0g

E

4=f(x;y;z)2R3jz(x2+y2) =0g

1. Décrire les sous-espaces v ectorielsde R; puis deR2etR3. 2. Dans R3donner un exemple de deux sous-espaces dont l"union n"est pas un sous-espace vectoriel. Parmi les ensembles suivants reconnaître ceux qui sont des sous-espaces vectoriels. E

1=(x;y;z)2R3jx+y+a=0 etx+3az=0

E

2=ff2F(R;R)jf(1) =0g

E

3=ff2F(R;R)jf(0) =1g

E

4=(x;y)2R2jx+ay+1>0

SoitEun espace vectoriel.

1.

Soient FetGdeux sous-espaces deE. Montrer que

F[Gest un sous-espace vectoriel deE()FGouGF:

1

2.Soit Hun troisième sous-espace vectoriel deE. Prouver que

GF=)F\(G+H) =G+(F\H):

Exercice 61.Soient v1= (2;1;4),v2= (1;1;2)etv3= (3;3;6)des vecteurs deR3, trouver trois réels non tous nuls

a;b;gtels queav1+bv2+gv3=0. 2.

On considère deux plans v ectoriels

P

1=f(x;y;z)2R3jxy+z=0g

P

2=f(x;y;z)2R3jxy=0g

trouver un vecteur directeur de la droiteD=P1\P2ainsi qu"une équation paramétrée. SoientdansR4lesvecteursv1=(1;2;3;4)etv2=(1;2;3;4). Peut-ondéterminerxetypourque(x;1;y;1)2

Vectfv1;v2g? Et pour que(x;1;1;y)2Vectfv1;v2g?

SoitEle sous-espace vectoriel deR3engendré par les vecteursv1= (2;3;1)etv2= (1;1;2)etFcelui engendré parw1= (3;7;0)etw2= (5;0;7). Montrer queEetFsont égaux. Soita2Retfa:R!R,x7!eax. Montrer que la famille(fa)a2Rest libre. Exercice 10Par des considérations géométriques répondez aux questions suivantes : 1. Deux droites v ectoriellesde R3sont-elles supplémentaires ? 2. Deux plans v ectorielsde R3sont-ils supplémentaires ? 3. A quelle condition un plan v ectorielet une droite v ectoriellede R3sont-ils supplémentaires ? On considère les vecteursv1=(1;0;0;1),v2=(0;0;1;0),v3=(0;1;0;0),v4=(0;0;0;1),v5=(0;1;0;1)dans R 4. 2

1.V ectfv1;v2get Vectfv3gsont-ils supplémentaires dansR4?

2. V ectfv1;v2get Vectfv4;v5gsont-ils supplémentaires dansR4? 3. V ectfv1;v3;v4get Vectfv2;v5gsont-ils supplémentaires dansR4? 4. V ectfv1;v4get Vectfv3;v5gsont-ils supplémentaires dansR4? Soientv1= (0;1;2;1);v2= (1;0;2;1);v3= (3;2;2;1);v4= (0;0;1;0)etv5= (0;0;0;1)des vecteurs de R

4. Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifier votre réponse.

1.

V ectfv1;v2;v3g=Vectf(1;1;0;0);(1;1;4;2)g.

2.(1;1;0;0)2Vectfv1;v2g\Vectfv2;v3;v4g.

3. dim (Vectfv1;v2g\Vectfv2;v3;v4g) =1 (c"est-à-dire c"est une droite vectorielle). 4.

V ectfv1;v2g+Vectfv2;v3;v4g=R4.

5. V ectfv4;v5gest un sous-espace vectoriel supplémentaire de Vectfv1;v2;v3gdansR4. SoitE=D1(R;R)l"espace des fonctions dérivables etF=ff2Ejf(0) =f0(0) =0g. Montrer queFest un sous-espace vectoriel deEet déterminer un supplémentaire deFdansE. Soit

E=(un)n2N2RNj(un)nconverge:

Montrer que l"ensemble des suites constantes et l"ensemble des suites convergeant vers 0 sont des sous-espaces

supplémentaires dansE: Indication pourl"exer cice1 NOn vérifiera sur ces exemples la définition donnée en cours.

