Cours de mathématiques en 1ère S (2018 ? 2019) PDF

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Cours de mathématiques en 1ère S (2018-2019)

Kevin Tanguy

5 juin 2019

Table des matières1 Second degré

1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .7

1.2 Rappels et pré-requis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .8

1.3 Forme canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .8

1.4 Résolution d"équations du second degré . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .9

1.5 Signe d"un polynôme du second degré . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .11

1.6 Représentation graphique d"un polynôme du second degré. . . . . . . . . . . . . . .13

1.7 Bilan du chapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .16

1.8 Challenges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .17

1.8.1 Méthode de Cardan (publiée dans l"Ars Magna en 1545) . .. . . . . . . . . .17

1.8.2 Méthode de Ferrari (1522-1565) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .17

1.8.3 Quelques dernières remarques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .18

2 Vecteurs19

2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .19

2.2 Rappels : généralité sur les vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .19

2.3 Colinéarité entre deux vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .20

2.3.1 Définition et conséquences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .20

2.3.2 Critère de colinéarité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .21

2.4 Décomposition d"un vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .22

2.4.1 Différents repères du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .22

2.4.2 Décomposition d"un vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .22

2.4.3 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .23

2.5 Bilan du chapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .23

2.6 Pour en savoir plus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .24

2.6.1 Quelques remarques sur la géométrie non euclidienne .. . . . . . . . . . . . .24

2.6.2 Curiosité en grande dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .25

2.6.3 Distance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..26

3 Suites numériques29

3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .29

3.2 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .29

3.2.1 Formule explicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .30

3.2.2 Formulation par récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .30

3.3 Suites usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .31

4TABLE DES MATIÈRES

3.3.1 Suites arithmétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .

3.3.2 Suites géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .33

3.3.3 Expression des sommes partielles . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .34

3.4 Bilan du chapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .35

3.5 Pour aller plus loin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .35

3.5.1 Nombre d"or, suite de Fibonnaci, pavage de Penrose . . .. . . . . . . . . . .35

3.5.2 Conjecture de Syracuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .37

4 Equation cartésienne d"une droite et vecteur directeur39

4.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .39

4.2 Equation cartésienne d"une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .39

4.3 Vecteur directeur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .40

4.4 Bilan du chapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .42

5 Nombre dérivé, fonction dérivée43

5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .43

5.2 Domaine de définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .43

5.3 Dérivabilité et variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .44

5.4 Bilan du chapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .48

5.5 Pour aller plus loin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .48

5.5.1 Modèle dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .48

5.5.2 Dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .49

6 Statistiques51

6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .51

6.2 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .51

6.3 Description par quantiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .52

6.4 Description par moyennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .54

6.5 Comparaison de séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .55

6.6 Bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .55

7 Trigonométrie et angles orientés57

7.1 Cercle trigonométrique et mesure d"angle . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .57

7.2 Anglé orienté d"un couple de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .58

7.2.1 Mesure principale d"un angle orienté de vecteurs . . . .. . . . . . . . . . . .58

7.2.2 Propriétés des angles orientés . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .59

7.3 Fonction cosinus et sinus d"un angle orienté . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .59

7.3.1 Propriétés des fonctions trigonométriques . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .62

7.4 Equations trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .62

8 Dérivée et variations d"une fonction et sens de variations65

9 Variable aléatoire, loi de probabilité, espérance67

9.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .67

9.2 Loi d"une variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .68

9.2.1 Variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .68

9.2.2 Loi de probabilité d"une variable aléatoire . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .68

TABLE DES MATIÈRES5

9.3 Paramètres associés à une variable aléatoire . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .

9.3.1 Espérance, variance et écart-type . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .69

9.3.2 Formules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .70

9.4 Urne d"Ehrenfest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .70