Indication pour

l"exer cice

2 N1.E1est un sous-espace vectoriel.

2.E2n"est pas un sous-espace vectoriel.

3.E3est un sous-espace vectoriel.

4.E4n"est pas un sous-espace vectoriel.Indication pourl"exer cice3 N1.Discuter sui vantla dimension des sous-espaces.

2.

Penser aux droites v ectorielles.Indication pourl"exer cice4 N1.E1est un sous-espace vectoriel deR3si et seulement sia=0.

2.E2est un sous-espace vectoriel.

3.E3n"est pas un espace vectoriel.

4.E4n"est pas un espace vectoriel.Indication pourl"exer cice5 N1.Pour le sens ): raisonner par l"absurde et prendre un vecteur deFnGet un deGnF. Regarder la

somme de ces deux vecteurs. 2.

Raisonner par double inclusion, re veniraux v ecteurs.Indication pourl"exer cice6 N1.On pensera à poser un système.

2.

T rouverun v ecteurnon-nul commun aux deux plans. Indication pourl"exer cice7 NOn ne peut pas pour le premier, mais on peut pour le second.

Indication pour

l"exer cice

8 NMontrer la double inclusion. Utiliser le fait que de manière générale pourE=Vect(v1;:::;vn)alors :

EF() 8i=1;:::;n vi2F:

4

Indication pourl"exer cice9 NSupposer qu"il existe des réelsl1;:::;lnet des indicesa1>a2>>an(tout cela en nombre fini !) tels que

l

1fa1++lnfan=0:

Ici le 0 est la fonction constante égale à 0. Regarder quel terme est dominant et factoriser.Indication pourl"exer cice10 N1.Jamais.

2.

Jamais.

3. Considérer un v ecteurdirecteur de la droite. Indication pourl"exer cice11 N1.Non. 2. Oui. 3. Non. 4.

Non. Indication pourl"exer cice12 N1.Vrai.

2. Vrai. 3.

F aux.

4.

F aux.

5.

Vrai. Indication pourl"exer cice13 NSoit

G=x7!ax+bj(a;b)2R2:

Montrer queGest un supplémentaire deFdansE.Indication pourl"exer cice14 NPour une suite(un)qui converge vers`regarder la suite(un`).5

Correction del"exer cice1 NPour qu"un ensembleE, muni d"une additionx+y2E(pour toutx;y2E) et d"une multiplication par un

scalairelx2E(pour toutl2K,x2E), soit unK-espace vectoriel il faut qu"il vérifie les huit points suivants.

1.x+(y+z) = (x+y)+z(pour toutx;y;z2E)

2. il e xisteun v ecteurnul 0 2Etel quex+0=x(pour toutx2E) 3. il e xisteun opposé xtel quex+(x) =0 (pour toutx2E)

4.x+y=y+x(pour toutx;y2E)

Ces quatre premières propriétés font de(E;+)un groupe abélien. 5.

1 x=x(pour toutx2E)

6.l(x+y) =lx+ly(pour toutl2K=, pour toutx;y2E)

7.(l+m)x=lx+mx(pour toutl;m2K, pour toutx2E)

8.(lm)x=l(mx)(pour toutl;m2K, pour toutx2E)

Il faut donc vérifier ces huit points pour chacun des ensembles (iciK=R).

Commençons parE1.

1.f+(g+h)=(f+g)+h; en effet on bien pour toutt2[0;1]:f(t)+g(t)+h(t)=f(t)+g(t)+h(t)

d"où l"égalité des fonctionsf+(g+h)et(f+g)+h. Ceci est vrai pour toutf;g;h2E1. 2.

le v ecteurnul est ici la fonction constante ég aleà 0, que l"on note encore 0, on a bien f+0=f(c"est-à-

dire pour toutx2[0;1],(f+0)(t) =f(t), ceci pour toute fonctionf). 3. il e xisteun opposé fdéfinie parf(t) =f(t)tel quef+(f) =0

4.f+g=g+f(carf(t)+g(t) =g(t)+f(t)pour toutt2[0;1]).

5.

1 f=f; en effet pour toutt2[0;1],(1f)(t) =1f(t) =f(t). Et une fois que l"on compris quelf

vérifie par définition(lf)(t) =lf(t)les autres points se vérifient sans peine.

6.l(f+g) =lf+lg

7.(l+m)f=lf+mf

8.(lm)f=l(mf); en effet pour toutt2[0;1],(lm)f(t) =l(mf(t))

Voici les huit points à vérifier pourE2en notantula suite(un)n2N

1.u+(v+w) = (u+v)+w

2. le v ecteurnul est la suite dont tous les termes sont nuls. 3.

La suite uest définie par(un)n2N

4.u+v=v+u

5. 1 u=u

6.l(u+v) =lu+lv: montrons celui-ci en détails par définitionu+vest la suite(un+vn)n2Net par

définition de la multiplication par un scalairel(u+v)est la suitel(un+vn) n2Nqui est bien la suitelun+lvn) n2Nqui est exactement la suitelu+lv.

7.(l+m)u=lu+mv

8.(lm)u=l(mu)

6

Voici ce qu"il faut vérifier pourE3, après avoir remarqué que la somme de deux polynômes de degré6nest

encore un polynôme de degré6n(même chose pourlP), on vérifie :

1.P+(Q+R) = (P+Q)+R

2. il e xisteun v ecteurnul 0 2E3: c"est le polynôme nul 3. il e xisteun opposé Ptel queP+(P) =0

4.P+Q=Q+P

5. 1 P=P

6.l(P+Q) =lP+lQ

7.(l+m)P=lP+mP

8.(lm)P=l(mP)Correction del"exer cice2 N1.(a) (0;0;0)2E1.

(b) Soient (x;y;z)et(x0;y0;z0)deux éléments deE1. On a donc 3x7y=zet 3x07y0=z0. Donc

3(x+x0)7(y+y0) = (z+z0), d"où(x+x0;y+y0;z+z0)appartient àE1.

(c) Soit l2Ret(x;y;z)2E1. Alors la relation 3x7y=zimplique que 3(lx)7(ly) =lzdonc quel(x;y;z) = (lx;ly;lz)appartient àE1.

2.E2=f(x;y;z)2R3jx2z2=0gc"est-à-direE2=f(x;y;z)2R3jx=zoux=zg. Donc(1;0;1)

et(1;0;1)appartiennent àE2mais(1;0;1)+(1;0;1) = (2;0;0)n"appartient pas àE2qui n"est en conséquence pas un sous-espace vectoriel deR3.

3.E3est un sous-espace vectoriel deR3. En effet :

(a)(0;0;0)2E3. (b) Soient (x;y;z)et(x0;y0;z0)deux éléments deE3. On a doncx+yz=x+y+z=0 etx0+y0z0= x

0+y0+z0=0. Donc(x+x0)+(y+y0)(z+z0) = (x+x0)+(y+y0)+(z+z0) =0 et(x;y;z)+

(x0;y0;z0) = (x+x0;y+y0;z+z0)appartient àE3. (c) Soit l2Ret(x;y;z)2E3. Alors la relationx+yz=x+y+z=0 implique quelx+lylz= lx+ly+lz=0 donc quel(x;y;z) = (lx;ly;lz)appartient àE3. 4. Les v ecteurs(1;0;0)et(0;0;1)appartiennent àE4mais leur somme(1;0;0)+(0;0;1) = (1;0;1)ne lui

appartient pas doncE4n"est pas un sous-espace vectoriel deR3.Correction del"exer cice3 N1.L "espacev ectorielRa deux sous-espaces : celui formé du vecteur nulf0getRlui-même.

L"espace vectorielR2a trois types de sous-espaces:f0g, une infinité de sous-espaces de dimension 1 (ce

sont les droites vectorielles) etR2lui-même. Enfin, l"espaceR3a quatre types de sous-espaces: le vecteur nul, les droites vectorielles, les plans vectoriels et lui-même. 2.

On considère deux droites v ectoriellesde R3dont des vecteurs directeursuetvne sont pas colinéaires

alors le vecteuru+vn"appartient à aucune de ces deux droites, l"union de celles-ci n"est pas un espace

vectoriel. 7

Correction del"exer cice4 N1.E1: non sia6=0 car alors 0=2E1; oui, sia=0 car alorsE1est l"intersection des sous-espaces vectoriels

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