10 Produit scalaire, applications géométrique73

10.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .73

10.2 Définition et expressions d"un produit scalaire . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .73

10.2.1 Norme d"un vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .73

10.2.2 Définition d"un produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .74

10.3 Expression du produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .74

10.3.1 A l"aide des coordonnées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .74

10.3.2 A l"aide de la norme et d"un angle orienté . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .75

10.4 Règles de calculs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .75

10.5 Produit scalaire et orthogonalité . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .76

10.6 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .77

10.6.1 Théorème d"Al-Kashi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .77

10.6.2 Théorème de la médiane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .77

11 Monotonie d"une suite et limite79

11.1 Sens de variation d"un suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .79

11.1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .79

11.1.2 Etude du sens de variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .79

11.2 Notion de limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .81

12 Loi Binomiale85

12.1 Loi de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .85

12.1.1 Epreuve de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .85

12.1.2 Schéma de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .85

12.2 Loi Binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .86

12.2.1 Variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .86

12.2.2 Espérance, variance et écart-type d"une loi binomiale . . . . . . . . . . . . . .87

12.2.3 Nombres factoriels et coefficient binomiaux . . . . . . . .. . . . . . . . . . .88

13 Equation cartésienne de droites et de cercles89

13.1 Droite et produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .89

13.1.1 Vecteur normal à une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .89

13.1.2 Vecteur normal et équation de droite . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .89

13.2 Cercle et produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .90

13.2.1 Equation d"un cercle défini par son centre et son rayon. . . . . . . . . . . . .90

13.2.2 Equation d"un cercle défini par son diamètre . . . . . . . .. . . . . . . . . .90

14 Echantillonage91

14.1 Echantillon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .91

14.2 Estimation et intervalle de fluctuation . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .92

14.3 Test statistiques et loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .93

6TABLE DES MATIÈRES

Chapitre 1Second degré1.1 IntroductionDéfinition 1.1.1.Une fonction polynomiale de degré deux (ou trinôme du seconddegré) est une

fonction de la forme f:x?→ ax2+bx+c aveca?= 0et(b,c)?R2. Remarque.Le domaine de définition defest l"ensemble des réelsR.

Dans ce chapitre nous allons chercher à résoudre des équations, dites du second degré, associées

à ce type de fonction. C"est à dire, nous allons résoudre des équations de la forme : ax

2+bx+c= 0 aveca?= 0 et (b,c)?R2

Nous ferons également le lien entre les solutions de l"équation précédente avec la représen-

tation graphique de la fonctionfdéfinie plus haut. Ce genre de considération remonte à

l"époque des Babyloniens (8ième siècle avant J.C.) et la résolution des équations du second degré a

été débutée par Al-Khwarizmi (dont le nom latinisé fournirale mot " algorithmie») au 9ième siècle.

Ce genre de fonctions et d"équations apparaissent naturellement dans certains problèmes. Par exemple :

si nous souhaitions décrire le mouvement effectué par un cycliste (ou skieur, skateboarder,

etc) après avoir pris un tremplin,

si nous cherchions à modéliser l"évolution du nombre de naissance lors d"un " baby boom »,

enfin, si nous voulions résoudre le problème d"optimisationsuivant : étant donné un triangle

scalène (quelconque)APBdont le côtéABest de longueur 1, sur lequel nous plaçons un pointM?[A,B] et un pointQ?[PB] de tels sorte que les trianglesAPMetMQBsoient équilatéraux, comment choisir la position du pointMpour maximiser l"aire du triangle MPQou pour minimiser l"aire du quadrilatèreAPQM? 7

8CHAPITRE 1. SECOND DEGRÉ

1.2 Rappels et pré-requis

Pour entamer ce chapitre, certains pré-requis sont nécessaires. Voici une liste, non-exhaustive,

de ce qu"il faut savoir maitriser :

1. Connaitre ses identités remarquables.

2. Savoir résoudre des équations de la forme suivante

ax+b= 0 aveca?= 0 etb?R

x2-9 = 0 oux2+ 2x+ 1 = 0

(3x-4)(-2x+ 5) = 0 ou encore 2x2+ 3x= 0

3. De manière similaire, savoir résoudre des inéquations dela forme :x2>5,x2<-2 ...

1.3 Forme canonique

Ce court préambule étant achevé, nous pouvons entamer le début de chapitre. Nous commençons

par laforme canoniqued"un polynôme du second degré. Comme nous allons le voir par la suite,

cette écriture particulière d"un trinôme du second degré permet de résoudre facilement les équations

du second degré (sous certaines conditions) mais aussi de déterminer les extremums d"une fonction

polynomiale de degré deux. Par la suite, nous désignerons constamment (sauf mention explicite du

contraire) par polynôme du second degré, une fonctionfde la forme suivante : f:x?→ ax2+bx+c aveca?= 0 et (b,c)?R2. Proposition 1(Forme canonique).Tout polynôme du second degré peut s"écrire sous la forme canonique f(x) =a?? x+b2a? 2 4a2? , x?R où

Δ =b2-4acest lediscriminantdu polynôme.

Démonstration.Soitfun polynôme du second degré :i.e. f(x) =ax2+bx+cavec a?= 0. Puisque aest non nul, il est alors possible d"écrire f(x) =a? x 2+b ax+ca?

En imaginant que les termesx2+b

axsont le début d"un identité remarquable (x+ ...)2=x2+bax+...

1.4. RÉSOLUTION D"ÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ9

nous obtenons f(x) =a? x 2+b ax+ca? =a?? xquotesdbs_dbs4.pdfusesText_8

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